Kurs:Lineare Algebra/Teil I/55/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	1	7	3	4	4	8	4	4	3	2	7	2	4	4	1	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Teilmenge ${}T$ einer Menge ${}M$.
2. Ein Erzeugendensystem ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eines ${}K$-Vektorraumes ${}V$.
3. Die beschreibende Matrix zu einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen ${}V$ und ${}W$ bezüglich einer Basis  ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$  von ${}V$ und einer Basis  ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$  von ${}W$.

4. Die Determinante einer ${}n\times n$- Matrix ${}M$.
5. Der Polynomring über einem Körper ${}K$ (einschließlich der darauf definierten Verknüpfungen).
6. Der Hauptraum zu einer linearen Abbildung ${}\varphi$ auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ und einem Eigenwert ${}\lambda \in K$.

Lösung

1. Man sagt, dass die Menge ${}T$ eine Teilmenge von ${}M$ ist, wenn jedes Element von ${}T$ auch ein Element von ${}M$ ist.
2. Die Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von ${}V$, wenn man jeden Vektor ${}v\in V$ als Linearkombination der ${}v_{i}$ darstellen kann.
3. Unter der beschreibenden Matrix zu ${}\varphi$ bezüglich der Basen versteht man die ${}m\times n$- Matrix

   ${}M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )=(a_{ij})_{ij}\,,$

   wobei ${}a_{ij}$ die ${}i$-te Koordinate von ${}\varphi (v_{j})$ bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ ist.

4. Zu ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei ${}M_{i}$ diejenige ${}(n-1)\times (n-1)$-Matrix, die entsteht, wenn man in ${}M$ die erste Spalte und die ${}i$-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von ${}M$ durch

   $\det M={\begin{cases}a_{11}\,,&{\text{falls }}n=1\,,\\\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}&{\text{ für }}n\geq 2\,.\end{cases}}$

5. Der Polynomring über einem Körper ${}K$ besteht aus allen Polynomen

   ${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$

   mit ${}a_{i}\in K$, ${}n\in \mathbb {N}$, und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

   ${}X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,$

   definiert ist.

6. Man nennt

   ${}\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {kern} {\left(\varphi -\lambda \operatorname {Id} \right)}^{n}\,$

   den Hauptraum zu ${}\varphi$ zum Eigenwert ${}\lambda$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.
2. Der Satz über die Umkehrabbildung einer linearen Abbildung
3. Die Leibniz-Formel für die Determinante.

Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann besitzen je zwei Basen von ${}V$ die gleiche Anzahl von Basisvektoren.
2. Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ zwei ${}K$- Vektorräume. Es sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   eine bijektive lineare Abbildung. Dann ist auch die Umkehrabbildung

   $\varphi ^{-1}\colon W\longrightarrow V$

   linear.
3. Für die Determinante einer ${}n\times n$-Matrix

   ${}M=(a_{ij})_{ij}\,$

   gilt

   ${}\det M=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}\,.$

Aufgabe (1 Punkt)

Wie sinnvoll ist die Gleichungskette

${}{\text{Pythagoras}}=c^{2}=a^{2}+b^{2}\,?$

Lösung erstellen

Aufgabe weiter

Auf der Dating-Plattform „Catch your match“ ist eine Menge ${}M$ von Personen registriert. Es gibt ferner eine Menge ${}E$ von Eigenschaften, über die die Personen verfügen oder nicht (was man dem Profil entnehmen kann). Zu einer Teilmenge an Eigenschaften  ${}W\subseteq E$  (Wunscheigenschaften) definieren wir

${}W^{\perp }={\left\{m\in M\mid m{\text{ besitzt alle Eigenschaften aus }}W\right\}}\,$

und zu einer Teilmenge  ${}S\subseteq M$  definieren wir

${}S^{\perp }={\left\{e\in E\mid {\text{ jeder Mensch aus }}S{\text{ besitzt die Eigenschaft }}e\right\}}\,.$

1. Beschreibe zu einer Eigenschaft  ${}e\in E$  die Menge ${}\{e\}^{\perp }$ mit einem Satz.
2. Beschreibe zu einer Person  ${}m\in M$  die Menge ${}\{m\}^{\perp }$ mit einem Satz.
3. Warum ist vermutlich  ${}E^{\perp }=\emptyset$? 
4. Zeige: Zu Teilmengen  ${}W_{1}\subseteq W_{2}$  (in ${}E$) ist

