Kurs:Lineare Algebra/Teil I/4/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	3	4	2	4	1	4	4	3	6	6	3	5	2	3	8	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Die offizielle Berechtigung für die Klausurteilnahme werde durch mindestens ${}200$ Punkte im Übungsbetrieb erworben. Professor Knopfloch sagt, dass es aber auf einen Punkt mehr oder weniger nicht ankomme. Zeige durch eine geeignete Induktion, dass man mit jeder Punkteanzahl zur Klausur zugelassen wird.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Löse das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}3x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+z&+4w&=&4\\2x&+2y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&0\\4x&+6y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&2\\x&+3y&+5z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&3\,.\end{matrix}}$

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}D$ die Menge aller reellen ${}2\times 2$-Matrizen

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}},$

die die Bedingung

${}a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}=0\,$

erfüllen. Zeige, dass ${}D$ kein Untervektorraum im Raum aller ${}2\times 2$-Matrizen ist.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {Q} ^{n}$ ein Untervektorraum. Zeige, dass ${}U$ eine Basis aus Vektoren besitzt, deren Einträge allesamt ganze Zahlen sind.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Dimension des Standardraumes.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler ${}K$- Vektorraum und es sei ${}U\subseteq V$ ein ${}(n-1)$-dimensionaler Untervektorraum. Zeige, dass es eine Linearform ${}f\colon V\rightarrow K$ mit ${}U=\operatorname {kern} f$ gibt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Basis

${\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {R} ^{2}$ und es sei ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ die Projektion von ${}\mathbb {R} ^{2}$ auf ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ bezüglich dieser Basis. Bestimme die Matrix zu ${}\varphi$ bezüglich der Standardbasis.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen

$A={\begin{pmatrix}1&4&0\\2&0&5\\0&2&-1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,B={\begin{pmatrix}1&2&7\\0&3&6\\0&-2&-3\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Leibniz-Formel für die Determinante direkt aus dem Distributivgesetz für multilineare Abbildungen.

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme explizit die reellen ${}2\times 2$- Matrizen der Form

${}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,$

mit

${}M^{2}=0\,.$

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und seien ${}\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$ Elemente in ${}K$. Zeige, dass

${}\operatorname {Eig} _{\lambda _{1}}{\left(\varphi \right)}\cap \operatorname {Eig} _{\lambda _{2}}{\left(\varphi \right)}=0\,$

ist.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper ${}K$ und es sei

$f\colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass das charakteristische Polynom ${}\chi _{f}$ und das Minimalpolynom ${}\mu _{f}$ die gleichen Nullstellen besitzen.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine nilpotente lineare Abbildung, die auch diagonalisierbar sei. Zeige

${}\varphi =0\,.$

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

${\begin{pmatrix}5&7&1\\0&5&4\\0&0&5\end{pmatrix}}$

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der ${}\varphi$ durch die Matrix

${\begin{pmatrix}5&1&0\\0&5&1\\0&0&5\end{pmatrix}}$

beschrieben wird.

Aufgabe * (8 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}E$ ein affiner Raum über einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ und es sei

$P_{1},\ldots ,P_{n}$

eine endliche Familie von Punkten aus ${}E$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Die Punkte ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ sind affin unabhängig.
2. Für jedes ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ ist die Vektorfamilie

   ${\overrightarrow {P_{i}P_{1}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{i}P_{i-1}}},\,{\overrightarrow {P_{i}P_{i+1}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{i}P_{n}}}$

   linear unabhängig.

3. Es gibt ein ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ derart, dass die Vektorfamilie

   ${\overrightarrow {P_{i}P_{1}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{i}P_{i-1}}},\,{\overrightarrow {P_{i}P_{i+1}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{i}P_{n}}}$

   linear unabhängig ist.

4. Die Punkte ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ bilden in dem von ihnen erzeugten affinen Unterraum eine affine Basis.