Kurs:Lineare Algebra/Teil I/10/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | |
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Punkte | 3 | 3 | 6 | 5 | 2 | 3 | 8 | 7 | 4 | 4 | 8 | 3 | 2 | 5 | 63 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die
Kommutativität
einer Verknüpfung
- Die Dimension eines -Vektorraums ( besitze ein endliches Erzeugendensystem).
- Die
beschreibende Matrix
zu einer
linearen Abbildung
zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen und bezüglich einer Basis von und einer Basis von .
- Die Permutationsgruppe zu einer Menge .
- Ein Eigenwert zu einer
linearen Abbildung
auf einem - Vektorraum .
- Eine
affin-lineare
Abbildung
zwischen den affinen Räumen und über den - Vektorräumen bzw. .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Übergangsmatrizen zu drei Basen.
- Der Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung mit Linearformen.
- Der Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit zu einer linearen Abbildung
Aufgabe * (6 (1+1+4) Punkte)
Zu sei
Zu jedem und jedem seien die Abbildungen
durch
und die Abbildungen
durch
definiert.
a) Erstelle eine Wertetabelle für
b) Erstelle eine Wertetabelle für
c) Beschreibe die durch die Wertetabelle
als eine Hintereinanderschaltung von geeigneten und .
Aufgabe * (5 Punkte)
Es sei ein -dimensionaler - Vektorraum ( ein Körper) und seien Untervektorräume der Dimension und . Es gelte . Zeige, dass ist.
Aufgabe * (2 Punkte)
Frau Maier-Sengupta ist für ein halbes Jahr in Elternzeit. Ihr Sohn Siddhartha kam mit einem Gewicht von drei Kilogramm auf die Welt und wurde in den sechs Monaten ausschließlich von Muttermilch ernährt. Nach den sechs Monaten wiegt er zehn Kilogramm. Jeden Tag hat das Kind Milliliter Milch getrunken. Wie viel Milch hat Siddhartha in den sechs Monaten getrunken und wie viel Prozent davon ging in die Gewichtszunahme? (Rechne mit Monat = Tage und setze das Milchgewicht gleich dem Gewicht von Wasser an).
Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)
Es sei ein
Körper
und es seien
und
Vektorräume
über . Es sei ein
Erzeugendensystem
von und es sei eine Familie von Vektoren in .
a) Zeige, dass es maximal eine lineare Abbildung
mit für alle geben kann.
b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Situation an, wo es keine lineare Abbildung mit
für alle gibt.
Aufgabe * (8 (4+4) Punkte)
Es sei ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum
und
ein
Untervektorraum.
a) Zeige, dass es Linearformen auf mit
gibt.
b) Man folgere, dass jeder Untervektorraum
der Kern einer linearen Abbildung ist und dass jeder Untervektorraum des der Lösungsraum eines
linearen Gleichungssystems
ist.
Aufgabe * (7 (1+3+3) Punkte)
Es sei und sei eine Permutation auf . Die zugehörige Permutationsmatrix ist dadurch gegeben, dass
ist und alle anderen Einträge sind.
a) Bestimme die Permutationsmatrix zur Permutation
b) Zeige, dass die Abbildung
ein Gruppenhomomorphismus ist.
c) Zeige, dass
ist.
Aufgabe * (4 Punkte)
Es seien die beiden komplexen Polynome
gegeben. Berechne (es soll also in eingesetzt werden).
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei
eine obere Dreiecksmatrix. Zeige direkt (ohne charakteristisches Polynom), dass ein Eigenwert zu ein Diagonaleintrag von sein muss.
Aufgabe * (8 Punkte)
Es seien endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper und
lineare Abbildungen und es sei
die Produktabbildung. Zeige direkt (ohne charakteristisches Polynom), dass genau dann trigonalisierbar ist, wenn dies für alle gilt.
Aufgabe * (3 Punkte)
Man bestimme den größten gemeinsamen Teiler von und und man gebe eine Darstellung des von und mittels dieser Zahlen an.
Aufgabe * (5 Punkte)
Es seien und affine Basen eines affinen Raumes . Die Darstellung mit baryzentrischen Koordinaten von bezüglich der sei
Berechne aus der baryzentrischen Darstellung eines Punktes
bezüglich der die baryzentrische Darstellung von bezüglich der .