Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 43

Übungsaufgaben

Aufgabe

Multipliziere in ${}\mathbb {Z} /(5)[x,y]$ die beiden Polynome

$x^{4}+2x^{2}y^{2}-xy^{3}+2y^{3}{\text{ und }}x^{4}y+4x^{2}y+3xy^{2}-x^{2}y^{2}+2y^{2}.$

Aufgabe

Multipliziere in ${}\mathbb {Q} [x,y,z]$ die beiden Polynome

$x^{5}+3x^{2}y^{2}-xyz^{3}{\text{ und }}2x^{3}yz+z^{2}+5xy^{2}z-x^{2}y.$

Aufgabe *

Zeige, dass im Polynomring ${}K[X,Y]$ über einem Körper ${}K$ das Ideal ${}(X,Y)$ kein Hauptideal ist.

Aufgabe

Skizziere im ${}\mathbb {R} ^{2}$ die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen.

1. ${}x^{2}-y^{2}-1=0$,
2. ${}x^{2}+xy+y^{2}=0$,
3. ${}x^{2}+y^{2}+1=0$,
4. ${}x^{2}+y^{2}=0$,
5. ${}x^{2}+y^{3}=0$,
6. ${}x^{3}-y^{5}=0$,
7. ${}x^{2}-x^{3}=0$,
8. ${}x^{3}+y^{3}=1$,
9. ${}x^{4}+y^{4}=1$,
10. ${}-5+3x+4x^{2}+x^{3}-y^{2}=1$.

Aufgabe

Welche der rechts skizzierten Quadriken kann man (in welchem Sinne) mit weniger als drei Variablen beschreiben?

Aufgabe

Bestimme, welche Quadriken aus Beispiel 43.9 sich als Graph und welche sich als Rotationsfläche beschreiben lassen.

In den folgenden Aufgaben ist Standardform im Sinne von Satz 43.10 zu verstehen.

Aufgabe

Bringe das reelle rein-quadratische Polynom

$3X^{2}-5Y^{2}+8XY$

auf eine Standardgestalt.

Aufgabe

Bringe das reelle rein-quadratische Polynom

$2X^{2}-Y^{2}+3Z^{2}+4YZ$

auf eine Standardgestalt.

In den folgenden Aufgaben ist Standardform im Sinne von Satz 43.13 zu verstehen. Es muss die neue Basis, die Variablentransformation (Koordinatentransformation) und das vereinfachte quadratische Polynom angegeben werden.

Aufgabe *

Wir betrachten das reelle quadratische Polynom

${}F=X^{2}-4Y^{2}+6XY-3X+Y+2\,$

mit dem rein-quadratischen Anteil

${}G=X^{2}-4Y^{2}+6XY\,.$

a) Bestimme eine Standardgestalt für ${}G$.

b) Bestimme eine Orthonormalbasis, bezüglich der ${}G$ Standardgestalt besitzt. Wie drückt man die Variablen ${}X,Y$ mit den neuen Variablen aus?

c) Drücke ${}F$ in den Variablen zur neuen Orthonormalbasis aus.

d) Bestimme eine Standardgestalt von ${}F$.

Aufgabe

Bringe das reelle quadratische Polynom

$5X^{2}-2Y^{2}-6XY-5X-3Y-7$

auf eine Standardgestalt.

In der folgenden Aufgabe geht es um zwei Definitionen für eine Ellipse.

Aufgabe *

Es seien  ${}Q_{1},Q_{2}\in \mathbb {R} ^{2}$  zwei Punkte,  ${}c>0$  und es sei

${}E={\left\{P\in \mathbb {R} ^{2}\mid d(P,Q_{1})+d(P,Q_{2})=c\right\}}\,.$

Zeige, dass ${}E$ die Nullstellenmenge eines quadratischen Polynoms in zwei Variablen ist. Wie sieht die Standardgestalt aus? Was sind die Hauptachsen?

Tipp: Führe die beschriebene Situation auf den Fall zurück, wo  ${}Q_{1}=(e,0)$  und  ${}Q_{2}=(-e,0)$. 

Unter normierter Standardgestalt verstehen wir eine quadratische Form, bei der die Koeffizienten nur den Wert ${}0,1,-1$ haben dürfen. Dies kann man durch Verzerrungen stets erreichen (wobei aber die Orthogonalität verloren geht).

Aufgabe

Bestimme die normierte Standardgestalt der reellen Quadrik

$7x^{2}-11y^{2}+15xy.$

Aufgabe *

Bestimme die normierte Standardgestalt der reellen Quadrik

$3x^{2}+2y^{2}+2xy-2yz.$

Aufgabe

Bestimme die normierte Standardgestalt der reellen Quadrik

$x^{2}+y^{2}-2z^{2}-4xy+6xy-2yz.$

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein Minkowski-Raum der Dimension ${}n$. Wir betrachten die Menge

${}T={\left\{v\in V\mid \left\langle v,v\right\rangle =1\right\}}\,.$

Für welche ${}n$ ist ${}T$ wegzusammenhängend, für welche zerfällt es in verschiedene Komponenten?