   ${}{\left(W_{1}\right)}^{\perp }\supseteq {\left(W_{2}\right)}^{\perp }\,.$

5. Zeige: Für eine beliebige Teilmenge  ${}W\subseteq E$  ist

   ${}W\subseteq {\left(W^{\perp }\right)}^{\perp }\,.$

6. Zeige: Für eine Vereinigung

   ${}W=W_{1}\cup W_{2}\subseteq E\,$

   ist

   ${}{\left(W_{1}\cup W_{2}\right)}^{\perp }={\left(W_{1}\right)}^{\perp }\cap {\left(W_{2}\right)}^{\perp }\,.$

7. Gilt für einen Durchschnitt

   ${}W=W_{1}\cap W_{2}\subseteq E\,$

   die Beziehung

   ${}{\left(W_{1}\cap W_{2}\right)}^{\perp }={\left(W_{1}\right)}^{\perp }\cup {\left(W_{2}\right)}^{\perp }\,?$

8. Gilt für eine beliebige Teilmenge  ${}W\subseteq E$  die Beziehung

   ${}W^{\perp }={\left({\left(W^{\perp }\right)}^{\perp }\right)}^{\perp }\,?$

Lösung

1. Das ist die Menge aller Personen, die diese Eigenschaft erfüllen.
2. Das ist die Menge aller Eigenschaften, die diese Person besitzt.
3. Es gibt vermutlich in ${}E$ Eigenschaften, die sich ausschließen, wie klein und groß (oder Katzenfreund/Kein Katzenfreund).
4. Es sei  ${}m\in {\left(W_{2}\right)}^{\perp }$.  Dies bedeutet, dass ${}m$ eine Person ist, die alle Eigenschaften aus ${}W_{2}$ erfüllt. Dann erfüllt ${}m$ erst recht alle Eigenscahften aus der Teilmenge ${}W_{1}$, also gilt  ${}m\in {\left(W_{1}\right)}^{\perp }$. 
5. Es sei  ${}e\in W$.  Die Menge ${}W^{\perp }$ besteht aus allen Personen, die alle Eigenschaften aus ${}W$ besitzen. Diese Personenmenge besitzt insbesondere die Eigenschaft ${}e$, daher ist  ${}e\in {\left(W^{\perp }\right)}^{\perp }$. 
6. Wegen  ${}W_{1}\subseteq W_{1}\cup W_{2}$  gilt nach Teil (4)

   ${}{\left(W_{1}\cup W_{2}\right)}^{\perp }=W_{1}^{\perp }\,$

   und entsprechend für ${}W_{2}$. Dies ergibt die Inklusion  ${}{\left(W_{1}\cup W_{2}\right)}^{\perp }\subseteq W_{1}^{\perp }\cap W_{1}^{\perp }$.  Es sei nun  ${}m=W_{1}^{\perp }\cap W_{1}^{\perp }$.  Dies bedeutet, dass ${}m$ alle Eigenschaften aus ${}W_{1}$ und alle Eigenschaften aus ${}W_{2}$ besitzt. Also besitzt ${}m$ alle Eigenschaften aus ${}W_{1}\cup W_{2}$, also  ${}m\in {\left(W_{1}\cup W_{2}\right)}^{\perp }$. 

7. Dies muss nicht gelten. Es kann beispielsweise ${}E$ disjunkt zerlegt in ${}W_{1}$ und ${}W_{2}$ sein. Dann ist  ${}W_{1}\cap W_{2}=\emptyset$  und  ${}\emptyset ^{\perp }=M$.  Es kann aber gleichzeitig sein, dass es sowohl in ${}W_{1}$ als auch in ${}W_{2}$ widersprüchliche Eigenschaften, sodass

   ${}{\left(W_{1}\right)}^{\perp }=\emptyset ={\left(W_{2}\right)}^{\perp }\,$

   gilt.

