Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 44

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Übungsaufgaben

Aufgabe *

Sei eine Gruppe und ein Element, und seien ganze Zahlen. Zeige die folgenden Potenzgesetze.

  1. Es ist .
  2. Es ist .


Aufgabe *

Zeige, dass die Untergruppen von genau die Teilmengen der Form

mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl sind.


Aufgabe

Berechne die Ordnung der Matrix

über dem Körper .


Aufgabe

Betrachte die rationalen Zahlen als kommutative Gruppe. Es sei eine endlich erzeugte Untergruppe. Zeige, dass zyklisch ist.


Aufgabe

Beweise Lemma 44.6.


Aufgabe

Sei eine (multiplikativ geschriebene) kommutative Gruppe und sei . Zeige, dass das Potenzieren

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe *

Es sei eine kommutative Gruppe und

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ebenfalls kommutativ ist.


Aufgabe *

Bestimme, ob die durch die Gaußklammer gegebene Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist oder nicht.


Aufgabe *

Es sei ein kommutativer Ring und . Zeige, dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist. Beschreibe das Bild und den Kern dieser Abbildung.


Aufgabe

a) Für welche reellen Polynome ist die zugehörige polynomiale Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus?

b) Für welche reellen Polynome ist allenfalls eine Nullstelle und die zugehörige polynomiale Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus?


Aufgabe

Es sei eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Zeige, dass die Negation, also die Abbildung

ein Gruppenisomorphismus ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei

die Menge aller invertierbaren -Matrizen.

a) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet.

b) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe

Es sei eine Gruppe und . Zeige, dass die Abbildung

eine Gruppenautomorphismus ist.


Mit dem Konzept der Restklassenbildung werden die folgenden Aufgaben bald deutlich einfacher.

Aufgabe

Sei und betrachte auf

die Verknüpfung

Zeige, dass dadurch eine assoziative Verknüpfung auf dieser Menge definiert ist, und dass damit sogar eine Gruppe vorliegt.


Aufgabe

Sei . Wir betrachten

mit der in Aufgabe 44.14 beschriebenen Addition. Zeige, dass die Abbildung

kein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe

Wir betrachten die Menge

Zeige, dass auf durch

eine wohldefinierte Verknüpfung gegeben ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Menge

mit der in Aufgabe 44.16 definierten Verknüpfung eine kommutative Gruppe ist.


Aufgabe

Es sei eine endliche Menge und eine Teilmenge, und es seien und die zugehörigen Permutationsgruppen (also die Menge aller bijektiven Abbildungen auf , siehe Aufgabe 3.4). Zeige, dass durch

mit

ein injektiver Gruppenhomomorphismus gegeben ist.


Aufgabe

Sei eine Gruppe und sei ein Element und sei

die Multiplikation mit . Zeige, dass bijektiv ist, und dass genau dann ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn ist.


Aufgabe

Gibt es Gruppenhomomorphismen

die nicht -linear sind?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Es seien Gruppen.

a) Definiere eine Gruppenstruktur auf dem Produkt

b) Es sei eine weitere Gruppe. Zeige, dass eine Abbildung

genau dann ein Gruppenhomomorphismus ist, wenn alle Komponenten Gruppenhomomorphismen sind.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Gruppenhomomorphismen von nach .


Die folgende Aufgabe knüpft an Aufgabe 44.17 an. Zu einer reellen Zahl bezeichnet die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten

mit der in Aufgabe 44.16 definierten Verknüpfung, die nach Aufgabe 44.17 eine Gruppe ist. Zeige, dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme für jedes den Kern des Potenzierens


Aufgabe (1 Punkt)

Zeige, dass es keinen Gruppenhomomorphismus

in eine Gruppe mit der Eigenschaft gibt, dass genau dann irrational ist, wenn ist.



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