Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 22/kontrolle
- Die Pausenaufgabe
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die Eigenwerte, die Eigenräume und die geometrischen Vielfachheiten zur Matrix
- Übungsaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme den Eigenraum und die geometrische Vielfachheit zu zur Matrix
Aufgabe * Aufgabe 22.3 ändern
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung. Zeige, dass es maximal viele Eigenwerte zu gibt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Man gebe zu einem und einem , , eine - Matrix über an, deren einziger Eigenwert mit geometrischer Vielfachheit ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei eine Matrix mit (paarweise) verschiedenen Eigenwerten. Zeige, dass die Determinante von das Produkt der Eigenwerte ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei
eine Matrix mit (paarweise) verschiedenen Eigenwerten. Zeige, dass die Spur von die Summe der Eigenwerte ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung und . Zeige, dass der Exponent, mit dem im Minimalpolynom zu vorkommt, sowohl kleiner als auch größer als die geometrische Vielfachheit von sein kann.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Matrix
über diagonalisierbar ist und bestimme eine Basis aus Eigenvektoren. Führe den Basiswechsel explizit durch, der zu einer beschreibenden Diagonalmatrix führt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Matrix
über diagonalisierbar ist und bestimme eine Basis aus Eigenvektoren. Führe den Basiswechsel explizit durch, der zu einer beschreibenden Diagonalmatrix führt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine invertierbare Matrix über . Zeige, dass genau dann diagonalisierbar ist, wenn die inverse Matrix diagonalisierbar ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme, welche Elementarmatrizen diagonalisierbar sind.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass eine Projektion diagonalisierbar ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein diagonalisierbarer Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen - Vektorraum und sei ein Polynom. Zeige, dass ebenfalls diagonalisierbar ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine diagonalisierbare Matrix. Zeige, dass das Minimalpolynom von die Form
mit verschiedenen besitzt.
Die Umkehrung der vorstehenden Aufgabe gilt ebenfalls, siehe Aufgabe 28.2.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper und
lineare Abbildungen und es sei
die Produktabbildung. Zeige, dass genau dann diagonalisierbar ist, wenn dies für alle gilt.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung und
die duale Abbildung. Zeige, dass genau dann diagonalisierbar ist, wenn diagonalisierbar ist.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Matrix
über diagonalisierbar ist, nicht aber über . Führe die Diagonalisierung über durch.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
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