Kurs:Körper- und Galoistheorie/5/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	0	2	4	0	0	0	3	7	5	8	0	0	6	0	0	0	41

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein irreduzibles Element ${}p$ in einen kommutativen Ring ${}R$.
2. Eine ${}R$-Algebra ${}A$, wobei ${}R$ einen kommutativen Ring bezeichnet.
3. Eine ${}D$-graduierte Körpererweiterung.
4. Der Primkörper eines Körpers ${}K$.
5. Die normale Hülle zu einer algebraischen Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
6. Die Konjugationsklassen auf einer Gruppe ${}G$.

Lösung

1. Eine Nichteinheit ${}p$ in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel, wenn eine Faktorisierung ${}p=ab$ nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.
2. Eine ${}R$-Algebra ${}A$ ist ein Ring mit einem fixierten Ringhomomorphismus ${}R\rightarrow A$.
3. Unter einer ${}D$-graduierten Körpererweiterung versteht man eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$, bei der auf ${}L$ eine ${}D$- Graduierung ${}L=\bigoplus _{d\in D}L_{d}$ mit ${}L_{0}=K$ und ${}L_{d}\neq 0$ für alle ${}d\in D$ gegeben ist.
4. Der Primkörper von ${}K$ ist der kleinste Unterkörper von ${}K$.
5. Man nennt einen Körper ${}N$ mit ${}L\subseteq N$ eine normale Hülle von ${}L$ über ${}K$, wenn ${}N$ der gemeinsame Zerfällungskörper aller Minimalpolynome von Elementen aus ${}L$ ist.
6. Man nennt die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente als äquivalent gelten, wenn sie durch einen inneren Automorphismus ineinander überführt werden können, die Konjugationsklassen.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Homomorphiesatz für Ringhomomorphismen.
2. Der Hauptsatz über endliche Körper.
3. Der Satz über die galoistheoretische Charakterisierung von konstruierbaren Zahlen.

Lösung

1. Seien ${}R,S$ und ${}T$ kommutative Ringe, es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus und ${}\psi \colon R\rightarrow T$ ein surjektiver Ringhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass

   ${}\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$

   ist. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

   ${\tilde {\varphi }}\colon T\longrightarrow S$

   derart, dass ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$

   ist.
2. Zu jeder echten Primzahlpotenz ${}p^{e}$ gibt es bis auf Isomorphie genau einen endlichen Körper mit ${}p^{e}$ Elementen.
3. Es sei ${}K\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Unterkörper und ${}z\in {\mathbb {C} }$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
   1. Die komplexe Zahl ${}z$ ist aus ${}K$ konstruierbar.
   2. Es gibt in ${}{\mathbb {C} }$ eine Körperkette aus quadratischen Körpererweiterungen

      ${}K=L_{0}\subset L_{1}\subset \ldots \subset L_{r}=L\,$

      mit ${}z\in L$.

   3. Das Element ${}z$ ist algebraisch über ${}K$, und der Grad des Zerfällungskörpers von ${}z$ über ${}K$ ist eine Zweierpotenz.
   4. Das Element ${}z$ ist algebraisch über ${}K$, und die Ordnung der Galoisgruppe des Zerfällungskörpers von ${}z$ über ${}K$ ist eine Zweierpotenz.
   5. Es gibt eine endliche Galoiserweiterung ${}K\subseteq M$ mit ${}z\in M$, deren Grad eine Zweierpotenz ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Zeige, dass die Einheiten von ${}R[X]$ genau die Einheiten von ${}R$ sind.

