Kurs:Lineare Algebra/Teil II/Teiltest/2/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 3 3 2 4 2 5 4 7 2 2 3 3 1 4 4 3 3 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein affiner Unterraum in einem affinen Raum über dem -Vektorraum .
  2. Eine Orthogonalbasis in einem -Vektorraum mit Skalarprodukt.
  3. Eine eigentliche Isometrie

    auf einem euklidischen Vektorraum .

  4. Der Höhenfußpunkt zu einer Seite in einem Dreieck in der euklidischen Ebene.
  5. Ein normaler Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum mit Skalarprodukt .

  6. Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Spektralsatz für komplexe Isometrien.
  2. Der Kongruenzsatz für Dreiecke.
  3. Der Satz über die Untergruppen von .


Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei ein Punkt in einem affinen Raum über . Zeige, dass die folgenden Ausdrücke baryzentrische Kombinationen für sind (es sei und ).

  1. .
  2. .
  3. .


Aufgabe * (3 Punkte)

Beschreibe die affine Gerade

als Urbild über einer affinen Abbildung .


Aufgabe * (2 Punkte)

Durch die Matrix

ist eine lineare Abbildung gegeben (). Bestimme die Eigenwerte und ihre algebraischen und geometrischen Vielfachheiten von .


Aufgabe * (4 Punkte)

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des an.


Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne das Kreuzprodukt

im .


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

eine obere Dreiecksmatrix derart, dass die zugehörige lineare Abbildung

winkeltreu ist. Zeige


Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen und eine rationale Zahl mit


Aufgabe * (7 Punkte)

Es seien verschiedene Punkte in einer euklidischen Ebene. Zeige, dass die Mittelsenkrechte zu und aus allen Punkten besteht, die zu und den gleichen Abstand haben.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Gramsche Matrix zur Determinante auf dem bezüglich der Standardbasis.


Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere für einen zweidimensionalen Minkowski-Raum den Lichtkegel und die Menge der Beobachtervektoren und zeichne dabei eine Zukunftsrichtung aus.


Aufgabe * (3 Punkte)

Der sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu jedem Beobachtervektor die Raumkomponente des Beobachters die Spiegelung seiner Zeitkomponente an der Hauptdiagonalen ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien und euklidische Vektorräume und ein Endomorphismus mit adjungiertem Endomorphismus . Es sei eine Isometrie. Zeige, dass der adjungierte Endomorphismus zu

gleich ist.


Aufgabe * (1 Punkt)

Zeige, dass für eine hermitesche Form auf einem -Vektorraum die Werte zu stets reell sind.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die normierte Standardgestalt der reellen Quadrik


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien reelle Zahlen mit . Zeige, dass die Abbildung

ein innerer Automorphismus ist.


Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Bestimme die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation, die durch die möglichen Züge des Springers im Schach gegeben ist, und zwar auf den folgenden Schachbrettern.

  1. Das -Brett.
  2. Das -Brett.
  3. Das -Brett.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper und ein Untervektorraum. Wir betrachten die Relation auf dem , die durch

definiert ist. Zeige, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz von Lagrange.