Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Vorlesung 10/kontrolle

„Ich war nie der talentierteste Spieler. Ich musste mir alles unheimlich hart erarbeiten und es gab bestimmt viel bessere Fußballer. Nur, ich hatte Willen! Ich musste und ich wollte nach oben.“

Berti Vogts

Lineare Abbildungen

Zwischen zwei Vektorräumen interessieren insbesondere die Abbildungen, die mit den Strukturen, also der Addition und der Skalarmultiplikation, verträglich sind.

Definition Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ . Eine Abbildung

φ : V ⟶ W

heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

$φ (u + v) = φ (u) + φ (v)$ für alle $u, v \in V$ .
$φ (s v) = s φ (v)$ für alle $s \in K$ und $v \in V$ .

Die erste Eigenschaft nennt man dabei die Additivität und die zweite Eigenschaft die Verträglichkeit mit Skalierung. Wenn man den Grundkörper betonen möchte, spricht man von $K$ -Linearität. Statt von linearen Abbildungen spricht man auch von Homomorphismen. Die Identität ${Id}_{V} : V \to V$ , die Nullabbildung $V \to 0$ und die Inklusionen $U \subseteq V$ von Untervektorräumen sind die einfachsten Beispiele für lineare Abbildungen.

Beispiel Referenznummer erstellen

Die einfachsten linearen Abbildungen sind (neben der Nullabbildung) diejenigen von $K$ nach $K$ . Eine solche lineare Abbildung

φ : K ⟶ K, x ⟼ φ (x),

ist aufgrund von Satz 10.9 (siehe unten) bzw. direkt aufgrund der Definition durch $φ (1)$ bzw. durch den Wert $φ (t)$ für ein einziges $t \in K$ , $t \neq 0$ , festgelegt. Es ist also $φ (x) = a x$ mit einem eindeutig bestimmten $a \in K$ . Insbesondere im physikalischen Kontext, wenn $K = ℝ$ ist und wenn zwischen zwei messbaren Größen ein linearer Zusammenhang besteht, spricht man von Proportionalität, und $a$ heißt der Proportionalitätsfaktor. In der Schule tritt die lineare Beziehung zwischen zwei skalaren Größen als „Dreisatz“ auf.

Viele wichtige Funktionen, insbesondere von $ℝ$ nach $ℝ$ , sind nicht linear. Beispielsweise ist das Quadrieren $x \mapsto x^{2}$ , die Quadratwurzel, die trigonometrischen Funktionen, die Exponentialfunktion, der Logarithmus nicht linear. Aber auch für solche kompliziertere Funktionen gibt es im Rahmen der Differentialrechnung lineare Approximationen, die zum Verständnis dieser Funktionen beitragen.

Beispiel Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und sei $K^{n}$ der $n$ -dimensionale Standardraum. Dann ist die $i$ -te Projektion, also die Abbildung

K^{n} ⟶ K, (x_{1}, \dots, x_{i - 1}, x_{i}, x_{i + 1}, \dots, x_{n}) ⟼ x_{i},

eine $K$ -lineare Abbildung. Dies folgt unmittelbar aus der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation auf dem Standardraum. Die $i$ -te Projektion heißt auch die $i$ -te Koordinatenfunktion.

Beispiel Referenznummer erstellen

Es stehen $n$ verschiedene Produkte zum Verkauf an, wobei das $i$ -te Produkt (pro Einheit) $a_{i}$ kostet. Ein Einkauf wird durch das $n$ -Tupel

(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})

repräsentiert, wobei $x_{i}$ die vom $i$ -ten Produkt gekaufte Menge angibt. Der Preis des Einkaufs wird dann durch $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} x_{i}$ beschrieben. Die Preisabbildung

ℝ^{n} ⟶ ℝ, (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) ⟼ \sum_{i = 1}^{n} a_{i} x_{i} .

ist linear. Dies bedeutet beispielsweise, dass, wenn man zuerst den Einkauf $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ tätigt und eine Woche später den Einkauf $(y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})$ , dann der Preis der beiden Einkäufe zusammen dem Preis entspricht, den man bezahlt hätte, wenn man auf einen Schlag $(x_{1} + y_{1}, x_{2} + y_{2}, \dots, x_{n} + y_{n})$ gekauft hätte.

