Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/32/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 2 1 2 4 1 7 4 3 1 5 4 6 3 4 2 2 4 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die leere Menge.
  2. Die Fakultät einer natürlichen Zahl .
  3. Eine Reihe von reellen Zahlen .
  4. Der Arkuskosinus.
  5. Eine Linearkombination in einem -Vektorraum.
  6. Die transponierte Matrix zu einer -Matrix .


Lösung

  1. Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt.
  2. Unter der Fakultät von versteht man die Zahl
  3. Unter der Reihe versteht man die Folge der Partialsummen
  4. Der Arkuskosinus

    ist die Umkehrfunktion der reellen Kosinusfunktion.

  5. Es sei eine Familie von Vektoren in . Dann heißt der Vektor

    eine Linearkombination dieser Vektoren

  6. Man nennt die Matrix

    die transponierte Matrix zu .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Quadratwurzel von .
  2. Die Ableitung des natürlichen Logarithmus.
  3. Der allgemeine Entwicklungssatz für die Determinante.


Lösung

  1. Es gibt keine rationale Zahl, deren Quadrat gleich ist. D.h. die reelle Zahl ist irrational.
  2. Die Ableitung des natürlichen Logarithmus

    ist

  3. Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Zu sei diejenige Matrix, die entsteht, wenn man in die -te Zeile und die -te Spalte weglässt. Dann ist (bei für jedes feste bzw. )


Aufgabe (2 Punkte)

Bestätige die folgende Identität.


Lösung

Es ist

und

Somit ist

Andererseits ist auch


Aufgabe (1 Punkt)

Was fällt an dem folgenden Satz auf (aus der Sendung Börse vor acht, 2020): „Die deutsche Bahn will bis 2030 ihren Personenverkehr verdoppeln. Ihren Güterverkehr will sie im gleichen Zeitraum sogar um steigern“.


Lösung Bahn/Güterverkehr/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Eine leere Flasche stand über Nacht draußen und es hat dann angefangen zu regnen. Am Morgen steht in der Flasche Wasser in einer Höhe von cm. Die Flaschenöffnung hat einen (inneren) Durchmesser von cm und die Flasche hat einen Durchmesser von cm. Wie viel Regen fiel in der Nacht (gemessen in Zentimetern)?


Lösung

Der Wasserinhalt in der Flasche ist

Diese Menge muss durch die Flaschenöffnung eingegangen sein, so dass sich die Bedingung

ergibt, wobei die Regenmengenhöhe ist. Daher ist


Aufgabe (4 Punkte)

Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode), das zu einer vorgegebenen Zahl entscheidet, ob eine Primzahl ist oder nicht.

    • Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die natürliche Zahlen enthalten können.
    • Er kann einen Speicher leeren.
    • Er kann einen Speicherinhalt um erhöhen.
    • Er kann die Summe von zwei Speicherinhalten ausrechnen und in einen Speicher schreiben.
    • Er kann Speicherinhalte miteinander vergleichen und abhängig davon zu einem bestimmten Befehl wechseln.
    • Er kann Speicherinhalte ausdrucken und vorgegebene Texte ausdrucken.
    • Es gibt einen Haltebefehl.

Die Anfangskonfiguration sei

mit . Das Programm soll „ ist eine Primzahl“ oder „ ist keine Primzahl“ ausdrucken und anschließend anhalten.


Lösung

  1. Erhöhe den zweiten Speicher um 1.
  2. Erhöhe den zweiten Speicher um 1.
  3. Vergleiche den zweiten Speicherinhalt mit dem ersten Speicherinhalt. Wenn der zweite Speicherinhalt gleich dem ersten Speicherinhalt ist, so gehe zu Befehl 7 (sonst weiter).
  4. Leere den dritten Speicher.
  5. Addiere den zweiten Speicherinhalt mit dem dritten Speicherinhalt und schreibe das Ergebnis in den dritten Speicher.
  6. Vergleiche den dritten Speicherinhalt mit dem ersten Speicherinhalt. Wenn der dritte Speicherinhalt kleiner als der erste Speicherinhalt ist, so gehe zu Befehl 5. Wenn der dritte Speicherinhalt gleich dem ersten Speicherinhalt ist, so gehe zu Befehl 9. Wenn der dritte Speicherinhalt größer ist, so gehe zu Befehl 2.
  7. Drucke den ersten Speicherinhalt und „ist eine Primzahl“ aus.
  8. Halte an.
  9. Drucke den ersten Speicherinhalt und „ist keine Primzahl“ aus.
  10. Halte an.

Erläuterung: Im zweiten Speicher stehen die potentiellen Teiler von . Im dritten Speicher werden die sukzessiven Vielfachen dieser Teiler berechnet. Wenn Übereinstimmung mit einem echten Vielfachen besteht, so ist keine Primzahl. Andernfalls wird der nächste Teiler durchprobiert. Wenn der potentielle Teiler mit übereinstimmt, so liegt eine Primzahl vor, da ja dann nie zuvor eine Teilbarkeitsbeziehung festgestellt wurde.


Aufgabe (1 Punkt)

Zeige, dass zwischen den Binomialkoeffizienten und der Zusammenhang

besteht.


Lösung

Es ist


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring über einem Körper .


Lösung

Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über den Grad von . Wenn der Grad von größer als der Grad von ist, so ist und eine Lösung, so dass wir dies nicht weiter betrachten müssen. Bei ist nach der Vorbemerkung auch , also ist ein konstantes Polynom, und damit ist (da und ein Körper ist) und eine Lösung. Sei nun und die Aussage für kleineren Grad schon bewiesen. Wir schreiben und mit . Dann gilt mit die Beziehung

Dieses Polynom hat einen Grad kleiner als und darauf können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden, d.h. es gibt und mit

Daraus ergibt sich insgesamt

so dass also und eine Lösung ist. Zur Eindeutigkeit sei mit den angegebenen Bedingungen. Dann ist . Da die Differenz einen Grad kleiner als besitzt, ist aufgrund der Gradeigenschaften diese Gleichung nur bei und lösbar.


Aufgabe (4 Punkte)

Untersuche die Folge

auf Konvergenz.


Lösung

Wir behaupten, dass die Folge gegen konvergiert. Zunächst haben wir die Abschätzung

Sei nun fixiert. Wir zeigen, dass die Folgenglieder für hinreichend groß oberhalb von liegen. Es ist

und somit gilt für hinreichend groß die Abschätzung

Für solche ist dann auch

Also hat man für diese Folgenglieder die Abschätzung

Daraus folgt die Behauptung.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die harmonische Reihe divergiert.


Lösung

Für die Zahlen ist

Daher ist

Damit ist die Folge der Partialsummen unbeschränkt und kann nach Lemma 7.9 (Mathematik_für_Anwender_(Osnabrück_2019-2020)) nicht konvergent sein.


Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere den Graphen der Kosinusfunktion.


Lösung Reelle Kosinusfunktion/Skizziere/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über die lineare Approximierbarkeit.


Lösung

Wenn differenzierbar ist, so setzen wir . Für die Funktion muss notwendigerweise

gelten, um die Bedingungen zu erfüllen. Aufgrund der Differenzierbarkeit existiert der Limes

und hat den Wert . Dies bedeutet, dass in stetig ist.
Wenn umgekehrt und mit den angegebenen Eigenschaften existieren, so gilt für die Beziehung

Da stetig in ist, muss auch der Limes links für existieren.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Zeige durch Induktion, dass die -te Ableitung () von gleich

ist.


Lösung

Die Ableitung von ist nach der Produktregel

Dadurch ist die Gleichung für richtig und der Induktionsanfang ist gesichert. Sei die Gleichung nun für die -te Ableitung schon bewiesen. Wegen gilt somit

Daher ist die Gleichung auch für die -te Ableitung richtig.


Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Wir betrachten den Graphen der Sinusfunktion auf und den um vertikal verschobenen Graphen der Quadratwurzelfunktion, also den Graphen von

  1. Zeige, dass die beiden Graphen nur endlich viele Schnittpunkte besitzen.
  2. Zeige, dass die Anzahl der Schnittpunkte der beiden Graphen (bei geeignetem ) beliebig groß werden kann.


Lösung Sinusfunktion/Quadratwurzelfunktion/Verschoben/Schnittpunkte/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Finde die Punkte (bzw. den Punkt) derart, dass die Steigung der Sinusfunktion in gleich der Gesamtsteigung von zwischen und ist.


Lösung

Die Gesamtsteigung ist

Die Ableitung des Sinus ist der Kosinus, es geht also um die Lösungen der Gleichung

mit . Auf diesem Intervall ist die Kosinusfunktion streng fallend und somit gibt es wegen genau eine Lösung, nämlich bei


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Lösung

Wir verwenden partielle Integration und leiten den linken Faktor ab, das ergibt und nehmen für den rechten Faktor die Stammfunktion . Das ergibt

Das rechte Integral ist

Eine Stammfunktion ist somit

was man durch ableiten bestätigt (deshalb mussten wir uns oben keine Gedanken über die Integrationsgrenzen machen).


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne das Matrizenprodukt


Lösung

Es ist


Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen Körper , eine kommutative Gruppe und eine Abbildung

derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer

erfüllt.


Lösung

Es sei ein beliebiger Körper. Wir betrachten die „Skalarmultiplikation“

die jedes Paar auf abbildet. Dann ist

und somit ist das letzte Vektorraumaxiom nicht erfüllt. Alle anderen Vektorraumaxiome sind hingegen erfüllt, da jeweils auf beiden Seiten stets steht.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Determinantenmultiplikationssatz für den Spezialfall, wo die linke der beteiligten Matrizen eine Diagonalmatrix ist.


Lösung

Es sei

eine Diagonalmatrix und

eine beliebige quadratische Matrix. Die Produktmatrix ist

mit

es wird also einfach jede Zeile von mit dem entsprechenden Diagonalelement multipliziert. Die Diagonalmatrix ist das Produkt der Diagonalmatrizen , bei denen der -te Diagonaleintrag gleich ist und sonst jeder Diagonaleintrag gleich ist. Wir können also zum Beweis des Determinantenmultiplikationssatzes in diesem Fall annehmen, dass selbst von dieser Bauart ist. Dann entsteht aus dadurch, dass eine bestimmte Zeile mit einer Zahl multipliziert wird und die anderen Zeilen unverändert übernommen werden. Die Beziehung

ergibt sich dann einfach aus der Multilinearität der Determinante.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Matrix

über diagonalisierbar ist.


Lösung

Es ist

und

Daher sind und Eigenvektoren zu den Eigenwerten bzw. . Somit bilden sie eine Basis aus Eigenvektoren und daher ist diagonalisierbar.