Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 50

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme die Symmetriegruppe und die eigentliche Symmetriegruppe der Standardvektoren ${}\{e_{1},e_{2},e_{3}\}$ im ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe

Zeige, dass es zu jedem ${}n\in \mathbb {N}$ eine Konfiguration ${}T$ aus ${}n$ Punkten im ${}\mathbb {R} ^{3}$ derart gibt, dass die eigentliche Symmetriegruppe von ${}T$ unendlich ist.

Aufgabe

Es sei ${}T$ eine Konfiguration aus endlich vielen Punkten im ${}\mathbb {R} ^{3}$, die nicht alle kollinear sind. Zeige, dass die eigentliche Symmetriegruppe von ${}T$ endlich ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine zweielementige Menge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{3}$, deren eigentliche Symmetriegruppe trivial ist.

Aufgabe

Bestimme die Symmetriegruppe und die eigentliche Symmetriegruppe zu einer Geraden ${}G\subset \mathbb {R} ^{3}$ durch den Nullpunkt.

Aufgabe

Bestimme die Symmetriegruppe und die eigentliche Symmetriegruppe zu einer Ebene ${}E\subset \mathbb {R} ^{3}$ durch den Nullpunkt.

Aufgabe *

Es seien

${}S\subseteq T\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$

Teilmengen mit den zugehörigen eigentlichen Symmetriegruppen ${}H$ und ${}G$. Zeige, dass es im Allgemeinen keine Inklusionsbeziehung zwischen diesen Gruppen gibt.

Aufgabe

Es sei ${}A_{n}$ eine alternierende Gruppe mit ${}n\geq 4$. Zeige, dass ${}A_{n}$ nicht kommutativ ist.

Aufgabe

Es sei ${}E$ ein regelmäßiges ${}n$-Eck im ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt und mit ${}(1,0)$ als einem Eckpunkt. Bestimme die Matrizen, die die uneigentlichen Symmetrien von ${}E$ bezüglich der Standardbasis beschreiben.

Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {O} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ eine endliche Gruppe und ${}H=G\cap \operatorname {SO} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ Zeige, dass ${}H=G$ oder aber die Anzahl von ${}H$ die Hälfte der Anzahl von ${}G$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Definiere einen injektiven Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {O} _{n}\!{\left(\mathbb {R} \right)}\longrightarrow \operatorname {SO} _{n+1}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$

von der Gruppe der Isometrien auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ in die Gruppe der eigentlichen Isometrien auf dem ${}\mathbb {R} ^{n+1}$.

Die nächsten Aufgaben verwenden die sogenannte Kleinsche Vierergruppe. Dies ist einfach die Produktgruppe ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$.

Aufgabe

Zeige, dass die Kleinsche Vierergruppe zu einer Untergruppe der Permutationsgruppe ${}S_{4}$ isomorph ist. Wie sieht eine Realisierung als Untergruppe der Würfelgruppe aus?

Aufgabe

Zeige, dass die Diedergruppe ${}D_{2}$ isomorph zur Kleinschen Vierergruppe ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Diedergruppe ${}D_{3}$ isomorph zur Permutationsgruppe ${}S_{3}$ ist.

Aufgabe *

Betrachte die Doppelpyramide der Höhe ${}5$ über dem Quadrat mit den Eckpunkten ${}(\pm 1,\pm 1)$. Wie nennt man die eigentliche Symmetriegruppe dieses Objektes? Bestimme die Matrizen bezüglich der Standardbasis, die die eigentlichen Symmetrien der Doppelpyramide beschreiben.

Aufgabe *

Zeige, dass die Diedergruppen ${}D_{n}$, ${}n\geq 3$, nicht kommutativ sind.

Aufgabe

Es sei ${}W$ die Gruppe der eigentlichen Bewegungen an einem Würfel. Man gebe eine möglichst lange Kette von sukzessiven Untergruppen

${}\{\operatorname {id} \}\subset G_{1}\subset G_{2}\subset \ldots \subset G_{n}=W\,$

an derart, dass zwischen ${}G_{i}$ und ${}G_{i+1}$ keine weitere Untergruppe liegen kann.

Aufgabe

Bestimme die eigentliche Symmetriegruppe des Achsenkreuzes im ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ eine endliche Untergruppe. Zeige, dass die Isotropiegruppe zu einer Halbachse aus dem Halbachsensystem zu ${}G$ zyklisch ist.

Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SO} _{3}\,(\mathbb {R} )$ die eigentliche Symmetriegruppe des achsenparallelen Würfels. Man gebe explizite (in Matrixbeschreibung) innere Automorphismen der Würfelgruppe an, die die folgenden Isotropiegruppen zu Achsen ineinander überführen. Welche Matrizen entsprechen dabei welchen Matrizen?

1. Die Isotropiegruppe zur ${}x$-Achse und zur ${}z$-Achse.
2. Die Isotropiegruppe zur Raumdiagonalen ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}$ und zur Raumdiagonalen ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}}$.
3. Die Isotropiegruppe zur Kantenmittelpunktsachse ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}$ und zur Kantenmittelpunktsachse ${}\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}$.

Aufgabe *

Es sei ${}{\mathbb {F} }_{q}$ ein endlicher Körper (mit ${}q$ Elementen). Bestimme die Anzahl der Elemente in

$\operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {F} }_{q}\right)}.$

Die folgende Aufgabe verwendet das Zentrum einer Gruppe.

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Das Zentrum ${}Z=Z(G)$ von ${}G$ ist die Teilmenge

${}Z={\left\{g\in G\mid gx=xg{\text{ für alle }}x\in G\right\}}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Zeige, dass das Zentrum ${}Z\subseteq G$ ein Normalteiler in ${}G$ ist. Man bringe das Zentrum in Zusammenhang mit dem Gruppenhomomorphismus

$\kappa \colon G\longrightarrow \operatorname {Aut} \,(G),\,g\longmapsto \kappa _{g}.$

Was ist das Bild von diesem Homomorphismus, und was besagen die Homomorphiesätze in dieser Situation?

Aufgabe

Führe folgendes Gedankenexperiment durch: Gegeben sei eine Kugeloberfläche aus Metall und ${}n$ gleiche Teilchen mit der gleichen positiven Ladung. Die Teilchen stoßen sich also ab. Diese Teilchen werden auf die Kugeloberfläche gebracht, wobei sie sich nach wie vor gegenseitig abstoßen, aber auf der Kugel bleiben. Welche Konfiguration nehmen die Teilchen ein? Müsste sich nicht „aus physikalischen Gründen“ eine „gleichverteilte“ Konfiguration ergeben, in der alle Teilchen gleichberechtigt sind? Müsste es nicht zu je zwei Teilchen ${}P,Q$ eine Kugelbewegung geben, die eine Symmetrie der Konfiguration ist und die ${}P$ in ${}Q$ überführt?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte die Wirkung der Tetraedergruppe auf den vier Eckpunkten eines Tetraeders. Zeige, dass dies eine Isomorphie zwischen der Tetraedergruppe und der alternierenden Gruppe ${}A_{4}$ ergibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte ein regelmäßiges ${}n$-Eck und die zugehörige Gruppe der (eigentlichen und uneigentlichen) Symmetrien, also die Diedergruppe ${}D_{n}$. Beschreibe ${}D_{n}$ als Untergruppe der Permutationsgruppe ${}S_{n}$. Durch welche Permutationen wird sie erzeugt? Für welche ${}n$ handelt es sich um eine Untergruppe der alternierenden Gruppe?

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {O} _{2}\!$ eine endliche Untergruppe der (eigentlichen und uneigentlichen) Bewegungsgruppe der reellen Ebene, und sei ${}G\not \subseteq \operatorname {SO} _{2}$. Zeige, dass es einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

$G\longrightarrow \mathbb {Z} /(2)$

gibt, dessen Kern eine zyklische Gruppe ist. Schließe, dass die Ordnung von ${}G$ gerade ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe mit Zentrum ${}Z(G)$. Zeige:

1. ${}G$ ist genau dann abelsch, wenn ${}G/Z(G)$ zyklisch ist.
2. Der Index von ${}Z(G)$ in ${}G$ ist keine Primzahl.
3. Ist ${}G$ von der Ordnung ${}pq$ für zwei Primzahlen ${}p$ und ${}q$, so ist ${}G$ abelsch oder ${}Z(G)$ trivial.

Aufgabe zum Hochladen

Für die folgende Aufgabe gibt es keinen festen Abgabetermin. Sie gilt so lange, bis eine befriedigende Lösung auf Commons hochgeladen wurde.

Aufgabe (10 Punkte)

Schreibe eine Computeranimation, die zeigt, wie sich fünf auf einer Kugeloberfläche platzierte Teilchen mit der gleichen positiven Ladung aufgrund ihrer gegenseitigen Abstoßung bewegen (wobei sie aber auf der Kugeloberfläche bleiben), und welche Endposition (?) sie einnehmen.