Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 14/kontrolle

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige durch ein Beispiel von zwei Basen und im , dass die Koordinatenfunktion von der Basis und nicht nur von abhängt.




Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

Finde eine Linearform mit .


Aufgabe Referenznummer erstellen

Löse das lineare Gleichungssystem


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass durch Realteil und Imaginärteil reelle Linearformen auf definiert sind, wobei als reeller Vektorraum betrachtet wird.

Ist der Betrag einer komplexen Zahl eine reelle Linearform?


Aufgabe * Aufgabe 14.5 ändern

Es sei ein - dimensionaler - Vektorraum und es sei ein -dimensionaler Untervektorraum. Zeige, dass es eine Linearform mit gibt.


Aufgabe * Aufgabe 14.6 ändern

Es sei ein Körper und ein - Vektorraum und . Zu jedem gebe es eine Linearform

mit

Zeige, dass die linear unabhängig sind.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Zeige, dass eine von verschiedene lineare Abbildung

keine lokalen Extrema besitzt. Gilt dies auch für unendlichdimensionale Vektorräume? Braucht man dazu Differentialrechnung?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum über einem Körper und es seien Linearformen auf . Zeige, dass die Beziehung

genau dann gilt, wenn zu dem von den erzeugten Untervektorraum (im Dualraum) gehört.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Drücke die Vektoren der Dualbasis zur Basis im als Linearkombinationen bezüglich der Standarddualbasis aus.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Drücke die Vektoren der Standarddualbasis als Linearkombinationen bezüglich der Dualbasis zur Basis aus.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ein - Vektorraum mit Dualraum . Zeige, dass die natürliche Abbildung

nicht linear ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und es sei eine - Matrix und eine -Matrix über . Zeige


Aufgabe Aufgabe 14.13 ändern

Zeige, dass die Definition 14.16 der Spur einer linearen Abbildung unabhängig von der gewählten Matrix ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Zeige, dass die Zuordnung

- linear ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Spur zu einer linearen Projektion

auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

Finde eine Linearform mit .


Aufgabe (6 (1+1+2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und .

1) Zeige, dass die Vektoren

Lösungen zur linearen Gleichung

sind.

2) Zeige, dass diese drei Vektoren linear abhängig sind.

3) Unter welchen Bedingungen erzeugen diese Vektoren den Lösungsraum der Gleichung?

4) Unter welchen Bedingungen erzeugen die ersten beiden Vektoren den Lösungsraum der Gleichung?


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Drücke die Vektoren der Dualbasis zur Basis im als Linearkombinationen bezüglich der Standarddualbasis aus.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Drücke die Vektoren der Dualbasis zur Basis im als Linearkombinationen bezüglich der Standarddualbasis aus.


Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei der Raum der - Matrizen über dem Körper mit der Standardbasis . Beschreibe die Spur als Linearkombination bezüglich der dualen Basis .


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