Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 6/kontrolle

Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Menge der „symmetrischen“ $2\times 2$-Matrizen über einem Körper $K$, also Matrizen der Form

$\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right),$

die die Bedingung

$a_{12}=a_{21}$

erfüllen, mit komponentenweiser Addition und komponentenweiser Skalarmultiplikation einen $K$-Vektorraum bildet.

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$. Zeige, dass auch das Produkt

$V\times W$

ein $K$-Vektorraum ist.

Aufgabe * Aufgabe 6.3 ändern

Es sei $K$ ein Körper und

$\begin{array}{ccc}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n& =& 0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n& =& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n& =& 0\end{array}$

ein homogenes lineares Gleichungssystem über $K$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des $K^n$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Überprüfe, ob die folgenden Teilmengen des ${ℝ}^2$ Untervektorräume sind:

1.  $V_1=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid x+2y=0\}$, 
2.  $V_2=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid x\ge y\}$, 
3.  $V_3=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid y=x+1\}$, 
4.  $V_4=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid xy=0\}$. 

Aufgabe Aufgabe 6.5 ändern

Man mache sich klar, dass sich die Addition und die skalare Multiplikation auf einen Untervektorraum einschränken lassen und dass dieser mit den von $V$ geerbten Strukturen selbst ein Vektorraum ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es seien  $U,W\subseteq V$  Untervektorräume. Zeige, dass die Vereinigung $U\cup W$ nur dann ein Untervektorraum ist, wenn $U\subseteq W$ oder $W\subseteq U$ gilt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei $D$ die Menge aller reellen $2\times 2$-Matrizen

$\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right),$

die die Bedingung

$a_{11}{a}_{22}-a_{21}{a}_{12}=0$

erfüllen. Zeige, dass $D$ kein Untervektorraum im Raum aller $2\times 2$-Matrizen ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und $I$ eine Indexmenge. Zeige, dass

$K^I:=\mathrm{Abb}(I,K)$

mit stellenweiser Addition und skalarer Multiplikation ein $K$-Vektorraum ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper, und seien  $J\subseteq I$  zwei Indexmengen. Zeige, dass dann  $K^J=\mathrm{Abb}(J,K)$  in natürlicher Weise ein Untervektorraum von $K^I$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper, sei $I$ eine Indexmenge, und  $K^I=\mathrm{Abb}(I,K)$  der zugehörige Vektorraum.

a) Zeige, dass

$E=\{f\in K^I\mid f(i)=0\text{ für alle }i\in I\text{ bis auf endlich viele Ausnahmen}\}$

ein Untervektorraum von $K^I$ ist.

b) Zu jedem  $i\in I$  sei  $e_i\in K^I$  durch

$e_i(j)=\{\begin{array}{c}1,\text{ falls }j=i,\\ 0\text{ sonst},\end{array}$

gegeben. Man zeige, dass sich jedes Element  $f\in E$  eindeutig als Linearkombination der Familie $e_i$, $i\in I$, darstellen lässt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und sei

$C=\{{\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}\mid \text{Cauchyfolge in }K\}.$

Zeige, dass $C$ ein Untervektorraum des Folgenraums

$F=\{{\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}\mid \text{Folge in }K\}$

ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Drücke in ${\mathbb{Q}}^2$ den Vektor

$(2,-7)$

als Linearkombination der Vektoren

$(5,-3)\text{ und }(-11,4)$

aus.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Drücke in ${ℂ}^2$ den Vektor

$(1,0)$

als Linearkombination der Vektoren

$(3+5\mathrm{i},-3+2\mathrm{i})\text{ und }(1-6\mathrm{i},4-\mathrm{i})$

aus.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Drücke in ${ℝ}^3$ den Vektor

$(1,0,0)$

als Linearkombination der Vektoren

$(1,-2,5),(4,0,3)\text{ und }(2,1,1)$

aus.

Aufgabe Aufgabe 6.15 ändern

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei $v_i$, $i\in I$, eine Familie von Vektoren in $V$ und  $w\in V$  ein weiterer Vektor. Es sei vorausgesetzt, dass die Familie

$w,v_i,i\in I,$

ein Erzeugendensystem von $V$ ist und dass sich $w$ als Linearkombination der $v_i$, $i\in I$, darstellen lässt. Zeige, dass dann schon $v_i$, $i\in I$, ein Erzeugendensystem von $V$ ist.

Aufgabe Aufgabe 6.16 ändern

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Beweise folgende Aussagen.

1. Sei $U_j$, $j\in J$, eine Familie von Untervektorräumen von $V$. Dann ist auch der Durchschnitt

   $U=\bigcap _{j\in J}{U}_j$

   ein Untervektorraum.

2. Zu einer Familie $v_i$, $i\in I$, von Elementen in $V$ ist der erzeugte Untervektorraum ein Untervektorraum.
3. Die Familie $v_i$, $i\in I$, ist genau dann ein Erzeugendensystem von $V$, wenn

   $⟨v_i,i\in I⟩=V$

   ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Aufgabe 6.17 ändern

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften gelten (dabei sei  $s\in K$  und  $v\in V$ ).

1. Es ist  $0v=0$. 
2. Es ist  $s0=0$. 
3. Es ist  $(-1)v=-v$. 
4. Aus  $s\ne 0$  und  $v\ne 0$  folgt  $sv\ne 0$. 

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für einen Vektorraum $V$ und von drei Teilmengen in $V$ an, die jeweils zwei der Untervektorraumaxiome erfüllen, aber nicht das dritte.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Drücke in ${\mathbb{Q}}^3$ den Vektor

$(2,5,-3)$

als Linearkombination der Vektoren

$(1,2,3),(0,1,1)\text{ und }(-1,2,4)$

aus. Zeige, dass man ihn nicht als Linearkombination von zweien der drei Vektoren ausdrücken kann.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $M$ eine Menge mit einer Verknüpfung

$+:M\times M⟶M$

und einer Abbildung

$\cdot :K\times M⟶M.$

Es sei

$\phi :V⟶M$

eine surjektive Abbildung mit

$\phi (x+y)=\phi (x)+\phi (y)\text{ und }\phi (sx)=s\phi (x)$

für alle  $x,y\in V$  und  $s\in K$.  Zeige, dass $M$ ein $K$-Vektorraum ist.