Kurs:Lineare Algebra/Teil I/10/Klausur

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 3 3 6 5 2 3 8 7 4 4 8 3 2 5 63



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Kommutativität einer Verknüpfung
  2. Die Dimension eines -Vektorraums ( besitze ein endliches Erzeugendensystem).
  3. Die beschreibende Matrix zu einer linearen Abbildung

    zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen und bezüglich einer Basis von und einer Basis von .

  4. Die Permutationsgruppe zu einer Menge .
  5. Ein Eigenwert zu einer linearen Abbildung

    auf einem -Vektorraum .

  6. Eine affin-lineare Abbildung

    zwischen den affinen Räumen und über den -Vektorräumen  bzw. .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Übergangsmatrizen zu drei Basen.
  2. Der Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung mit Linearformen.
  3. Der Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit zu einer linearen Abbildung
    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .


Aufgabe * (6 (1+1+4) Punkte)

Zu sei

Zu jedem und jedem seien die Abbildungen

durch

und die Abbildungen

durch

definiert.

a) Erstelle eine Wertetabelle für

b) Erstelle eine Wertetabelle für

c) Beschreibe die durch die Wertetabelle

gegebene Abbildung

als eine Hintereinanderschaltung von geeigneten und .


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ein -dimensionaler -Vektorraum ( ein Körper) und seien Untervektorräume der Dimension und . Es gelte . Zeige, dass ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Frau Maier-Sengupta ist für ein halbes Jahr in Elternzeit. Ihr Sohn Siddhartha kam mit einem Gewicht von drei Kilogramm auf die Welt und wurde in den sechs Monaten ausschließlich von Muttermilch ernährt. Nach den sechs Monaten wiegt er zehn Kilogramm. Jeden Tag hat das Kind Milliliter Milch getrunken. Wie viel Milch hat Siddhartha in den sechs Monaten getrunken und wie viel Prozent davon ging in die Gewichtszunahme? (Rechne mit Monat = Tage und setze das Milchgewicht gleich dem Gewicht von Wasser an).


Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Es sei ein Erzeugendensystem von und es sei eine Familie von Vektoren in .

a) Zeige, dass es maximal eine lineare Abbildung

mit für alle

geben kann.

b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Situation an, wo es keine lineare Abbildung mit für alle gibt.


Aufgabe * (8 (4+4) Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und ein Untervektorraum. Zeige, dass es Linearformen auf mit

gibt.

b) Man folgere, dass jeder Untervektorraum der Kern einer linearen Abbildung ist und dass jeder Untervektorraum des der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems ist.


Aufgabe * (7 (1+3+3) Punkte)

Sei und sei eine Permutation auf . Die zugehörige Permutationsmatrix ist dadurch gegeben, dass

ist und alle anderen Einträge sind.

a) Bestimme die Permutationsmatrix zur Permutation

b) Zeige, dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist.

c) Zeige, dass

ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien die beiden komplexen Polynome

gegeben. Berechne (es soll also in eingesetzt werden).


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

eine obere Dreiecksmatrix. Zeige direkt (ohne charakteristisches Polynom), dass ein Eigenwert zu ein Diagonaleintrag von sein muss.


Aufgabe * (8 Punkte)

Es seien endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper und

lineare Abbildungen und es sei

die Produktabbildung. Zeige direkt (ohne charakteristisches Polynom), dass genau dann trigonalisierbar ist, wenn dies für alle gilt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von und und gebe eine Darstellung des von und mittels dieser Zahlen an.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme, ob die Matrix

nilpotent ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien und affine Basen eines affinen Raumes . Die Darstellung mit baryzentrischen Koordinaten von bezüglich der sei

Berechne aus der baryzentrischen Darstellung eines Punktes

bezüglich der die baryzentrische Darstellung von bezüglich der .