Kurs:Körper- und Galoistheorie/5/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 0 2 4 0 0 0 3 7 5 8 0 0 6 0 0 0 41




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein irreduzibles Element in einen kommutativen Ring .
  2. Eine -Algebra , wobei einen kommutativen Ring bezeichnet.
  3. Eine -graduierte Körpererweiterung.
  4. Der Primkörper eines Körpers .
  5. Die normale Hülle zu einer algebraischen Körpererweiterung .
  6. Die Konjugationsklassen auf einer Gruppe .


Lösung

  1. Eine Nichteinheit in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel, wenn eine Faktorisierung nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.
  2. Eine -Algebra ist ein Ring mit einem fixierten Ringhomomorphismus .
  3. Unter einer -graduierten Körpererweiterung versteht man eine Körpererweiterung , bei der auf eine -Graduierung mit und für alle gegeben ist.
  4. Der Primkörper von ist der kleinste Unterkörper von .
  5. Man nennt einen Körper mit eine normale Hülle von über , wenn der gemeinsame Zerfällungskörper aller Minimalpolynome von Elementen aus ist.
  6. Man nennt die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente als äquivalent gelten, wenn sie durch einen inneren Automorphismus ineinander überführt werden können, die Konjugationsklassen.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Homomorphiesatz für Ringhomomorphismen.
  2. Der Hauptsatz über endliche Körper.
  3. Der Satz über die galoistheoretische Charakterisierung von konstruierbaren Zahlen.


Lösung

  1. Seien und kommutative Ringe, es sei ein Ringhomomorphismus und ein surjektiver Ringhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass

    ist. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

    derart, dass

    ist.
  2. Zu jeder echten Primzahlpotenz gibt es bis auf Isomorphie genau einen endlichen Körper mit Elementen.
  3. Es sei ein Unterkörper und . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
    1. Die komplexe Zahl ist aus konstruierbar.
    2. Es gibt in eine Körperkette aus quadratischen Körpererweiterungen

      mit .

    3. Das Element ist algebraisch über , und der Grad des Zerfällungskörpers von über ist eine Zweierpotenz.
    4. Das Element ist algebraisch über , und die Ordnung der Galoisgruppe des Zerfällungskörpers von über ist eine Zweierpotenz.
    5. Es gibt eine endliche Galoiserweiterung mit , deren Grad eine Zweierpotenz ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein Integritätsbereich und der Polynomring über . Zeige, dass die Einheiten von genau die Einheiten von sind.


Lösung

Sei eine Einheit. Dann gibt es ein mit und die gleiche Identität gilt auch im Polynomring. Also ist

Sei nun

() eine Einheit in . Dann gibt es ein Polynom

() mit

Da ein Integritätsbereich ist, ist und das Produkt hat die Gestalt

Daher ist

und

das Polynom ist also eine konstante Einheit.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass das Polynom

über irreduzibel ist.


Lösung

Nach Aufgabe 3.14 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) genügt es zu zeigen, dass keine rationale Nullstelle besitzt. Nehmen wir an, dass

eine Nullstelle ist mit in gekürzter Darstellung. Es gilt dann

bzw.

Wenn eine Primzahl die Zahl teilt, folgt daraus, dass auch von geteilt wird, was der Gekürztheit widerspricht. Wegen ist auch . Also muss eine Einheit sein. Wenn von einer Primzahl geteilt wird, so wäre auch ein Vielfaches von . Also ist auch eine Einheit. Die verbleibenden Möglichkeiten , also , sind keine Nullstelle des Polynoms, wie Einsetzen zeigt.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Wie viele Quadrate und wie viele primitive Elemente besitzt ?

Wie viele Elemente besitzt , die weder primitiv noch ein Quadrat sind?

Sei ein primitives Element von . Liste explizit alle Elemente auf, die weder primitiv noch ein Quadrat sind.


Lösung

Es gibt Quadrate. , also gibt es primitive Elemente.

Ein Quadrat ist nicht primitiv. Deshalb gibt es Elemente, die ein Quadrat oder primitiv sind. Es verbleiben Elemente, die weder ein Quadrat noch primitiv sind.