8. Das gilt. Nach (4) ist  ${}W\subseteq {\left(W^{\perp }\right)}^{\perp }$,  woraus mit (5) die Inklusion

   ${}{\left({\left(W^{\perp }\right)}^{\perp }\right)}^{\perp }\subseteq W^{\perp }\,.$

   Die zu (4) analoge Eingenschaft gilt auch für Teilmengen  ${}T\subseteq M$.  Angewendet auf  ${}T=W^{\perp }$,  ergibt sich

   ${}W^{\perp }\subseteq {\left({\left(W^{\perp }\right)}^{\perp }\right)}^{\perp }\,.$

Aufgabe (3 (1.5+1.5) Punkte)

Ein Zug fährt ${}100$ Kilometer den Rhein abwärts mit einer Geschwindigkeit von ${}100$ kmh. Auf dem Rhein fahren Schiffe in beide Richtungen, alle mit einer Geschwindigkeit von ${}20$ kmh, wobei sie zu den gleichgerichteten Schiffen einen konstanten Abstand von ${}2$ km einhalten. Zu Beginn der Fahrt ist der Zug gleichauf mit zwei Schiffen (in beide Richtungen).

1. Wie vielen entgegenkommenden Schiffen begegnet der Zug?
2. Wie viele Schiffe überholt der Zug?

Lösung

Wir denken uns die Rheinstrecke skaliert von ${}0$ bis ${}120$, der Startort ist beim Nullpunkt ${}0$ und der Zielpunkt des Zuges ist bei ${}100$. Aufgrund der Anfangsbedingung befinden sich zum Startzeitpunkt Schiffe in beide Richtungen in den Positionen

$0,2,4,\ldots ,98,100,102,\ldots ,118,120.$

1. Die entgegenkommenden Schiffe sind die in Gegenrichtung fahrenden Schiffe, die sich zum Startzeitpunkt an den Positionen ${}0$ bis ${}120$ befinden (das Schiff in der Position ${}120$ ist nach einer Stunde an der Position ${}100$ und begegnet zum Endzeitpunkt dem Zug). Dies sind insgesamt ${}61$ Schiffe.
2. Die eingeholten Schiffe sind die in gleicher Richtung fahrenden Schiffe, die sich zum Startzeitpunkt an den Positionen ${}0$ bis ${}80$ befinden (das Schiff in der Position ${}80$ ist nach einer Stunde an der Position ${}100$ und wird zum Endzeitpunkt vom Zug eingeholt). Dies sind insgesamt ${}41$ Schiffe.

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene lineare Gleichungssystem

${\begin{matrix}4x&+2y&\,\,\,\,-z&+2w&=&3\\x&+y&+2z&\,\,\,\,-w&=&1\\-x&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,-z&+3w&=&2\\3x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+3z&-2w&=&0\,.\end{matrix}}$

Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable ${}y$, indem wir die zweite Gleichung zweimal von der ersten Gleichung abziehen . Dies führt auf

${\begin{matrix}2x&\,\,\,\,\,\,\,\,&-5z&+4w&=&1\\-x&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,-z&+3w&=&2\\3x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+3z&-2w&=&0\,.\end{matrix}}$

Nun eliminieren wir die Variable ${}x$, indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) ${}2II+I$ und ${}3II+III$ ausrechnen. Dies führt auf

${\begin{matrix}&\,\,\,\,\,\,\,\,&-7z&+10w&=&5\\&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,\,\,&+7w&=&6\,.\end{matrix}}$

Es ergibt sich

${}7w=6\,$

und

${}w={\frac {6}{7}}\,.$

Rückwärts gelesen ergibt sich

${}z={\frac {25}{49}}\,,$

${}x={\frac {3}{49}}\,$

und

${}y={\frac {38}{49}}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte ${}(-1,1)$ und ${}(4,-2)$ verläuft.