Lösung

Es sei ${}a\in R$ eine Einheit. Dann gibt es ein ${}b\in R$ mit ${}ab=1$ und die gleiche Identität gilt auch im Polynomring. Also ist

${}R^{\times }\subseteq R[X]^{\times }\,.$

Es sei nun

${}P=\sum _{i=0}^{d}a_{i}X^{i}\,$

($a_{d}\neq 0$) eine Einheit in ${}R[X]$. Dann gibt es ein Polynom

${}Q=\sum _{j=0}^{e}b_{j}X^{j}\,$

($b_{e}\neq 0$) mit

${}PQ=1\,.$

Da ${}R$ ein Integritätsbereich ist, ist ${}a_{d}b_{e}\neq 0$ und das Produkt hat die Gestalt

$a_{d}b_{e}X^{d+e}+{\text{Terme von kleinerem Grad}}.$

Daher ist

${}d+e=0\,$

und

${}a_{d}b_{e}=1\,,$

das Polynom ist also eine konstante Einheit.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass das Polynom

$X^{3}-3X-1$

über ${}\mathbb {Q}$ irreduzibel ist.

Lösung

Nach Aufgabe 3.14 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) genügt es zu zeigen, dass ${}X^{3}-3X-1$ keine rationale Nullstelle besitzt. Nehmen wir an, dass

${}q={\frac {a}{b}}\,$

eine Nullstelle ist mit ${}a,b\in \mathbb {Z}$ in gekürzter Darstellung. Es gilt dann

${}{\left({\frac {a}{b}}\right)}^{3}-3{\frac {a}{b}}-1=0\,$

bzw.

${}a^{3}-3ab^{2}-b^{3}=0\,.$

Wenn eine Primzahl ${}p$ die Zahl ${}a$ teilt, folgt daraus, dass auch ${}b$ von ${}p$ geteilt wird, was der Gekürztheit widerspricht. Wegen ${}b\neq 0$ ist auch ${}a\neq 0$. Also muss ${}a$ eine Einheit sein. Wenn ${}b$ von einer Primzahl ${}p$ geteilt wird, so wäre auch ${}a$ ein Vielfaches von ${}p$. Also ist auch ${}b$ eine Einheit. Die verbleibenden Möglichkeiten ${}a,b=\pm 1$, also ${}q=\pm 1$, sind keine Nullstelle des Polynoms, wie Einsetzen zeigt.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Wie viele Quadrate und wie viele primitive Elemente besitzt ${}\mathbb {Z} /(31)$?

Wie viele Elemente besitzt ${}\mathbb {Z} /(31)$, die weder primitiv noch ein Quadrat sind?

Es sei ${}x$ ein primitives Element von ${}\mathbb {Z} /(31)$. Liste explizit alle Elemente ${}x^{i}$ auf, die weder primitiv noch ein Quadrat sind.

Lösung

Es gibt ${}16$ Quadrate. ${}\varphi (30)=\varphi (2\cdot 3\cdot 5)=2\cdot 4=8$, also gibt es ${}8$ primitive Elemente.

Ein Quadrat ist nicht primitiv. Deshalb gibt es ${}8+16=24$ Elemente, die ein Quadrat oder primitiv sind. Es verbleiben ${}7$ Elemente, die weder ein Quadrat noch primitiv sind.

Es sei ${}x$ primitiv. Ein Element der Form ${}x^{i}$ ist genau dann primitiv, wenn ${}i$ und ${}30$ teilerfremd sind. Es ist genau dann ein Quadrat, wenn ${}i$ gerade ist. Gesucht sind also die ungeraden Zahlen ${}\leq 30$, die nicht teilerfremd zu ${}30$ sind. Sie müssen also ${}3$ oder ${}5$ als Teiler haben. Damit verbleiben ${}i=3,5,9,15,21,25,27$.

Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Hauptsatz für endliche Körper.

Lösung

Existenz. Wir wenden Lemma 11.1 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) auf den Grundkörper ${}\mathbb {Z} /(p)$ und das Polynom ${}X^{q}-X$ an und erhalten einen Körper ${}L$ der Charakteristik ${}p$, über dem ${}X^{q}-X$ in Linearfaktoren zerfällt. Nach Lemma 11.10 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) gibt es dann einen Unterkörper ${}M$ von ${}L$, der aus genau ${}q$ Elementen besteht.

