Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 5

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei die Menge der invertierbaren -Matrizen über einem Körper . Zeige, dass für zueinander konjugierte Matrizen und aus die folgenden Eigenschaften bzw. Invarianten übereinstimmen: Die Determinante, die Eigenwerte, die Dimension der Eigenräume zu einem Eigenwert, die Diagonalisierbarkeit, die Trigonalisierbarkeit.


Aufgabe

Sei eine Gruppe. Betrachte die Relation auf , wobei bedeutet, dass es einen inneren Automorphismus mit gibt. Zeige, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist.


Die Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation bekommen einen eigenen Namen:

Zu einer Gruppe nennt man die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente als äquivalent (oder konjugiert) gelten, wenn sie durch einen inneren Automorphismus ineinander überführt werden können, die Konjugationsklassen.


Aufgabe

  1. Bestimme die Konjugationsklassen auf der Drehgruppe .
  2. Bestimme die Konjugationsklassen der Elemente innerhalb von .
  3. Bestimme die Konjugationsklassen der Elemente innerhalb von .
  4. Bestimme die Konjugationsklassen der Elemente innerhalb von .


Aufgabe

Sei und sei ein Unterkörper. Wir betrachten den Gruppenhomomorphismus

der jeder Permutation die zugehörige Permutationsmatrix zuordnet. Zeige, dass zwei Permutationen genau dann konjugiert in sind, wenn ihre zugehörigen Permutationsmatrizen ähnlich sind.


Aufgabe *

Seien und Gruppen und sei

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Urbild eines Normalteilers ein Normalteiler in ist.


Aufgabe

Zeige, dass der Durchschnitt von Normalteilern , , in einer Gruppe ein Normalteiler ist.


Aufgabe

Seien und Gruppen und sei

ein Gruppenhomomorphismus. Ist das Bild von ein Normalteiler in ?


Zu heißt die Untergruppe

der geraden Permutationen die alternierende Gruppe.


Aufgabe

Bestimme, ob die alternierende Gruppe ein Normalteiler in der Permutationsgruppe ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, , die allgemeine lineare Gruppe der invertierbaren Matrizen und

die Untergruppe der Matrizen mit Determinante . Zeige, dass die Linksnebenklasse (und auch die Rechtsnebenklasse) zu gleich der Menge aller Matrizen ist, deren Determinante mit übereinstimmt.

Zeige auf möglichst viele Weisen, dass ein Normalteiler in ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel von drei Untergruppen an derart, dass ein Normalteiler in und ein Normalteiler in , aber kein Normalteiler in ist.


In der folgenden Aufgabe wird das Zentrum einer Gruppe verwendet.

Sei eine Gruppe. Das Zentrum von ist die Teilmenge


Aufgabe *

Sei eine Gruppe und sei eine Untergruppe des Zentrums von . Zeige, dass ein Normalteiler in ist.


Aufgabe

Sei eine Gruppe. Zeige, dass das Zentrum ein Normalteiler in ist. Man bringe das Zentrum in Zusammenhang mit dem Gruppenhomomorphismus

Was ist das Bild von diesem Homomorphismus, und was besagen die Homomorphiesätze in dieser Situation?


Aufgabe

Sei eine Gruppe und sei eine Menge mit einer Verknüpfung. Es sei

eine surjektive Abbildung mit für alle . Zeige, dass eine Gruppe und ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe

Es seien und Gruppen mit der Produktgruppe . Zeige, dass die Gruppe ein Normalteiler in ist, und dass die Restklassengruppe kanonisch isomorph zu ist.


Aufgabe

Es seien und Gruppen und seien und Normalteiler. Zeige, dass ein Normalteiler in ist und dass eine Isomorphie

vorliegt.


Aufgabe

Zeige, dass für jede reelle Zahl die Restklassengruppen untereinander isomorph sind.


Aufgabe

Bestimme die Restklassengruppe zu .


Aufgabe *

Zeige, dass es in der Restklassengruppe zu jedem Elemente gibt, deren Ordnung gleich ist.


Aufgabe

Zeige, dass es keine Untergruppe derart gibt, dass

ein Isomorphismus ist.


Aufgabe

Sei eine Gruppe und ein Element mit dem (nach Lemma 4.4) zugehörigen Gruppenhomomorphismus

Beschreibe die kanonische Faktorisierung von gemäß Satz 5.12.


Aufgabe

Zeige mit Hilfe der Homomorphiesätze, dass zyklische Gruppen mit der gleichen Ordnung isomorph sind.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei die Gruppe der bijektiven Abbildungen der Menge in sich selbst. Bestimme die Konjugationsklassen dieser Gruppe.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine Primzahl und die zyklische Gruppe mit Elementen. Finde eine Gruppe derart, dass eine Untergruppe ist und dass in je zwei von verschiedene Elemente aus zueinander konjugiert sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Konjugationsklassen der (eigentlichen) Würfelgruppe.


Aufgabe (2 Punkte)

Seien und Gruppen und sei

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Bild eines Normalteilers ein Normalteiler in ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass jede Untergruppe vom Index zwei in einer Gruppe ein Normalteiler in ist.



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