Lösung

Der Richtungsvektor der Geraden ist ${}{\begin{pmatrix}5\\-3\end{pmatrix}}$. Somit besitzt die Geradengleichung die Form

${}3x+5y=c\,.$

Einsetzen eines Punkt ergibt  ${}c=2$.  Somit ist

${}y={\frac {2-3x}{5}}\,.$

Dies setzen wir in die Kreisgleichung

${}x^{2}+y^{2}=1\,$

ein und erhalten

${}x^{2}+{\left({\frac {2-3x}{5}}\right)}^{2}=1\,$

oder

${}x^{2}+{\frac {4-12x+9x^{2}}{25}}-1={\frac {34}{25}}x^{2}-{\frac {12}{25}}x-{\frac {21}{25}}=0\,.$

Die Normierung davon ist

$x^{2}-{\frac {6}{17}}x-{\frac {21}{34}}.$

Somit ist

${}{\begin{aligned}x_{1,2}&={\frac {{\frac {6}{17}}\pm {\sqrt {{\left({\frac {6}{17}}\right)}^{2}+4\cdot {\frac {21}{34}}}}}{2}}\\&={\frac {{\frac {6}{17}}\pm {\sqrt {{\left({\frac {6}{17}}\right)}^{2}+{\frac {42}{17}}}}}{2}}\\&={\frac {6\pm {\sqrt {6^{2}+714}}}{34}}\\&={\frac {6\pm {\sqrt {750}}}{34}}\\&={\frac {6\pm 5{\sqrt {30}}}{34}}\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}y_{1,2}&={\frac {2-3x_{1,2}}{5}}\\&={\frac {2-3{\left({\frac {6\pm 5{\sqrt {30}}}{34}}\right)}}{5}}\\&={\frac {68-3{\left(6\pm 5{\sqrt {30}}\right)}}{170}}\\&={\frac {50\mp 15{\sqrt {30}}}{170}}\\&={\frac {10\mp 3{\sqrt {30}}}{34}}.\end{aligned}}$

Die Schnittpunkte sind also

$\left({\frac {6+5{\sqrt {30}}}{34}},\,{\frac {10-3{\sqrt {30}}}{34}}\right)\,\,{\text{ und }}\,\,\left({\frac {6-5{\sqrt {30}}}{34}},\,{\frac {10+3{\sqrt {30}}}{34}}\right).$

Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Basisaustauschsatz.

Lösung

Wir führen Induktion über ${}k$, also über die Anzahl der Vektoren in der Familie. Bei  ${}k=0$  ist nichts zu zeigen. Es sei die Aussage für ${}k$ schon bewiesen und seien ${}k+1$ linear unabhängige Vektoren

$u_{1},\ldots ,u_{k},u_{k+1}$

gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung, angewandt auf die

(ebenfalls linear unabhängigen) Vektoren

$u_{1},\ldots ,u_{k}$

gibt es eine Teilmenge  ${}J=\{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}\}\subseteq \{1,\ldots ,n\}$  derart, dass die Familie

$u_{1},\ldots ,u_{k},b_{i},i\in I\setminus J,$

eine Basis von ${}V$ ist. Wir wollen auf diese Basis das Austauschlemma anwenden. Da eine Basis vorliegt, kann man

${}u_{k+1}=\sum _{j=1}^{k}c_{j}u_{j}+\sum _{i\in I\setminus J}d_{i}b_{i}\,$

schreiben.  Wären hierbei alle Koeffizienten  ${}d_{i}=0$,   so ergäbe sich sofort ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der ${}u_{j}$, ${}j=1,\ldots ,k+1$. Es gibt also ein  ${}i\in I\setminus J$  mit  ${}d_{i}\neq 0$.  Wir setzen  ${}i_{k+1}:=i$.  Damit ist  ${}J'=\{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},i_{k+1}\}$  eine ${}(k+1)$-elementige Teilmenge von ${}{\{1,\ldots ,n\}}$. Nach dem Austauschlemma kann man den Basisvektor ${}b_{i_{k+1}}$ durch ${}u_{k+1}$ ersetzen und erhält die neue Basis

$u_{1},\ldots ,u_{k},u_{k+1},b_{i},i\in I\setminus J'.$

  Der Zusatz folgt sofort, da eine ${}k$-elementige Teilmenge einer ${}n$-elementigen Menge vorliegt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R}$

mit

$\varphi {\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}}=6,\,\varphi {\begin{pmatrix}4\\-1\\-2\end{pmatrix}}=7{\text{ und }}\varphi {\begin{pmatrix}0\\5\\-5\end{pmatrix}}=-3$

gegeben. Berechne

$\varphi {\begin{pmatrix}1\\5\\4\end{pmatrix}}.$

Lösung

Wir Lösen zuerst das Gleichungssystem

${}a{\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}4\\-1\\-2\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}0\\5\\-5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\5\\4\end{pmatrix}}\,.$

Die Summe

${}IV=II+III\,$

ergibt die Bedingung

${}2a-3b=9\,.$

Die Differenz

${}V=2I-3IV\,$

ergibt

${}17b=-25\,.$

Also ist

${}b=-{\frac {25}{17}}\,$

und damit

${}a={\frac {1}{3}}-{\frac {4}{3}}b={\frac {1}{3}}+{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {25}{17}}={\frac {17+100}{51}}={\frac {39}{17}}\,$

und

${}c={\frac {1}{5}}b+1={\frac {1}{5}}\cdot {\frac {-25}{17}}+1={\frac {-25+85}{85}}={\frac {60}{85}}={\frac {12}{17}}\,.$

Somit ist

${}{\begin{aligned}\varphi {\begin{pmatrix}1\\5\\4\end{pmatrix}}&=\varphi {\left({\frac {39}{17}}{\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}}-{\frac {25}{17}}{\begin{pmatrix}4\\-1\\-2\end{pmatrix}}+{\frac {12}{17}}{\begin{pmatrix}0\\5\\-5\end{pmatrix}}\right)}\\&={\frac {39}{17}}\cdot 6-{\frac {25}{17}}\cdot 7+{\frac {12}{17}}\cdot (-3)\\&={\frac {234-175-36}{17}}\\&={\frac {23}{17}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Matrixbeschreibung für die duale Abbildung.

Lösung

Die Behauptung bedeutet die Gleichheit

${}\varphi ^{*}(w_{j}^{*})=\sum _{i=1}^{n}a_{ji}v_{i}^{*}\,$

in ${}{V}^{*}$. Dies kann man auf der Basis ${}v_{k}$, ${}k=1,\ldots ,n$, überprüfen. Es ist einerseits

${}{\begin{aligned}{\left(\varphi ^{*}(w_{j}^{*})\right)}(v_{k})&=w_{j}^{*}{\left(\varphi (v_{k})\right)}\\&=w_{j}^{*}{\left(\sum _{r=1}^{m}a_{rk}w_{r}\right)}\\&=\sum _{r=1}^{m}a_{rk}w_{j}^{*}(w_{r})\\&=a_{jk}\end{aligned}}$

und andererseits ebenso

${}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ji}v_{i}^{*}\right)}(v_{k})=a_{jk}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}-2-{\mathrm {i} }&3-4{\mathrm {i} }&2{\mathrm {i} }\\0&6+7{\mathrm {i} }&4\\3+3{\mathrm {i} }&4-3{\mathrm {i} }&-4-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\det {\begin{pmatrix}-2-{\mathrm {i} }&3-4{\mathrm {i} }&2{\mathrm {i} }\\0&6+7{\mathrm {i} }&4\\3+3{\mathrm {i} }&4-3{\mathrm {i} }&-4-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\\&={\left(-2-{\mathrm {i} }\right)}\cdot \det {\begin{pmatrix}6+7{\mathrm {i} }&4\\4-3{\mathrm {i} }&-4-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}+{\left(3+3{\mathrm {i} }\right)}\cdot \det {\begin{pmatrix}3-4{\mathrm {i} }&2{\mathrm {i} }\\6+7{\mathrm {i} }&4\end{pmatrix}}\\&={\left(-2-{\mathrm {i} }\right)}\cdot {\left({\left(6+7{\mathrm {i} }\right)}{\left(-4-{\mathrm {i} }\right)}-4{\left(4-3{\mathrm {i} }\right)}\right)}+{\left(3+3{\mathrm {i} }\right)}\cdot {\left(4{\left(3-4{\mathrm {i} }\right)}-2{\mathrm {i} }{\left(6+7{\mathrm {i} }\right)}\right)}\\&={\left(-2-{\mathrm {i} }\right)}\cdot {\left(-33-22{\mathrm {i} }\right)}+{\left(3+3{\mathrm {i} }\right)}\cdot {\left(26-28{\mathrm {i} }\right)}\\&=44+77{\mathrm {i} }+162-6{\mathrm {i} }\\&=206+71{\mathrm {i} }.\,\end{aligned}}$

