Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 42
- Übungsaufgaben
Aufgabe
Es sei ein - Vektorraum mit Skalarprodukt . Zeige, dass die Menge der selbstadjungierten Endomorphismen von einen Untervektorraum in bilden.
Aufgabe
Es sei ein - Vektorraum mit Skalarprodukt. Es sei
ein normaler Endomorphismus und
ein - invarianter Untervektorraum. Zeige, dass auch die Einschränkung
normal ist.
Aufgabe
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum mit Skalarprodukt und sei
ein Endomorphismus. Zeige, dass genau dann normal ist, wenn der adjungierte Endomorphismus normal ist.
Aufgabe *
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum mit Skalarprodukt und sei
ein normaler Endomorphismus. Zeige
Aufgabe
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei
die direkte Summe der Untervektorräume und , die zueinander orthogonal seien. Es seien
und
die Summe davon. Zeige, dass auch normal ist.
Aufgabe
Es sei ein - Vektorraum mit Skalarprodukt . Zeige, dass die Menge der normalen Endomorphismen von keinen Untervektorraum in bilden.
Aufgabe *
Entscheide, ob es für die durch die Matrix
gegebene lineare Abbildung eine Orthonormalbasis des aus Eigenvektoren gibt.
Aufgabe
Entscheide, ob es für die durch die Matrix
gegebene lineare Abbildung eine Orthonormalbasis des aus Eigenvektoren gibt.
Aufgabe
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei eine Basis von . Es sei
ein Endomorphismus und die zugehörige Sesquilinearform im Sinne von Lemma 41.12. Wie verhält sich die beschreibende Matrix von zur Gramschen Matrix zu ? Welche Beziehung besteht zur Gramschen Matrix der Form , die durch
definiert wird.
Aufgabe
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum und eine hermitesche Sesquilinearform auf . Zeige, dass eine Orthogonalbasis besitzt.
Aufgabe
Beweise den Trägheitssatz von Sylvester für eine komplex-hermitesche Form.
Aufgabe
Der sei (neben dem Standardskalarprodukt) mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Man gebe eine Basis des an, die bezüglich des Skalarproduktes eine Orthonormalbasis und bezüglich der Minkowski-Form eine Orthogonalbasis ist.
Aufgabe
Der sei (neben dem Standardskalarprodukt) mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Bestimme sämtliche Basen des , die bezüglich des Skalarproduktes eine Orthonormalbasis und bezüglich der Minkowski-Form eine Orthogonalbasis sind.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei
ein normaler Endomorphismus. Zeige, dass auch normal ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Entscheide, ob es für die durch die Matrix
gegebene lineare Abbildung eine Orthonormalbasis des aus Eigenvektoren gibt.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei
ein normaler Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen - Vektorraum . Zeige, dass genau dann selbstadjungiert ist, wenn alle Eigenwerte von reell sind.
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme den Typ der Matrix
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