Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 22/kontrolle

Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Eigenwerte, die Eigenräume und die geometrischen Vielfachheiten zur Matrix

$\left(\begin{array}{cccccc}2& 0& \cdots & \cdots & \cdots & 0\\ 0& 1& \ddots & \ddots & ⋮& ⋮\\ ⋮& \ddots & 3& \ddots & \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & 1& \ddots & ⋮\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & 3& 0\\ 0& \cdots & \cdots & \cdots & 0& 1\end{array}\right).$

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme den Eigenraum und die geometrische Vielfachheit zu $-2$ zur Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 5& 0& 7\\ 9& 3& 8\end{array}\right).$

Aufgabe * Aufgabe 22.3 ändern

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei

$\phi :V⟶V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass es maximal ${\dim }_K\left(V\right)$ viele Eigenwerte zu $\phi$ gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe zu einem  $a\in K$  und einem $m$, $1\le m\le n$, eine $n\times n$-Matrix über $K$ an, deren einziger Eigenwert $a$ mit geometrischer Vielfachheit $m$ ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei  $M\in {\mathrm{Mat}}_n(K)$  eine Matrix mit $n$ (paarweise) verschiedenen Eigenwerten. Zeige, dass die Determinante von $M$ das Produkt der Eigenwerte ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$M\in {\mathrm{Mat}}_n(K)$

eine Matrix mit $n$ (paarweise) verschiedenen Eigenwerten. Zeige, dass die Spur von $M$ die Summe der Eigenwerte ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Matrix

$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

über $\mathbb{Q}$ diagonalisierbar ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei

$\phi :V⟶V$

eine lineare Abbildung und  $\lambda \in K$.  Zeige, dass der Exponent, mit dem $X-\lambda$ im Minimalpolynom zu $\phi$ vorkommt, sowohl kleiner als auch größer als die geometrische Vielfachheit von $\lambda$ sein kann.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Matrix

$\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 5\end{array}\right)$

über $ℝ$ diagonalisierbar ist und bestimme eine Basis aus Eigenvektoren. Führe den Basiswechsel explizit durch, der zu einer beschreibenden Diagonalmatrix führt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}6& 1& 0\\ 0& 2& 4\\ 0& 0& 7\end{array}\right)$

über $ℝ$ diagonalisierbar ist und bestimme eine Basis aus Eigenvektoren. Führe den Basiswechsel explizit durch, der zu einer beschreibenden Diagonalmatrix führt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $M$ eine invertierbare Matrix über $K$. Zeige, dass $M$ genau dann diagonalisierbar ist, wenn die inverse Matrix $M^{-1}$ diagonalisierbar ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme, welche Elementarmatrizen diagonalisierbar sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass eine Projektion diagonalisierbar ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $\phi :V\to V$ ein diagonalisierbarer Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ und sei  $P\in K[X]$  ein Polynom. Zeige, dass $P(\phi )$ ebenfalls diagonalisierbar ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $M$ eine diagonalisierbare Matrix. Zeige, dass das Minimalpolynom von $M$ die Form

$(X-{\lambda }_1)\cdots (X-{\lambda }_k)$

mit verschiedenen ${\lambda }_i$ besitzt.

Die Umkehrung der vorstehenden Aufgabe gilt ebenfalls, siehe Aufgabe 28.2.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien $V_1,\dots ,V_n$ endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper $K$ und

${\phi }_i:V_i⟶V_i$

lineare Abbildungen und es sei

$\phi ={\phi }_1\times \cdots \times {\phi }_n:V_1\times \cdots \times V_n⟶V_1\times \cdots \times V_n$

die Produktabbildung. Zeige, dass $\phi$ genau dann diagonalisierbar ist, wenn dies für alle ${\phi }_i$ gilt.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei

$\phi :V⟶V$

eine lineare Abbildung und

${\phi }^{\ast }:V^{\ast }⟶V^{\ast }$

die duale Abbildung. Zeige, dass $\phi$ genau dann diagonalisierbar ist, wenn ${\phi }^{\ast }$ diagonalisierbar ist.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Matrix

$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$

über $ℂ$ diagonalisierbar ist, nicht aber über $ℝ$. Führe die Diagonalisierung über $ℂ$ durch.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Matrix

$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

über dem Körper mit zwei Elementen ${𝔽}_2$ nicht diagonalisierbar ist.