Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 42

Übungsaufgaben

Aufgabe

Eine komplexe Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$ definiert einen Endomorphismus ${}\mu _{z}\colon x\rightarrow zx$. Skizziere in der Ebene ${}{\mathbb {C} }$ diejenigen komplexen Zahlen mit der Eigenschaft, dass ${}\mu _{z}$ eine Isometrie, selbstadjungiert, eine selbstadjungierte Isometrie bzw. normal ist.

Aufgabe

Eine komplexe Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$ definiert eine Streckung ${}\mu _{z}\colon v\rightarrow zv$ auf dem ${}{\mathbb {C} }^{n}$. Für welche Zahlen ${}z$ handelt es sich dabei um eine Isometrie, einen selbstadjungierten Endomorphismus, einen normalen Endomorphismus?

Aufgabe

Wann ist eine Scherung ${}{\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}$ auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ ein normaler Endomorphismus?

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein normaler Endomorphismus und

${}U\subseteq V\,$

ein ${}\varphi$- invarianter Untervektorraum. Zeige, dass auch die Einschränkung

$\varphi {|}_{U}\colon U\longrightarrow U$

normal ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann normal ist, wenn der adjungierte Endomorphismus ${}{\hat {\varphi }}$ normal ist.

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein normaler Endomorphismus. Zeige

${}\operatorname {kern} \varphi =\operatorname {kern} {\hat {\varphi }}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei

${}V=V_{1}\oplus V_{2}\,$

die direkte Summe der Untervektorräume ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$, die zueinander orthogonal seien. Es seien

$\varphi _{1}\colon V_{1}\longrightarrow V_{1}$

und

$\varphi _{2}\colon V_{2}\longrightarrow V_{2}$

normale Endomorphismen und

${}\varphi =\varphi _{1}\oplus \varphi _{2}\,$

die Summe davon. Zeige, dass auch ${}\varphi$ normal ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass die Menge der normalen Endomorphismen von ${}V$ keinen Untervektorraum in ${}\operatorname {End} _{}{\left(V\right)}$ bilden.

Aufgabe

Die lineare Abbildung ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ werde bezüglich der Basis ${}{\begin{pmatrix}6\\-5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-5\\2\end{pmatrix}}$ durch die Matrix ${}{\begin{pmatrix}7&0\\0&7\end{pmatrix}}$ beschrieben. Handelt es sich um einen normalen Endomorphismus?

Aufgabe

Die lineare Abbildung ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ werde bezüglich der Basis ${}{\begin{pmatrix}7\\-2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4\\14\end{pmatrix}}$ durch die Matrix ${}{\begin{pmatrix}5&0\\0&6\end{pmatrix}}$ beschrieben. Handelt es sich um einen normalen Endomorphismus?

Aufgabe *

Entscheide, ob es für die durch die Matrix

${\begin{pmatrix}2-3{\mathrm {i} }&4+5{\mathrm {i} }\\11-3{\mathrm {i} }&6+9{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$

gegebene lineare Abbildung ${}{\mathbb {C} }^{2}\rightarrow {\mathbb {C} }^{2}$ eine Orthonormalbasis des ${}{\mathbb {C} }^{2}$ aus Eigenvektoren gibt.

Aufgabe

Entscheide, ob es für die durch die Matrix

${\begin{pmatrix}2-5{\mathrm {i} }&3-4{\mathrm {i} }&1+5{\mathrm {i} }\\0&1-{\mathrm {i} }&2+9{\mathrm {i} }\\6+3{\mathrm {i} }&{\mathrm {i} }-7&-4{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$

gegebene lineare Abbildung ${}{\mathbb {C} }^{3}\rightarrow {\mathbb {C} }^{3}$ eine Orthonormalbasis des ${}{\mathbb {C} }^{3}$ aus Eigenvektoren gibt.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus und ${}\Psi _{\varphi }$ die zugehörige Sesquilinearform im Sinne von Lemma 41.12. Wie verhält sich die beschreibende Matrix von ${}\varphi$ zur Gramschen Matrix zu ${}\Psi _{\varphi }$? Welche Beziehung besteht zur Gramschen Matrix der Form ${}\Theta _{\varphi }$, die durch

${}\Theta _{\varphi }(v,w)=\left\langle v,\varphi (w)\right\rangle \,$

definiert wird.

Aufgabe *

Es sei ${}X^{2}+(3-2{\mathrm {i} })X-6{\mathrm {i} }$ das charakteristische Polynom eines normalen Endomorphismus ${}\varphi \colon {\mathbb {C} }^{2}\rightarrow {\mathbb {C} }^{2}$. Bestimme das charakteristische Polynom des adjungierten Endomorphismus ${}{\hat {\varphi }}$.

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit einem fixierten Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Wir nennen eine Sesquilinearform ${}\Psi$ auf ${}V$ orthogonalisierbar, wenn es eine Orthonormalbasis ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ (bezüglich des Skalarproduktes) von ${}V$ mit

${}\Psi (u_{i},u_{j})=0\,$

für alle ${}i\neq j$ gibt. Zeige, dass bei der Korrespondenz

$\operatorname {End} _{}{\left(V\right)}\longrightarrow \operatorname {Sesq} _{}{\left(V\right)},\,\varphi \longmapsto \Psi _{\varphi },$

die normalen Endomorphismen den orthogonalisierbaren Sesquilinearformen entsprechen.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine hermitesche Sesquilinearform auf ${}V$. Zeige, dass ${}V$ eine Orthogonalbasis besitzt.

Aufgabe

Beweise den Trägheitssatz von Sylvester für eine komplex-hermitesche Form.

Aufgabe

Der ${}\mathbb {R} ^{4}$ sei (neben dem Standardskalarprodukt) mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Man gebe eine Basis des ${}\mathbb {R} ^{4}$ an, die bezüglich des Skalarproduktes eine Orthonormalbasis und bezüglich der Minkowski-Form eine Orthogonalbasis ist.

Aufgabe

Der ${}\mathbb {R} ^{2}$ sei (neben dem Standardskalarprodukt) mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Bestimme sämtliche Basen des ${}\mathbb {R} ^{2}$, die bezüglich des Skalarproduktes eine Orthonormalbasis und bezüglich der Minkowski-Form eine Orthogonalbasis sind.

Aufgabe

Bestimme den Typ der Matrix

${\begin{pmatrix}-6&3-2{\mathrm {i} }&-1+3{\mathrm {i} }\\3+2{\mathrm {i} }&1&5\\-1-3{\mathrm {i} }&5&-1\end{pmatrix}}.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Die lineare Abbildung ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ werde bezüglich der Basis ${}{\begin{pmatrix}7\\-2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}}$ durch die Matrix ${}{\begin{pmatrix}3&0\\0&5\end{pmatrix}}$ beschrieben. Handelt es sich um einen normalen Endomorphismus?

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein normaler Endomorphismus. Zeige, dass auch ${}\varphi -\lambda \cdot \operatorname {Id} _{V}$ normal ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob es für die durch die Matrix

${\begin{pmatrix}4+{\mathrm {i} }&6-7{\mathrm {i} }&6+3{\mathrm {i} }\\4-{\mathrm {i} }&2-{\mathrm {i} }&2-{\mathrm {i} }\\5+3{\mathrm {i} }&2{\mathrm {i} }-11&4+3{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$

gegebene lineare Abbildung ${}{\mathbb {C} }^{3}\rightarrow {\mathbb {C} }^{3}$ eine Orthonormalbasis des ${}{\mathbb {C} }^{3}$ aus Eigenvektoren gibt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein normaler Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {C} }$- Vektorraum ${}V$. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann selbstadjungiert ist, wenn alle Eigenwerte von ${}\varphi$ reell sind.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Typ der Matrix

${\begin{pmatrix}-5&3-{\mathrm {i} }&-4+{\mathrm {i} }\\3+{\mathrm {i} }&2&7{\mathrm {i} }\\-4-{\mathrm {i} }&-7{\mathrm {i} }&4\end{pmatrix}}.$