Beispiel Referenznummer erstellen

Die zu einer $m \times n$ -Matrix $M = (a_{i j})_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}$ gehörende Abbildung (siehe Beispiel 2.6)

K^{n} ⟶ K^{m}, (\begin{matrix} s_{1} \\ ⋮ \\ s_{n} \end{matrix}) ⟼ M (\begin{matrix} s_{1} \\ ⋮ \\ s_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \sum_{j = 1}^{n} a_{1 j} s_{j} \\ \sum_{j = 1}^{n} a_{2 j} s_{j} \\ ⋮ \\ \sum_{j = 1}^{n} a_{m j} s_{j} \end{matrix}),

ist linear.

Beispiel Referenznummer erstellen

Es sei $C^{0} (ℝ, ℝ)$ der Raum der stetigen Funktionen von $ℝ$ nach $ℝ$ und $C^{1} (ℝ, ℝ)$ der Raum der stetig differenzierbaren Funktionen. Dann ist die Abbildung

D : C^{1} (ℝ, ℝ) ⟶ C^{0} (ℝ, ℝ), f ⟼ f^{'},

die einer Funktion ihre Ableitung zuordnet, linear. In der Analysis wird ja

(a f + b g)^{'} = a f^{'} + b g^{'}

für $a, b \in ℝ$ und eine weitere Funktion $g \in C^{1} (ℝ, ℝ)$ bewiesen.

Lemma Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und seien $U, V, W$ Vektorräume über $K$ . Es seien

φ : U ⟶ V und ψ : V ⟶ W

lineare Abbildungen.

Dann ist auch die Verknüpfung

$ψ \circ φ : U ⟶ W$

eine lineare Abbildung.

Beweis

Siehe Aufgabe 10.13.

◻

Lemma Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ zwei $K$ -Vektorräume. Es sei

φ : V ⟶ W

eine bijektive lineare Abbildung.

Dann ist auch die Umkehrabbildung

$φ^{- 1} : W ⟶ V$

linear.

Beweis

Siehe Aufgabe 10.14.

◻

Festlegung auf einer Basis

Hinter der folgenden Aussage (dem Festlegungssatz) steckt das wichtige Prinzip, dass in der linearen Algebra (von endlichdimensionalen Vektorräumen) die Objekte durch endlich viele Daten bestimmt sind.

Satz Satz 10.9 ändern

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ . Es sei $v_{i}$ , $i \in I$ , eine Basis von $V$ und es seien $w_{i}$ , $i \in I$ , Elemente in $W$ .

Dann gibt es genau eine lineare Abbildung

$f : V ⟶ W$
mit
$f (v_{i}) = w_{i} für alle i \in I .$

Beweis

Da $f (v_{i}) = w_{i}$ sein soll und eine lineare Abbildung für jede Linearkombination die Eigenschaft^[1]

f (\sum_{i \in I} s_{i} v_{i}) = \sum_{i \in I} s_{i} f (v_{i})

erfüllt, und jeder Vektor $v \in V$ sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben.
Wir definieren nun umgekehrt eine Abbildung

f : V ⟶ W,

indem wir jeden Vektor $v \in V$ mit der gegebenen Basis als

v = \sum_{i \in I} s_{i} v_{i}

schreiben und

f (v) := \sum_{i \in I} s_{i} w_{i}

ansetzen. Da die Darstellung von $v$ als eine solche Linearkombination eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert. Die Eigenschaft $f (v_{i}) = w_{i}$ ist dabei klar.
Zur Linearität. Für zwei Vektoren $u = \sum_{i \in I} s_{i} v_{i}$ und $v = \sum_{i \in I} t_{i} v_{i}$ gilt

\begin{matrix} f (u + v) & = f ((\sum_{i \in I} s_{i} v_{i}) + (\sum_{i \in I} t_{i} v_{i})) \\ = f (\sum_{i \in I} (s_{i} + t_{i}) v_{i}) \\ = \sum_{i \in I} (s_{i} + t_{i}) f (v_{i}) \\ = \sum_{i \in I} s_{i} f (v_{i}) + \sum_{i \in I} t_{i} f (v_{i}) \\ = f (\sum_{i \in I} s_{i} v_{i}) + f (\sum_{i \in I} t_{i} v_{i}) \\ = f (u) + f (v) . \end{matrix}

Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation ergibt sich ähnlich, siehe Aufgabe 10.21.

◻

Insbesondere ist eine lineare Abbildung $φ : K^{n} \to K^{m}$ durch $φ (e_{1}), \dots, φ (e_{n})$ eindeutig festgelegt.

Beispiel Referenznummer erstellen

In vielen Situationen soll ein Objekt (beispielsweise ein Würfel) im Raum $ℝ^{3}$ in einer Ebene $ℝ^{2}$ dargestellt werden. Eine Möglichkeit ergibt sich mit Hilfe einer Parallelprojektion. Dabei handelt es sich um eine lineare Abbildung

ℝ^{3} ⟶ ℝ^{2}

die bezüglich der Standardbasen $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ bzw. $f_{1}, f_{2}$ durch

e_{1} ⟼ f_{1}, e_{2} ⟼ a f_{1} + b f_{2}, e_{3} ⟼ f_{2}

gegeben ist, wobei die Koeffizienten $a, b$ (die „Tiefenschrägen“) typischerweise im Bereich $[\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$ gewählt werden. Die Linearität wirkt sich dahingehend aus, dass parallele Geraden in parallele Geraden überführt werden (oder Punkte werden). Der Punkt $(x, y, z)$ wird dabei auf $(x + a y, b y + z)$ abgebildet. Das Bild des Objektes unter einer solchen linearen Abbildung nennt man ein Schrägbild.

Lineare Abbildungen und Matrizen

Eine lineare Abbildung

φ : K^{n} ⟶ K^{m}

ist durch die Bilder $φ (e_{j})$ , $j = 1, \dots, n$ , der Standardvektoren eindeutig festgelegt, und jedes $φ (e_{j})$ ist eine Linearkombination

φ (e_{j}) = \sum_{i = 1}^{m} a_{i j} e_{i}

und damit durch die Elemente $a_{i j}$ eindeutig festgelegt. Insgesamt ist also eine solche lineare Abbildung durch $m n$ Elemente $a_{i j}$ , $1 \leq i \leq m$ , $1 \leq j \leq n$ , festgelegt. Eine solche Datenmenge kann man wieder als Matrix schreiben. Nach dem Festlegungssatz gilt dies für alle endlichdimensionalen Vektorräume, sobald sowohl im Definitionsraum als auch im Zielraum der linearen Abbildung eine Basis fixiert ist.

Definition Definition 10.11 ändern

Es sei $K$ ein Körper und sei $V$ ein $n$ -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis $𝔳 = v_{1}, \dots, v_{n}$ und sei $W$ ein $m$ -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis $𝔴 = w_{1}, \dots, w_{m}$ .

Zu einer linearen Abbildung

φ : V ⟶ W

heißt die $m \times n$ -Matrix

M = M_{𝔴}^{𝔳} (φ) = (a_{i j})_{i j},

wobei $a_{i j}$ die $i$ -te Koordinate von $φ (v_{j})$ bezüglich der Basis $𝔴$ ist, die beschreibende Matrix zu $φ$ bezüglich der Basen.

Zu einer Matrix $M = (a_{i j})_{i j} \in {Mat}_{m \times n} (K)$ heißt die durch

v_{j} ⟼ \sum_{i = 1}^{m} a_{i j} w_{i}

gemäß Satz 10.9 definierte lineare Abbildung $φ_{𝔴}^{𝔳} (M)$ die durch $M$ festgelegte lineare Abbildung.

Wenn $V = W$ , ist, so interessiert man sich häufig, aber nicht immer, für die beschreibende Matrix bezüglich einer einzigen Basis $𝔳$ von $V$ .

Beispiel Beispiel 10.12 ändern

Es sei $V$ ein Vektorraum mit Basen $𝔳$ und $𝔴$ . Wenn man die Identität

Id : V ⟶ V

bezüglich der Basis $𝔳$ vorne und der Basis $𝔴$ hinten betrachtet, so ist wegen

Id (v_{j}) = v_{j} = \sum a_{i j} w_{i}

direkt

M_{𝔴}^{𝔳} (Id) = M_{𝔴}^{𝔳},

d.h. die beschreibende Matrix zur identischen linearen Abbildung ist die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von $𝔳$ nach $𝔴$ .

Lemma Lemma 10.13 ändern

Es sei $K$ ein Körper und sei $V$ ein $n$ -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis $𝔳 = v_{1}, \dots, v_{n}$ und sei $W$ ein $m$ -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis $𝔴 = w_{1}, \dots, w_{m}$ mit den zugehörigen Abbildungen

Ψ_{𝔳} : K^{n} ⟶ V

und

Ψ_{𝔴} : K^{m} ⟶ W .

Es sei

φ : V ⟶ W

eine lineare Abbildung mit beschreibender Matrix $M_{𝔴}^{𝔳} (φ)$ .

Dann ist

$φ \circ Ψ_{𝔳} = Ψ_{𝔴} \circ M_{𝔴}^{𝔳} (φ),$

d.h. das Diagramm

$\begin{matrix} K^{n} & \overset{Ψ_{𝔳}}{⟶} & V \\ M_{𝔴}^{𝔳} (φ) ↓ & ↓ φ \\ K^{m} & \overset{Ψ_{𝔴}}{⟶} & W \end{matrix}$

ist kommutativ.

Zu einem Vektor $v \in V$ kann man $φ (v)$ ausrechnen, indem man das Koeffiziententupel zu $v$ bezüglich der Basis $𝔳$ bestimmt, darauf die Matrix $M_{𝔴}^{𝔳} (φ)$ anwendet und zu dem sich ergebenden $m$ -Tupel den zugehörigen Vektor bezüglich $𝔴$ berechnet.

Beweis

Siehe Aufgabe 10.26.

◻

Satz Satz 10.14 ändern

Es sei $K$ ein Körper und sei $V$ ein $n$ -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis $𝔳 = v_{1}, \dots, v_{n}$ und sei $W$ ein $m$ -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis $𝔴 = w_{1}, \dots, w_{m}$ .

Dann sind die in Definition 10.11 festgelegten Abbildungen

$φ ⟼ M_{𝔴}^{𝔳} (φ) und M ⟼ φ_{𝔴}^{𝔳} (M)$

invers zueinander.

Beweis

Wir zeigen, dass beide Hintereinanderschaltungen die Identität sind. Wir starten mit einer Matrix $M = {(a_{i j})}_{i j}$ und betrachten die Matrix

M_{𝔴}^{𝔳} (φ_{𝔴}^{𝔳} (M)) .

Zwei Matrizen sind gleich, wenn für jedes Indexpaar

(i, j)

die Einträge übereinstimmen. Es ist

\begin{matrix} (M_{𝔴}^{𝔳} (φ_{𝔴}^{𝔳} (M)))_{i j} & = i - te Koordinate von (φ_{𝔴}^{𝔳} (M)) (v_{j}) \\ = i - te Koordinate von \sum_{i = 1}^{m} a_{i j} w_{i} \\ = a_{i j} . \end{matrix}

Es sei nun $φ$ eine lineare Abbildung, und betrachten wir

φ_{𝔴}^{𝔳} (M_{𝔴}^{𝔳} (φ)) .

Zwei lineare Abbildungen stimmen nach Satz 10.9 überein, wenn man zeigen kann, dass sie auf der Basis $v_{1}, \dots, v_{n}$ übereinstimmen. Es ist

(φ_{𝔴}^{𝔳} (M_{𝔴}^{𝔳} (φ))) (v_{j}) = \sum_{i = 1}^{m} (M_{𝔴}^{𝔳} (φ))_{i j} w_{i} .

Dabei ist nach Definition der Koeffizient $(M_{𝔴}^{𝔳} (φ))_{i j}$ die $i$ -te Koordinate von $φ (v_{j})$ bezüglich der Basis $w_{1}, \dots, w_{m}$ . Damit ist diese Summe gleich $φ (v_{j})$ .

◻

Wir bezeichnen die Menge aller linearen Abbildungen von $V$ nach $W$ mit ${Hom}_{K} (V, W)$ . Satz 10.14 bedeutet alos, dass die Abbildung

{Hom}_{K} (V, W) ⟶ {Mat}_{m \times n} (K), φ ⟼ M_{𝔴}^{𝔳} (φ),

bijektiv mit der angegebenen Umkehrabbildung ist. Eine lineare Abbildung

φ : V ⟶ V

nennt man auch einen Endomorphismus. Die Menge aller Endomorphismen auf $V$ wird mit ${End}_{K} (V)$ bezeichnet.

Isomorphe Vektorräume

Definition Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$ . Eine bijektive, lineare Abbildung

φ : V ⟶ W

heißt Isomorphismus.

Ein Isomorphismus von $V$ nach $V$ heißt Automorphismus.

Definition Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper. Zwei $K$ -Vektorräume $V$ und $W$ heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus von $V$ nach $W$ gibt.

Satz Referenznummer erstellen

Es sei $K$ ein Körper und es seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$ -Vektorräume.

Dann sind $V$ und $W$ genau dann zueinander isomorph, wenn ihre Dimension übereinstimmt.

Insbesondere ist ein $n$ -dimensionaler $K$ -Vektorraum isomorph zum $K^{n}$ .

Beweis

Siehe Aufgabe 10.31.

◻

Bemerkung Referenznummer erstellen

Eine Isomorphie zwischen einem $n$ -dimensionalen Vektorraum $V$ und dem Standardraum $K^{n}$ ist im Wesentlichen äquivalent zur Wahl einer Basis in $V$ . Zu einer Basis

𝔳 = v_{1}, \dots, v_{n}

gehört die lineare Abbildung

Ψ_{𝔳} : K^{n} ⟶ V, e_{i} ⟼ v_{i},

die also den Standardraum in den Vektorraum abbildet, indem sie dem $i$ -ten Standardvektor den $i$ -ten Basisvektor aus der gegebenen Basis zuordnet. Dies definiert nach Satz 10.9 eine eindeutige lineare Abbildung, die aufgrund von Aufgabe 10.23 bijektiv ist. Es handelt sich dabei einfach um die Abbildung

(a_{1}, \dots, a_{n}) ⟼ \sum_{i = 1}^{n} a_{i} v_{i} .

Die Umkehrabbildung

x = Ψ_{𝔳}^{- 1} : V ⟶ K^{n}

ist ebenfalls linear und heißt die zur Basis gehörende Koordinatenabbildung. Die $i$ -te Komponente davon, also die zusammengesetzte Abbildung

x_{i} = p_{i} \circ x : V ⟶ K, v ⟼ (Ψ_{𝔳}^{- 1} (v))_{i},

heißt $i$ -te Koordinatenfunktion. Sie wird mit $v_{i}^{*}$ bezeichnet, und gibt zu einem Vektor $v \in V$ in der eindeutigen Darstellung

v = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} v_{i}

die Koordinate $λ_{i}$ aus. Man beachte, dass die lineare Abbildung $v_{i}^{*}$ von der gesamten Basis abhängt, nicht nur von dem Vektor $v_{i}$ .

Wenn umgekehrt ein Isomorphismus

Ψ : K^{n} ⟶ V

gegeben ist, so sind die Bilder

Ψ (e_{i}), i = 1, \dots, n,

eine Basis von $V$ .

Fußnoten

↑ Wenn $I$ eine unendliche Indexmenge ist, so sind hier sämtliche Summen so zu verstehen, dass nur endlich viele Koeffizienten nicht $0$ sind.

[1] Wenn $I$ eine unendliche Indexmenge ist, so sind hier sämtliche Summen so zu verstehen, dass nur endlich viele Koeffizienten nicht $0$ sind.

[1]