Sei primitiv. Ein Element der Form ist genau dann primitiv, wenn und teilerfremd sind. Es ist genau dann ein Quadrat, wenn gerade ist. Gesucht sind also die ungeraden Zahlen , die nicht teilerfremd zu sind. Sie müssen also oder als Teiler haben. Damit verbleiben .


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Hauptsatz für endliche Körper.


Lösung

Existenz. Wir wenden Lemma 11.1 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) auf den Grundkörper und das Polynom an und erhalten einen Körper der Charakteristik , über dem in Linearfaktoren zerfällt. Nach Lemma 11.10 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) gibt es dann einen Unterkörper von , der aus genau Elementen besteht.

Eindeutigkeit. Seien und zwei Körper mit Elementen. Es sei ein primitives Element, das nach Satz 9.5 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) existiert. Daher ist , wobei das Minimalpolynom von ist. Da die Ordnung besitzt, gilt für jede Einheit und damit überhaupt für alle . D.h., dass jedes Element von eine Nullstelle von ist und dass daher über in Linearfaktoren zerfällt. Da insbesondere ist, muss das Minimalpolynom ein Teiler von sein, also . Nun zerfällt (aus den gleichen Gründen) das Polynom auch über und insbesondere hat eine Nullstelle . Der Einsetzungshomomorphismus liefert einen Ringhomomorphismus

Da beides Körper sind, muss dieser injektiv sein. Da links und rechts jeweils -elementige Mengen stehen, muss er auch surjektiv sein.


Aufgabe (5 (1+1+2+1) Punkte)

Wir betrachten die Körpererweiterung

mit . Bestimme die Minimalpolynome zu über den folgenden Zwischenkörpern , .

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .


Lösung

  1. Da eine primitive achte komplexe Einheitswurzel ist, ist

    Somit wird von annulliert, und da der Grad der Körpererweiterung gleich ist, muss das Minimalpoynom sein.

  2. Es ist

    und da den Grad besitzt, ist das Minimalpolynom von über .

  3. Da den Grad besitzt, muss das Minimalpolynom den Grad besitzen. Wegen ist

    und somit ist das Minimalpolynom von über .

  4. Das Minimalpolynom über selbst ist .


Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Satz über Charaktere und Automorphismen bei graduierten Algebren.


Lösung

Zu jedem Charakter

ist die durch

definierte Abbildung mit der Addition verträglich. Die Verträglichkeit mit der Multiplikation folgt für homogene Elemente und aus

woraus sich aufgrund des Distributivgesetzes auch der allgemeine Fall ergibt. Für (und insbesondere für ) ist ferner , so dass ein -Algebrahomomorphismus vorliegt.
Der triviale (konstante) Charakter geht bei dieser Zuordnung auf die Identität. Es seien nun zwei Charaktere gegeben. Für ein homogenes Element ist

so dass die Gesamtzuordnung mit den Verknüpfungen verträglich ist. Daher gilt auch

so dass jedes ein -Algebraautomorphismus und die Gesamtzuordnung ein Gruppenhomomorphismus ist.
Die Injektivität ergibt sich unter Verwendung von Lemma 4.9 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) folgendermaßen. Bei gibt es ein mit . Nach Voraussetzung ist

sei also , . Damit ist , da eine Einheit ist. Also ist .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen normalen Körpererweiterungen und Zerfällungskörpern.


Lösung

Sei normal. Wegen der vorausgesetzten Endlichkeit ist . Zu sei das Minimalpolynom. Wegen der Normalität zerfällt jedes in in Linearfaktoren. Daher ist der Zerfällungskörper des Produktes .
Sei nun ein Zerfällungskörper, und sei die Faktorzerlegung zu den Nullstellen , die den Körper erzeugen. Wir werden das Kriterium Satz 15.4 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))  (4) anwenden. Sei also eine Körpererweiterung und sei

ein -Algebrahomomorphismus. Es ist dann

da sich die Koeffizienten von nicht ändern (vergleiche Lemma 10.15 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))), und somit gehört zur Nullstellenmenge und damit insbesondere zu . Daher gilt generell .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung