Kurs:Lineare Algebra/Teil II/5/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 4 2 4 8 3 3 4 4 3 2 5 1 10 2 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein euklidischer Vektorraum.
  2. Eine Kathete in einem rechtwinkligen Dreieck.
  3. Eine zyklische Gruppe .
  4. Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge .
  5. Der Spektralradius zu einem Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .

  6. Die aus einer -linearen Abbildung

    durch einen Körperwechsel gewonnene -lineare Abbildung.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Charakterisierung von reellen Isometrien mit Matrizen.
  2. Der Satz über die (Norm)-Charakterisierung für normale Endomorphismen.
  3. Der Satz über Basen in einem Dachprodukt.


Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Es seien und zwei Punkte im . Bestimme den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in

a) der euklidischen Metrik,

b) der Summenmetrik,

c) der Maximumsmetrik.

d) Vergleiche diese verschiedenen Abstände der Größe nach.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien von verschiedene Vektoren in einem reellen Vektorraum mit Skalarprodukt. Zeige, dass der Winkel zu und mit dem Winkel zu und übereinstimmt, wobei positive reelle Zahlen sind.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz des Thales.


Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise das Minorenkriterium für den Typ einer symmetrischen Bilinearform.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass es eine Bilinearform auf einem Vektorraum geben kann, die nicht die Nullform ist, für die aber

für alle ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und sei

ein normaler Endomorphismus. Zeige


Aufgabe * (4 Punkte)

Die Kugeloberfläche wird im als Nullstellenmenge der quadratischen Gleichung

beschrieben. Wir betrachten die lineare Abbildung

die bezüglich der Standardbasen durch die Matrix

beschrieben werde. Durch welche quadratische Form kann das Bild beschrieben werden? Wie nennt man das geometrische Gebilde ?


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei eine Gruppe. Betrachte die Relation auf , die durch

erklärt ist. Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Seien und Gruppen und sei

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Urbild eines Normalteilers ein Normalteiler in ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme, ob die beiden Basen des ,

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.


Aufgabe * (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten im den Würfel, dessen Ecken die Punkte sind.

  1. Man gebe eine Matrixbeschreibung bezüglich der Standardbasis, die die Drehung des Würfels um die Raumdiagonale (also die Gerade durch den Punkt ) beschreibt, die den Eckpunkt in den Eckpunkt überführt.
  2. Man gebe eine Matrixbeschreibung bezüglich der Standardbasis, die die Drehung des Würfels um Grad um die (ebene) Diagonale der -Ebene beschreibt.
  3. Berechne und bestimme die Drehachse.
  4. Berechne und bestimme die Drehachse.
  5. Bestimme die Determinante von und .


Aufgabe * (1 Punkt)

Digraph example.svg

Erstelle die Adjazenzmatrix zum gerichteten Graphen rechts.


Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise den Charakterisierungssatz für asymptotisch stabile Endomorphismen.


Aufgabe * (2 Punkte)

Drücke das Dachprodukt in der Standardbasis von aus.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Vektorraum über dem Körper und

ein Endomorphismus. Es sei

das -te Dachprodukt von . Es seien linear unabhängige Eigenvektoren zu zu den Eigenwerten . Zeige, dass ein Eigenwert von ist.