Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Vorlesung 58

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Eigenschaften des Dachprodukts



Satz  

Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum der Dimension . Es sei eine Basis von und es sei .

Dann bilden die Dachprodukte

eine Basis von .

Beweis  

Wir zeigen zuerst, dass ein Erzeugendensystem vorliegt.  Da die Elemente der Form nach Lemma 57.5  (1) ein Erzeugendensystem von bilden, genügt es zu zeigen, dass man diese durch die angegebenen Elemente darstellen kann. Für jedes gibt es eine Darstellung , daher kann man nach Lemma 57.5  (4) die als Linearkombinationen von Dachprodukten der Basiselemente darstellen, wobei allerdings jede Reihenfolge vorkommen kann. Sei also gegeben mit . Durch Vertauschen von benachbarten Vektoren kann man nach Lemma 57.5  (3) (unter Inkaufnahme eines anderen Vorzeichens) erreichen, dass die Indizes (nicht notwendigerweise streng) aufsteigend geordnet sind. Wenn sich ein Index wiederholt, so ist nach Lemma 57.5  (2) das Dachprodukt . Also wiederholt sich kein Index und diese Dachprodukte sind in der gewünschten Form.

Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit zeigen wir unter Verwendung von Lemma 14.7, dass es zu jeder -elementigen Teilmenge (mit ) eine -lineare Abbildung

gibt, die nicht auf abbildet, aber alle anderen in Frage stehenden Dachprodukte auf abbildet. Dazu genügt es nach Satz 57.7, eine alternierende multilineare Abbildung

anzugeben mit , aber mit für jedes andere aufsteigende Indextupel. Es sei der von den , , erzeugte Untervektorraum von und der Restklassenraum. Dann bilden die Bilder der , , eine Basis von , und die Bilder von allen anderen -Teilmengen der gegebenen Basis bilden dort keine Basis, da mindestens ein Element davon auf geht. Wir betrachten nun die zusammengesetzte Abbildung

Diese Abbildung ist nach Satz 16.9 multilinear und nach Satz 16.10 alternierend. Nach Satz 16.11 ist genau dann, wenn die Bilder von in keine Basis bilden.


Bei mit der Standardbasis nennt man die  mit die Standardbasis von .

Bemerkung  

Zu Basen und eines -Vektorraumes mit den Beziehungen

erhält man zwischen den Basen

des die Beziehung

Dies beruht gemäß Lemma 57.5  (4) auf




Korollar  

Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum der Dimension .

Dann besitzt das -te äußere Produkt die Dimension

Beweis  

Insbesondere ist die äußere Potenz für eindimensional (es ist ) und für -dimensional (es ist ). Für ist eindimensional, und die Determinante induziert (nach einer Identifizierung von mit ) einen Isomorphismus

Für sind die äußeren Produkte der Nullraum und besitzen die Dimension .

Wir erweitern die in der letzten Vorlesung gezeigte natürliche Isomorphie zu einer natürlichen Isomorphie



Satz  

Es sei ein Körper und ein -dimensionaler Vektorraum. Es sei .

Dann gibt es eine natürliche Isomorphie

mit

(mit und ).

Beweis  

Wir betrachten die Abbildung (mit Faktoren)

mit

Für fixierte ist die Abbildung rechts multilinear und alternierend, wie eine direkte Überprüfung unter Verwendung der Determinantenregeln zeigt. Daher entspricht diese nach Korollar 57.8 einem Element in . Insgesamt liegt also eine Abbildung

vor. Eine direkte Prüfung zeigt, dass die Gesamtzuordung ebenfalls multilinear und alternierend ist. Aufgrund der universellen Eigenschaft gibt es daher eine lineare Abbildung

Diese müssen wir als Isomorphismus nachweisen. Sei dazu eine Basis von mit der zugehörigen Dualbasis . Nach Satz 58.1 bilden die

eine Basis von . Ebenso bilden die

eine Basis von mit zugehöriger Dualbasis . Wir zeigen, dass unter auf abgebildet wird. Für ist

Bei gibt es ein , das von allen verschieden ist. Daher ist die -te Zeile der Matrix und somit ist die Determinante . Wenn dagegen die Indexmengen übereinstimmen, so ergibt sich die Einheitsmatrix mit der Determinante . Diese Wirkungsweise stimmt mit der von überein.




Dachprodukte bei linearen Abbildungen



Korollar  

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung.

Dann gibt es zu jedem eine -lineare Abbildung

mit .

Beweis  

Die Abbildung

ist nach Aufgabe 16.28 multilinear und alternierend. Daher gibt es nach Satz 57.7 eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

mit .




Proposition  

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung. Zu sei

die zugehörige -lineare Abbildung. Dann gelten folgende Eigenschaften.
  1. Wenn surjektiv ist, dann ist auch surjektiv.
  2. Wenn injektiv ist, dann ist auch injektiv.
  3. Wenn ein weiterer -Vektorraum und

    eine weitere -lineare Abbildung ist, so gilt

Beweis  

(1). Seien gegeben und seien Urbilder davon, also . Dann ist

Nach Lemma 57.5  (1) ergibt sich die Surjektivität.
(2). Wir können aufgrund der Konstruktion des Dachproduktes annehmen, dass und endlichdimensional sind. Die Aussage folgt dann aufgrund der expliziten Beschreibung der Basen in Satz 58.1.
(3). Es genügt, die Gleichheit für das Erzeugendensystem mit zu zeigen, wofür es klar ist.



Orientierungen und das Dachprodukt

Unter Bezug auf das Dachprodukt kann man generell die Orientierung auf einem reellen Vektorraum auf die Orientierung einer Geraden zurückführen, wie die folgende Aussage zeigt.



Lemma  

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum der Dimension .

Dann entsprechen durch die Zuordnung

die Orientierungen auf den Orientierungen auf .

Beweis  

Es seien und zwei Basen von mit der Beziehung

Dann gilt nach Korollar 57.6

woraus die Wohldefiniertheit der Abbildung und die Aussage folgt.


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