Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 24
- Die Pausenaufgabe
Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die Matrix
- Übungsaufgaben
Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton durch eine explizite Rechnung für die Matrix
Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton für eine obere Dreiecksmatrix der Form
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung und es sei
die -fache direkte Summe von mit sich selbst. Wie verhält sich das Minimalpolynom (das charakteristische Polynom) von zum Minimalpolynom (zum charakteristischen Polynom) von ?
Schreibe die Matrix
(mit Einträgen aus ) als
mit Matrizen .
Es sei eine - Matrix über einem Körper , dessen Minimalpolynom die Form
mit verschiedenen besitze. Zeige, dass diagonalisierbar ist.
Es sei ein Körper, und sei die Menge der -ten Einheitswurzeln in . Zeige, dass eine Untergruppe der Einheitengruppe ist.
Zeige, dass jede komplexe Einheitswurzel auf dem Einheitskreis liegt.
Eine -te Einheitswurzel heißt primitiv, wenn sie die Ordnung besitzt.
Es sei eine -te primitive Einheitswurzel in einem Körper . Zeige die „Schwerpunktformel“
Es sei die Permutationsmatrix zu einer Transposition. Zeige, dass über diagonalisierbar ist.
Es sei der Zykel gegeben und sei die zugehörige
-
Permutationsmatrix
über einem Körper .
a) Es sei ein Polynom vom Grad . Erstelle eine Formel für .
b) Bestimme das
Minimalpolynom
von .
c) Man gebe ein Beispiel für einen
Endomorphismus
auf einem reellen Vektorraum mit untereinander verschiedenen Vektoren
derart, dass
,
und
gilt und dass das Minimalpolynom von nicht ist.
Von einer Permutation sei die Zyklenzerlegung bekannt. Bestimme das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom der Permutationsmatrix .
Es sei eine Permutation und die zugehörige Permutationsmatrix über einem Körper . Zu sei
a) Zeige, dass genau dann - invariant ist, wenn ist.
b) Zeige, dass es -invariante Unterräume geben kann, die nicht von der Form sind.
Es sei ein endlicher Körper. Zeige, dass jede Einheit in eine Einheitswurzel ist.
Es sei ein endlicher Körper und eine invertierbare - Matrix über . Zeige, dass endliche Ordnung besitzt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei eine - Matrix über einem Körper und sei
ein Polynom mit
und mit . Zeige, dass invertierbar ist und dass die inverse Matrix durch
beschrieben wird.
Aufgabe (5 Punkte)
Es seien und endlichdimensionale - Vektorräume und
und
Endomorphismen mit den Minimalpolynomen bzw. . Zeige, dass das Minimalpolynom von
gleich dem normierten Erzeuger des Ideals ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass eine Permutationsmatrix über diagonalisierbar ist.
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