Aufgabe (2 Punkte)

Ersetze im Term ${}4x^{2}+3x+7$ die Variable ${}x$ durch den Term ${}y^{3}+5$ und vereinfache den entstehenden Ausdruck.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}4{\left(y^{3}+5\right)}^{2}+3{\left(y^{3}+5\right)}+7&=4{\left(y^{6}+10y^{3}+25\right)}+3y^{3}+15+7\\&=4y^{6}+43y^{3}+122.\end{aligned}}$

Aufgabe (7 Punkte)

Betrachte die Funktion

${}F(x)=x^{4}-x^{3}\,.$

Finde  ${}a,b,c,d\in \mathbb {R}$  derart, dass

${}x^{4}-x^{3}=(x-a)^{2}(x-b)^{2}+cx+d\,$

gilt.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}(x-a)^{2}(x-b)^{2}&={\left(x^{2}-2ax+a^{2}\right)}{\left(x^{2}-2bx+b^{2}\right)}\\&=x^{4}-2(a+b)x^{3}+{\left(a^{2}+b^{2}+4ab\right)}x^{2}+{\left(-2a^{2}b-2ab^{2}\right)}x+a^{2}b^{2}.\end{aligned}}$

Der Vergleich mit ${}x^{4}-x^{3}$ führt auf das Gleichungssystem

${}2(a+b)=1\,$

und

${}a^{2}+b^{2}+4ab=0\,,$

der lineare Anteil bleibt zuerst unberücksichtigt. Wir lösen die erste Gleichung nach ${}a$ auf und erhalten

${}a={\frac {1}{2}}-b\,.$

Dies eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt

${}{\begin{aligned}{\left({\frac {1}{2}}-b\right)}^{2}+b^{2}+4{\left({\frac {1}{2}}-b\right)}b&={\frac {1}{4}}-b+b^{2}+b^{2}+2b-4b^{2}\\&=-2b^{2}+b+{\frac {1}{4}}\\&=0.\end{aligned}}$

Somit muss die quadratische Gleichung

${}b^{2}-{\frac {1}{2}}b-{\frac {1}{8}}=0\,$

gelöst werden. Die Lösungen sind

${}b={\frac {\pm {\sqrt {3}}}{4}}+{\frac {1}{4}}\,,$

wobei ${}a$ dann die andere Lösung ist (${}a$ und ${}b$ sind in der Fragestellung und in dem Gleichungssystem gleichberechtigt). Wir setzen

${}b={\frac {-{\sqrt {3}}}{4}}+{\frac {1}{4}}={\frac {1-{\sqrt {3}}}{4}}\,$

und

${}a={\frac {1+{\sqrt {3}}}{4}}\,.$

Daraus ergeben sich dann

${}{\begin{aligned}c&=2a^{2}b+2ab^{2}\\&=2ab(a+b)\\&=2{\left({\frac {1+{\sqrt {3}}}{4}}\right)}{\left({\frac {1-{\sqrt {3}}}{4}}\right)}{\frac {1}{2}}\\&=-{\frac {2}{16}}\\&=-{\frac {1}{8}}\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}d&=-a^{2}b^{2}\\&=-{\left({\frac {1+{\sqrt {3}}}{4}}\right)}^{2}{\left({\frac {1-{\sqrt {3}}}{4}}\right)}^{2}\\&=-{\frac {4}{256}}\\&=-{\frac {1}{64}}.\end{aligned}}$

Es ist also

${}x^{4}-x^{3}={\left(x-{\frac {{\sqrt {3}}+1}{4}}\right)}^{2}{\left(x-{\frac {-{\sqrt {3}}+1}{4}}\right)}^{2}-{\frac {1}{8}}x-{\frac {1}{64}}\,.$

Aufgabe (2 (1+1) Punkte)

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}3&5\\4&1\end{pmatrix}}\,.$

a) Bestimme das charakteristische Polynom von ${}M$.

b) Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton für ${}M$ durch eine explizite Rechnung.

Lösung

a) Das charakteristische Polynom ist

${}{\begin{aligned}\det \left({\begin{pmatrix}X&0\\0&X\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}3&5\\4&1\end{pmatrix}}\right)&=\det {\begin{pmatrix}X-3&-5\\-4&X-1\end{pmatrix}}\\&=(X-3)(X-1)-20\\&=X^{2}-4X-17.\end{aligned}}$

b) Es ist

${}M^{2}={\begin{pmatrix}3&5\\4&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&5\\4&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}29&20\\16&21\end{pmatrix}}\,.$

Daher ist

${}{\begin{aligned}{\left(X^{2}-4X-17\right)}(M)&=M^{2}-4M-17E_{2}\\&={\begin{pmatrix}29&20\\16&21\end{pmatrix}}-4{\begin{pmatrix}3&5\\4&1\end{pmatrix}}-17{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit.

Lösung

Es sei  ${}m=\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}$  und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von diesem Eigenraum, die wir durch ${}w_{1},\ldots ,w_{n-m}$ zu einer Basis von ${}V$ ergänzen. Bezüglich dieser Basis hat die beschreibende Matrix die Gestalt

${\begin{pmatrix}\lambda E_{m}&B\\0&C\end{pmatrix}}.$

Das charakteristische Polynom ist daher nach Aufgabe 16.23 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) gleich ${}(X-\lambda )^{m}\cdot \chi _{C}$, sodass die algebraische Vielfachheit mindestens ${}m$ ist.

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Es sei

${}V=V_{1}\oplus V_{2}\,$

eine direkte Summenzerlegung in ${}\varphi$- invariante Untervektorräume. Wir können also  ${}\varphi =\varphi _{1}\oplus \varphi _{2}$  mit  ${}\varphi _{1}=\varphi {|}_{V_{1}}$  und  ${}\varphi _{2}=\varphi {|}_{V_{2}}$  schreiben.

a) Es sei  ${}U_{1}\subseteq V_{1}$  ein ${}\varphi _{1}$-invarianter Untervektorraum und  ${}U_{2}\subseteq V_{2}$  ein ${}\varphi _{2}$-invarianter Untervektorraum. Zeige, dass ${}U_{1}\oplus U_{2}$ ein ${}\varphi$-invarianter Untervektorraum ist.

b) Man gebe ein Beispiel für einen ${}\varphi$-invarianten Untervektorraum  ${}U\subseteq V$,  der nicht von der in a) beschriebenen Form ist.

Lösung

a) Sei  ${}v\in U_{1}\oplus U_{2}$,  also

${}v=v_{1}+v_{2}\,$

mit  ${}v_{1}\in U_{1}\subseteq V_{1}$  und  ${}v_{2}\in U_{2}\subseteq V_{2}$.  Dann ist

${}\varphi (v)=\varphi _{1}(v_{1})+\varphi _{2}(v_{2})\,,$

und dies gehört zu ${}U_{1}\oplus U_{2}$ aufgrund der ${}\varphi _{1}$-Invarianz von ${}U_{1}$ und der ${}\varphi _{2}$-Invarianz von ${}U_{2}$.

b) Wir betrachten die Identität auf  ${}V=K^{2}=Ke_{1}\oplus Ke_{2}$.  Bezüglich der Identität ist jeder Untervektorraum invariant, insbesondere liegt eine direkte Summenzerlegung in invariante Untervektorräume vor. Der Untervektorraum  ${}U=K(e_{1}+e_{2})$  ist ebenfalls invariant, ist aber keine direkte Summe von Untervektorräumen von ${}Ke_{1}$ und ${}Ke_{2}$.

Aufgabe (1 Punkt)

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum, den wir auch als affinen Raum über sich selbst auffassen. Es seien  ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$.  Zeige, dass die Familie dieser Vektoren genau dann linear unabhängig ist, wenn die Familie  ${}0,v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$  affin unabhängig ist.

Lösung

Nach Lemma 30.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ist eine Familie von Punkten ${}P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n}$ eines affinen Raumes genau dann affin unabhängig, wenn die Vektorfamilie ${}{\overrightarrow {P_{0}P_{1}}},\ldots ,{\overrightarrow {P_{0}P_{n}}}$ linear unabhängig ist. Die Aussage der Aufgabe ist mit  ${}P_{0}=0$  ein Spezialfall davon.