Eindeutigkeit. Es seien ${}K$ und ${}L$ zwei Körper mit ${}q$ Elementen. Es sei ${}x\in K^{\times }$ ein primitives Element, das nach Satz 9.5 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) existiert. Daher ist ${}K\cong \mathbb {Z} /(p)[X]/(F)$, wobei ${}F\in \mathbb {Z} /(p)[X]$ das Minimalpolynom von ${}x\in K$ ist. Da ${}K^{\times }$ die Ordnung ${}q-1$ besitzt, gilt für jede Einheit ${}z^{q-1}=1$ und damit überhaupt ${}z^{q}=z$ für alle ${}z\in K$. D.h., dass jedes Element von ${}K$ eine Nullstelle von ${}X^{q}-X$ ist und dass daher ${}X^{q}-X$ über ${}K$ in Linearfaktoren zerfällt. Da insbesondere ${}x^{q}-x=0$ ist, muss das Minimalpolynom ${}F$ ein Teiler von ${}X^{q}-X$ sein, also ${}X^{q}-X=F\cdot G$. Nun zerfällt (aus den gleichen Gründen) das Polynom ${}X^{q}-X$ auch über ${}L$ und insbesondere hat ${}F$ eine Nullstelle ${}\lambda \in L$. Der Einsetzungshomomorphismus liefert einen Ringhomomorphismus

$K\cong \mathbb {Z} /(p)[X]/(F)\longrightarrow L.$

Da beides Körper sind, muss dieser injektiv sein. Da links und rechts jeweils ${}q$-elementige Mengen stehen, muss er auch surjektiv sein.

Aufgabe (5 (1+1+2+1) Punkte)

Wir betrachten die Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq L:=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} },{\sqrt {2}}]=\mathbb {Q} [\zeta _{8}]\,$

mit ${}\zeta _{8}={\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\right)}$. Bestimme die Minimalpolynome zu ${}\zeta _{8}$ über den folgenden Zwischenkörpern ${}M$, ${}\mathbb {Q} \subseteq M\subseteq L$.

1. ${}M=\mathbb {Q}$.
2. ${}M=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$.
3. ${}M=\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]$.
4. ${}M=L$.

Lösung

1. Da ${}\zeta$ eine primitive achte komplexe Einheitswurzel ist, ist

   ${}\zeta _{8}^{4}=-1\,.$

   Somit wird ${}X^{4}+1$ von ${}\zeta _{8}$ annulliert, und da der Grad der Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ gleich ${}4$ ist, muss ${}X^{4}+1$ das Minimalpoynom sein.

2. Es ist

   ${}\zeta _{8}^{2}={\mathrm {i} }\,$

   und da ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\subseteq L$ den Grad ${}2$ besitzt, ist ${}X^{2}-{\mathrm {i} }$ das Minimalpolynom von ${}\zeta _{8}$ über ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$.

3. Da ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]\subseteq L$ den Grad ${}2$ besitzt, muss das Minimalpolynom den Grad ${}2$ besitzen. Wegen ${}\zeta _{8}^{2}={\mathrm {i} }$ ist

   ${}\zeta _{8}^{2}-{\sqrt {2}}\zeta _{8}={\mathrm {i} }-{\sqrt {2}}\cdot {\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\right)}=-1\,$

   und somit ist ${}X^{2}+{\sqrt {2}}X+1$ das Minimalpolynom von ${}\zeta _{8}$ über ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]$.

4. Das Minimalpolynom über ${}L$ selbst ist ${}X-\zeta _{8}$.

Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Satz über Charaktere und Automorphismen bei graduierten Algebren.

Lösung

Zu jedem Charakter

$\chi \colon D\longrightarrow K^{\times }$

ist die durch

${}\varphi _{\chi }{\left(\sum _{d\in D}a_{d}\right)}=\sum _{d\in D}\chi (d)\cdot a_{d}$ definierte Abbildung ${}\varphi _{\chi }$ mit der Addition verträglich. Die Verträglichkeit mit der Multiplikation folgt für homogene Elemente ${}a_{d}\in A_{d}$ und ${}a_{e}\in A_{e}$ aus

