Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 43
- Übungsaufgaben
Multipliziere in die beiden Polynome
Multipliziere in die beiden Polynome
Zeige, dass im Polynomring über einem Körper das Ideal kein Hauptideal ist.
Skizziere im die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.
- ,
- ,
- ,
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- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- .
In den folgenden Aufgaben ist Standardform im Sinne von
Satz 43.9
zu verstehen. Es muss die neue Basis, die Variablentransformation und das vereinfachte quadratische Polynom angegeben werden.
Welche der rechts skizzierten Quadriken kann man (in welchem Sinne) mit weniger als drei Variablen beschreiben?
Bestimme, welche Quadriken aus Beispiel 43.12 sich als Graph und welche sich als Rotationsfläche beschreiben lassen.
Es sei ein Minkowski-Raum der Dimension . Wir betrachten die Menge
Für welche ist wegzusammenhängend, für welche zerfällt es in verschiedene Komponenten?
Es sei ein Minkowski-Raum der Dimension . Wir betrachten die Menge
Es sei der Beobachtervektor eines Beobachters und es sei seine Raumkomponente. Welche Gestalt besitzt ?
Das Bild der durch
definierten Kurve heißt Neilsche Parabel. Zeige, dass ein Punkt genau dann zu diesem Bild gehört, wenn er die Gleichung erfüllt.
Sei
Bestimme die Punkte , für die der Abstand der zugehörigen Kurvenpunkte zum Punkt minimal wird.
Wir betrachten die Kurve
a) Zeige, dass die Bildpunkte der Kurve die Gleichung
erfüllen.
b) Zeige, dass jeder Punkt mit zum Bild der Kurve gehört.
c) Zeige, dass es genau zwei Punkte und mit identischem Bildpunkt gibt, und dass ansonsten die Abbildung injektiv ist.
Es sei das Bild unter der polynomialen Abbildung
Bestimme ein Polynom in zwei Variablen derart, dass auf dem Nullstellengebilde zu liegt.
Es sei der Graph der Standardparabel
und die Rotationsfläche zu um die -Achse.
- Zeige, dass durch keine Quadrik beschrieben wird.
- Zeige, dass die Nullstellenmenge eines Polynoms in drei Variablen ist.
Der sei (neben dem Standardskalarprodukt) mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Man gebe eine Basis des an, die bezüglich des Skalarproduktes eine Orthonormalbasis und bezüglich der Minkowski-Form eine Orthogonalbasis ist.
Der sei (neben dem Standardskalarprodukt) mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Bestimme sämtliche Basen des , die bezüglich des Skalarproduktes eine Orthonormalbasis und bezüglich der Minkowski-Form eine Orthogonalbasis sind.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Wie viele Monome vom Grad gibt es im Polynomring in einer, in zwei und in drei Variablen?
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung
für die Körper , , und .
Aufgabe (6 Punkte)
Aufgabe (10 (4+6) Punkte)
Wir betrachten den Kegel
und es sei eine affine Ebene. Der Durchschnitt heißt Kegelschnitt.
- Zeige, dass jeder Kegelschnitt
in geeigneten Koordinaten des als Nullstellenmenge eines quadratischen Polynoms in beschrieben werden kann.
- Bestimme, welche der Quadriken aus Beispiel 43.8 sich als Kegelschnitte realisieren lassen.
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