Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 40

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme die Ableitung der Kurve

in jedem Punkt .


Aufgabe

Skizziere die Bilder und die Graphen der folgenden Kurven im .

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. .


Aufgabe

Sei ein euklidischer Vektorraum und . Zeige, dass die Abbildung

differenzierbar ist mit der Ableitung .


Aufgabe

Es sei ein reelles Intervall und ein euklidischer Vektorraum. Es seien

zwei in differenzierbare Kurven und es sei

eine in differenzierbare Funktion. Zeige, dass folgende Aussagen gelten.

  1. Die Summe

    ist in differenzierbar mit

  2. Das Produkt

    ist differenzierbar in mit

    Insbesondere ist für auch differenzierbar in mit

  3. Wenn nullstellenfrei ist, so ist auch die Quotientenfunktion

    in differenzierbar mit


Die folgenden Aufgaben wiederholen wichige Eigenschaften von euklidischen Vektorräumen.

Aufgabe

Man beweise das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren. Das besagt, dass man in einem euklidischen Vektorraum aus einer gegebenen Basis eine Orthonormalbasis basteln kann derart, dass die erzeugten Unterräume

übereinstimmen für alle .


Aufgabe

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm . Zeige, dass die sogenannte Parallelogrammgleichung

gilt.


Aufgabe

Es seien und zwei euklidische Vektorräume. Zeige, dass durch

ein Skalarprodukt auf dem Produktraum definiert wird.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum, sei eine Teilmenge und sei ein Berührpunkt von . Es sei

eine Abbildung in einen euklidischen Vektorraum mit den Komponentenfunktionen

bezüglich einer Basis von . Zeige, dass der Limes

genau dann existiert, wenn sämtliche Limiten

existieren.




Aufgaben zum Abgeben


Cusp.png

Aufgabe (3 Punkte)

Das Bild der durch

definierten Kurve heißt Neilsche Parabel. Zeige, dass ein Punkt genau dann zu diesem Bild gehört, wenn er die Gleichung erfüllt.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

die einem Punkt den eindeutigen Schnittpunkt der durch die beiden Punkte und gegebenen Geraden mit dem Einheitskreis

zuordnet. Zeige, dass diese Abbildung wohldefiniert ist und bestimme die funktionalen Ausdrücke, die diese Abbildung beschreiben. Zeige, dass differenzierbar ist. Ist injektiv, ist surjektiv?


Aufgabe (3 Punkte)

Für welche Punkte ist der Abstand der Bildpunkte der Kurve

zum Nullpunkt maximal, für welche minimal?


Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Kurve

a) Bestimme die Ableitung von in jedem Punkt .

b) Bestimme die Komponentenfunktionen von bezüglich der neuen Basis

von .

c) Berechne die Ableitung in der neuen Basis direkt und mit Hilfe von Lemma 40.8.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Punkt und sei . Wir betrachten die Menge

Wir nennen zwei Kurven tangential äquivalent, wenn ist.

a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.

b) Finde den einfachsten Vertreter für die Äquivalenzklassen.

c) Man gebe für jede Klasse einen weiteren Vertreter an.

d) Beschreibe die Menge der Äquivalenzklassen (also die Quotientenmenge).



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