Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 42

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ein -Vektorraum mit Skalarprodukt . Zeige, dass die Menge der selbstadjungierten Endomorphismen von einen Untervektorraum in bilden.


Aufgabe

Es sei ein -Vektorraum mit Skalarprodukt. Es sei

ein normaler Endomorphismus und

ein -invarianter Untervektorraum. Zeige, dass auch die Einschränkung

normal ist.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und sei

ein Endomorphismus. Zeige, dass genau dann normal ist, wenn der adjungierte Endomorphismus normal ist.


Aufgabe *

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und sei

ein normaler Endomorphismus. Zeige


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei

die direkte Summe der Untervektorräume und , die zueinander orthogonal seien. Es seien

und

normale Endomorphismen und

die Summe davon. Zeige, dass auch normal ist.


Aufgabe

Es sei ein -Vektorraum mit Skalarprodukt . Zeige, dass die Menge der normalen Endomorphismen von keinen Untervektorraum in bilden.


Aufgabe *

Entscheide, ob es für die durch die Matrix

gegebene lineare Abbildung eine Orthonormalbasis des aus Eigenvektoren gibt.


Aufgabe

Entscheide, ob es für die durch die Matrix

gegebene lineare Abbildung eine Orthonormalbasis des aus Eigenvektoren gibt.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei eine Basis von . Es sei

ein Endomorphismus und die zugehörige Sesquilinearform im Sinne von Lemma 41.12. Wie verhält sich die beschreibende Matrix von zur Gramschen Matrix zu ? Welche Beziehung besteht zur Gramschen Matrix der Form , die durch

definiert wird.


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und eine hermitesche Sesquilinearform auf . Zeige, dass eine Orthogonalbasis besitzt.


Aufgabe


Aufgabe

Der sei (neben dem Standardskalarprodukt) mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Man gebe eine Basis des an, die bezüglich des Skalarproduktes eine Orthonormalbasis und bezüglich der Minkowski-Form eine Orthogonalbasis ist.


Aufgabe

Der sei (neben dem Standardskalarprodukt) mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Bestimme sämtliche Basen des , die bezüglich des Skalarproduktes eine Orthonormalbasis und bezüglich der Minkowski-Form eine Orthogonalbasis sind.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei

ein normaler Endomorphismus. Zeige, dass auch normal ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob es für die durch die Matrix

gegebene lineare Abbildung eine Orthonormalbasis des aus Eigenvektoren gibt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

ein normaler Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen -Vektorraum . Zeige, dass genau dann selbstadjungiert ist, wenn alle Eigenwerte von reell sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Typ der Matrix


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