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein Minkowski-Raum der Dimension ${}n$. Wir betrachten die Menge

${}T={\left\{v\in V\mid \left\langle v,v\right\rangle =1\right\}}\,.$

Es sei ${}w$ der Beobachtervektor eines Beobachters ${}B$ und es sei ${}V_{B}$ seine Raumkomponente. Welche Gestalt besitzt ${}T\cap V_{B}$?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Das Bild der durch

$K\longrightarrow K^{2},\,t\longmapsto \left(t^{2},\,t^{3}\right),$

definierten Kurve heißt Neilsche Parabel. Zeige, dass ein Punkt  ${}(x,y)\in K^{2}$  genau dann zu diesem Bild gehört, wenn er die Gleichung  ${}x^{3}=y^{2}$  erfüllt.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t^{2},\,t^{3}\right).$

Bestimme die Punkte  ${}t_{0}\in \mathbb {R}$,  für die der Abstand der zugehörigen Kurvenpunkte  ${}f(t)=\left(t^{2},\,t^{3}\right)$  zum Punkt ${}(1,0)$ minimal wird.

Aufgabe

Wir betrachten die Kurve

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{2}-1,t^{3}-t).$

a) Zeige, dass die Bildpunkte ${}(x,y)$ der Kurve die Gleichung

${}y^{2}=x^{2}+x^{3}\,$

erfüllen.

b) Zeige, dass jeder Punkt  ${}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$  mit  ${}y^{2}=x^{2}+x^{3}$  zum Bild der Kurve gehört.

c) Zeige, dass es genau zwei Punkte ${}t_{1}$ und ${}t_{2}$ mit identischem Bildpunkt gibt, und dass ansonsten die Abbildung injektiv ist.

Aufgabe

Es sei  ${}C\subseteq \mathbb {R} ^{2}$  das Bild unter der polynomialen Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t^{3}-1,\,t^{2}-1\right).$

Bestimme ein Polynom  ${}F\neq 0$  in zwei Variablen derart, dass ${}C$ auf dem Nullstellengebilde zu ${}F$ liegt.

Aufgabe

Es sei ${}T$ der Graph der Standardparabel

${}y=x^{2}\,$

und  ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{3}$  die Rotationsfläche zu ${}T$ um die ${}x$-Achse.

a) Zeige, dass ${}M$ durch keine Quadrik beschrieben wird.

b) Zeige, dass ${}M$ die Nullstellenmenge eines Polynoms in drei Variablen ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Wie viele Monome vom Grad ${}d$ gibt es im Polynomring in einer, in zwei und in drei Variablen?

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung

${}x^{2}+y^{2}=1\,$

für die Körper  ${}K=\mathbb {Z} /(2)$,  ${}\mathbb {Z} /(3)$, ${}\mathbb {Z} /(5)$ und ${}\mathbb {Z} /(7)$.

Aufgabe (8 (2+2+2+2) Punkte)

Wir betrachten das reelle quadratische Polynom

${}F=3X^{2}-5Y^{2}+7XY+4X-2Y+5\,$

mit dem rein-quadratischen Anteil

${}G=3X^{2}-5Y^{2}+7XY\,.$

a) Bestimme eine Standardgestalt für ${}G$.

b) Bestimme eine Orthonormalbasis, bezüglich der ${}G$ Standardgestalt besitzt. Wie drückt man die Variablen ${}X,Y$ mit den neuen Variablen aus?

c) Drücke ${}F$ in den Variablen zur neuen Orthonormalbasis aus.

d) Bestimme eine Standardgestalt von ${}F$.

Aufgabe (10 (4+6) Punkte)

Wir betrachten den Kegel

${}K={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=z^{2}\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$

und es sei  ${}E\subseteq \mathbb {R} ^{3}$  eine affine Ebene. Der Durchschnitt ${}K\cap E$ heißt Kegelschnitt.

a) Zeige, dass jeder Kegelschnitt

${}K\cap E\subseteq E\cong \mathbb {R} ^{2}\,$

in geeigneten Koordinaten ${}u,v$ des ${}\mathbb {R} ^{2}$ als Nullstellenmenge eines quadratischen Polynoms in ${}u,v$ beschrieben werden kann.

b) Bestimme, welche der Quadriken aus Beispiel 43.8 sich als Kegelschnitte realisieren lassen.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die normierte Standardgestalt der reellen Quadrik

$5x^{2}-4y^{2}+z^{2}-xy+3xz.$