${}\varphi _{\chi }(a_{d}\cdot a_{e})=\chi (d+e)a_{d}\cdot a_{e}=\chi (d)\cdot \chi (e)a_{d}\cdot a_{e}=\varphi _{\chi }(a_{d})\cdot \varphi _{\chi }(a_{e})\,,$

woraus sich aufgrund des Distributivgesetzes auch der allgemeine Fall ergibt. Für ${}a\in A_{0}$ (und insbesondere für ${}a\in K$) ist ferner ${}\varphi _{\chi }(a)=\chi (0)a=a$, sodass ein ${}K$- Algebrahomomorphismus vorliegt.
Der triviale (konstante) Charakter geht bei dieser Zuordnung auf die Identität. Es seien nun zwei Charaktere ${}\chi _{1},\chi _{2}\in \operatorname {Char} \,(D,K)$ gegeben. Für ein homogenes Element ${}a_{d}\in A_{d}$ ist

${}{\begin{aligned}\varphi _{\chi _{1}\cdot \chi _{2}}(a_{d})&={\left(\chi _{1}\cdot \chi _{2}\right)}(d)\cdot a_{d}\\&=\chi _{1}(d)\cdot \chi _{2}(d)\cdot a_{d}\\&=\chi _{1}(d)\cdot \varphi _{\chi _{2}}(a_{d})\\&=\varphi _{\chi _{1}}{\left(\varphi _{\chi _{2}}(a_{d})\right)}\\&={\left(\varphi _{\chi _{1}}\circ \varphi _{\chi _{2}}\right)}(a_{d}),\end{aligned}}$

sodass die Gesamtzuordnung mit den Verknüpfungen verträglich ist. Daher gilt auch

${}\varphi _{\chi }\circ \varphi _{\chi ^{-1}}=\varphi _{\chi \circ \chi ^{-1}}=\varphi _{1}=\operatorname {Id} _{A}\,,$

sodass jedes ${}\varphi _{\chi }$ ein ${}K$- Algebraautomorphismus und die Gesamtzuordnung ein Gruppenhomomorphismus ist.
Die Injektivität ergibt sich unter Verwendung von Lemma 4.9 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) folgendermaßen. Bei ${}\chi \neq 1$ gibt es ein ${}d\in D$ mit ${}\chi (d)\neq 1$. Nach Voraussetzung ist

${}A_{d}\neq 0\,,$

sei also ${}a\in A_{d}$, ${}a\neq 0$. Damit ist ${}\varphi _{\chi }(a)=\chi (d)a\neq a$, da ${}\chi (d)-1$ eine Einheit ist. Also ist ${}\varphi _{\chi }\neq \operatorname {Id} _{A}$.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen normalen Körpererweiterungen und Zerfällungskörpern.

Lösung

Sei ${}K\subseteq L$ normal. Wegen der vorausgesetzten Endlichkeit ist ${}L=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$. Zu ${}x_{i}$ sei ${}F_{i}\in K[X]$ das Minimalpolynom. Wegen der Normalität zerfällt jedes ${}F_{i}$ in ${}L[X]$ in Linearfaktoren. Daher ist ${}L$ der Zerfällungskörper des Produktes ${}F=F_{1}\cdots F_{n}$.
Es sei nun ${}L=Z(F)$ ein Zerfällungskörper, und sei ${}F=(X-\alpha _{1})\cdots (X-\alpha _{n})$ die Faktorzerlegung zu den Nullstellen ${}\alpha _{i}\in L$, die den Körper ${}L$ erzeugen. Wir werden das Kriterium Satz 15.4 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))  (4) anwenden. Es sei also ${}L\subseteq M$ eine Körpererweiterung und sei

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

ein ${}K$- Algebrahomomorphismus. Es ist dann

${}F(\varphi (\alpha _{i}))=\varphi (F(\alpha _{i}))=0\,,$

da sich die Koeffizienten von ${}F$ nicht ändern (vergleiche Lemma 10.15 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))), und somit gehört ${}\varphi (\alpha _{i})$ zur Nullstellenmenge ${}\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\}$ und damit insbesondere zu ${}L$. Daher gilt generell ${}\varphi (L)\subseteq L$.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung