Kurs:Lineare Algebra/Teil II/5/Klausur/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | |
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Punkte | 3 | 3 | 4 | 2 | 4 | 8 | 3 | 3 | 4 | 4 | 3 | 2 | 5 | 1 | 10 | 2 | 3 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien und zwei Punkte im . Bestimme den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in
a) der euklidischen Metrik,
b) der Summenmetrik,
c) der Maximumsmetrik.
d) Vergleiche diese verschiedenen Abstände der Größe nach.
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien von verschiedene Vektoren in einem reellen Vektorraum mit Skalarprodukt. Zeige, dass der Winkel zu und mit dem Winkel zu und übereinstimmt, wobei positive reelle Zahlen sind.
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise den Satz des Thales.
Aufgabe * (8 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise das Minorenkriterium für den Typ einer symmetrischen Bilinearform.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass es eine Bilinearform auf einem Vektorraum geben kann, die nicht die Nullform ist, für die aber
für alle ist.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum mit Skalarprodukt und sei
ein normaler Endomorphismus. Zeige
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Die Kugeloberfläche wird im als Nullstellenmenge der quadratischen Gleichung
beschrieben. Wir betrachten die lineare Abbildung
die bezüglich der Standardbasen durch die Matrix
beschrieben werde. Durch welche quadratische Form kann das Bild beschrieben werden? Wie nennt man das geometrische Gebilde ?
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine Gruppe. Betrachte die Relation auf , die durch
erklärt ist. Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien und Gruppen und sei
ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Urbild eines Normalteilers ein Normalteiler in ist.
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (5 (1+1+1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen
Wir betrachten im den Würfel, dessen Ecken die Punkte sind.
- Man gebe eine Matrixbeschreibung bezüglich der Standardbasis, die die Drehung des Würfels um die Raumdiagonale (also die Gerade durch den Punkt ) beschreibt, die den Eckpunkt in den Eckpunkt überführt.
- Man gebe eine Matrixbeschreibung bezüglich der Standardbasis, die die Drehung des Würfels um Grad um die (ebene) Diagonale der -Ebene beschreibt.
- Berechne und bestimme die Drehachse.
- Berechne und bestimme die Drehachse.
- Bestimme die Determinante von und .
Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen
Erstelle die Adjazenzmatrix zum gerichteten Graphen rechts.
Aufgabe * (10 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise den Charakterisierungssatz für asymptotisch stabile Endomorphismen.
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Drücke das Dachprodukt in der Standardbasis von aus.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Vektorraum über dem Körper und
ein Endomorphismus. Es sei
das -te Dachprodukt von . Es seien linear unabhängige Eigenvektoren zu zu den Eigenwerten . Zeige, dass ein Eigenwert von ist.