Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 24

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die Matrix

${\begin{pmatrix}4&7\\5&3\end{pmatrix}}.$

Übungsaufgaben

Aufgabe *

a) Formuliere den Satz von Cayley-Hamilton für eine ${}n\times n$-Matrix.

b) Bestätige durch Nachrechnen den Satz von Cayley-Hamilton für die Matrix

${\begin{pmatrix}2&1\\3&-4\end{pmatrix}}.$

c) Beweise den Satz von Cayley-Hamilton für eine beliebige ${}2\times 2$-Matrix.

Aufgabe

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die Matrix

${\begin{pmatrix}3&1&0&0\\0&3&0&0\\0&0&2&1\\0&0&0&2\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton für eine obere Dreiecksmatrix der Form

${\begin{pmatrix}a&b&c\\0&a&d\\0&0&a\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine diagonalisierbare Matrix mit dem charakteristischen Polynom ${}\chi _{M}$. Zeige direkt, dass

${}\chi _{M}\,(M)=0\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und es sei

$\psi =\varphi \oplus \cdots \oplus \varphi \colon V\oplus \cdots \oplus V\longrightarrow V\oplus \cdots \oplus V$

die ${}m$-fache direkte Summe von ${}\varphi$ mit sich selbst. Wie verhält sich das Minimalpolynom (das charakteristische Polynom) von ${}\psi$ zum Minimalpolynom (zum charakteristischen Polynom) von ${}\varphi$.

Aufgabe

Schreibe die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}4X^{2}-3X+2&X^{3}-2X+8\\3X^{4}-X^{3}-2X^{2}+7&X^{4}-6\end{pmatrix}}\,$

(mit Einträgen aus ${}\mathbb {Q} [X]\subset \mathbb {Q} (X)$) als

$A_{4}X^{4}+A_{3}X^{3}+A_{2}X^{2}+A_{1}X+A_{0}$

mit Matrizen ${}A_{4},A_{3},A_{2},A_{1},A_{0}\in \operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {Q} )$.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über einem Körper ${}K$, dessen Minimalpolynom die Form

$(X-\lambda _{1})\cdots (X-\lambda _{k})$

mit verschiedenen ${}\lambda _{i}$ besitze. Zeige, dass ${}M$ diagonalisierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}n\in \mathbb {N}$ und sei ${}M$ die Menge der ${}n$-ten Einheitswurzeln in ${}K$. Zeige, dass ${}M$ eine Untergruppe der Einheitengruppe ${}K^{\times }$ ist.

Aufgabe *

Zeige, dass jede komplexe Einheitswurzel auf dem Einheitskreis liegt.

Die folgende Aufgabe benötigt den Begriff der konvergenten Potenzreihe, wie er in der Analysis entwickelt wird.

Aufgabe

Es sei ${}n=\mathbb {N} _{+}$. Es sei ${}F$ eine komplexe, auf ${}{\mathbb {C} }$ konvergente Potenzreihe der Form

${}F=\sum _{j=0}^{\infty }c_{jn}z^{jn}\,.$

Zeige, dass für jede ${}n$-te komplexe Einheitswurzel ${}\zeta$ die Gleichheit ${}F(\zeta z)=F(z)$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$ gilt.

Eine ${}n$-te Einheitswurzel heißt primitiv, wenn sie die Ordnung ${}n$ besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}\zeta \in K$ eine ${}n$-te primitive Einheitswurzel in einem Körper ${}K$. Zeige die „Schwerpunktformel“

${}1+\zeta +\zeta ^{2}+\cdots +\zeta ^{n-1}=0\,.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}a\in K$ und ${}n\in \mathbb {N}$. Beweise die folgenden Aussagen.

1. Wenn ${}b_{1},b_{2}\in K$ zwei Lösungen der Gleichung ${}X^{n}=a$ sind und ${}b_{2}\neq 0$, so ist ihr Quotient ${}b_{1}/b_{2}$ eine ${}n$-te Einheitswurzel.
2. Wenn ${}b\in K$ eine Lösung der Gleichung ${}X^{n}=a$ und ${}\zeta$ eine ${}n$-te Einheitswurzel ist, so ist auch ${}\zeta b$ eine Lösung der Gleichung ${}X^{n}=a$.

Aufgabe

Es sei ${}M$ die Permutationsmatrix zu einer Transposition. Zeige, dass ${}M$ über ${}\mathbb {R}$ diagonalisierbar ist.

Aufgabe *

Es sei der Zykel ${}1\mapsto 2\mapsto 3\mapsto \ldots \mapsto n\mapsto 1$ gegeben und sei ${}M$ die zugehörige ${}n\times n$- Permutationsmatrix über einem Körper ${}K$.

a) Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom vom Grad ${}<n$. Erstelle eine Formel für ${}(P(M))(e_{1})$.

b) Bestimme das Minimalpolynom von ${}M$.

c) Man gebe ein Beispiel für einen Endomorphismus ${}\varphi$ auf einem reellen Vektorraum ${}V$ mit untereinander verschiedenen Vektoren ${}v_{1},v_{2},v_{3}\in V$ derart, dass ${}\varphi (v_{1})=v_{2}$, ${}\varphi (v_{2})=v_{3}$ und ${}\varphi (v_{3})=v_{1}$ gilt und dass das Minimalpolynom von ${}\varphi$ nicht ${}X^{3}-1$ ist.

Aufgabe

Von einer Permutation ${}\pi \in S_{n}$ sei die Zyklenzerlegung bekannt. Bestimme das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom der Permutationsmatrix ${}M_{\pi }$.

Aufgabe

Es sei ${}\pi \in S_{n}$ eine Permutation und ${}M_{\pi }$ die zugehörige Permutationsmatrix über einem Körper ${}K$. Zu ${}J\subseteq {\{1,\ldots ,n\}}$ sei

${}V_{J}=\langle e_{j},\,j\in J\rangle \subseteq K^{n}\,.$

a) Zeige, dass ${}V_{J}$ genau dann ${}M_{\pi }$- invariant ist, wenn ${}\pi (J)\subseteq J$ ist.

b) Zeige, dass es ${}M_{\pi }$-invariante Unterräume geben kann, die nicht von der Form ${}V_{J}$ sind.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper. Zeige, dass jede Einheit in ${}K$ eine Einheitswurzel ist.

Aufgabe *

Bestimme die Ordnung der Matrix

${\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}}$

über dem Körper mit ${}3$ Elementen.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper und ${}M$ eine invertierbare ${}n\times n$- Matrix über ${}K$. Zeige, dass ${}M$ endliche Ordnung besitzt.

Aufgabe *

Man gebe eine Matrix ${}M\in \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {Q} \right)}$ der Ordnung ${}4$ an.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die Matrix

${\begin{pmatrix}7&4&5\\6&3&8\\2&2&1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über einem Körper

${}K$ und sei

$P=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{m}X^{m}\in K[X]$

ein Polynom mit

${}P(M)=0\,$

und mit ${}a_{0}\neq 0$. Zeige, dass ${}M$ invertierbar ist und dass die inverse Matrix durch

${}M^{-1}=-{\frac {1}{a_{0}}}{\left(a_{1}+a_{2}M+\cdots +a_{m}M^{m-1}\right)}\,$

beschrieben wird.

Aufgabe (5 Punkte)

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

und

$\psi \colon W\longrightarrow W$

Endomorphismen mit den Minimalpolynomen ${}P$ bzw. ${}Q$. Zeige, dass das Minimalpolynom von

$\varphi \oplus \psi \colon V\oplus W\longrightarrow V\oplus W$

gleich dem normierten Erzeuger des Ideals ${}(P)\cap (Q)$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Ordnung der Matrix

${\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}}$

über dem Körper ${}\mathbb {Z} /(5)$ mit ${}5$ Elementen.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass eine Permutationsmatrix über ${}{\mathbb {C} }$ diagonalisierbar ist.