Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/40/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	4	2	3	1	3	5	1	5	2	4	4	3	4	9	7	1	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine bijektive Abbildung

   $f\colon M\longrightarrow N.$

2. Die Konvergenz einer reellen Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}x$.
3. Die geometrische Reihe für ${}x\in \mathbb {R}$.
4. Der Kotangens.
5. Ein Vektorraum ${}V$ über einem Körper ${}K$.
6. Der Kern einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen zwei ${}K$-Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.

Lösung

1. Die Abbildung ${}f$ heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
2. Die Konvergenz gegen ${}x$ bedeutet, dass es zu jedem reellen ${}\epsilon >0$ ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung

   ${}\vert {x-x_{n}}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.

3. Die Reihe

   $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}$

   heißt die geometrische Reihe in ${}x$.

4. Die Funktion

   $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \pi \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cot x={\frac {\cos x}{\sin x}},$

   heißt Kotangens.

5. Unter einem Vektorraum ${}V$ über ${}K$ versteht man eine Menge ${}V$ mit einem ausgezeichneten Element ${}0\in V$ und mit zwei Abbildungen

   $+\colon V\times V\longrightarrow V,\,(u,v)\longmapsto u+v,$

   und

   $K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv=s\cdot v,$

   derart, dass die folgenden Axiome erfüllt sind (dabei seien ${}r,s\in K$ und ${}u,v,w\in V$ beliebig):

   1. ${}u+v=v+u$,
   2. ${}(u+v)+w=u+(v+w)$,
   3. ${}v+0=v$,
   4. Zu jedem ${}v$ gibt es ein ${}z$ mit ${}v+z=0$,
   5. ${}r(su)=(rs)u$,
   6. ${}r(u+v)=ru+rv$,
   7. ${}(r+s)u=ru+su$,
   8. ${}1\cdot u=u$.
6. Man nennt

   ${}\operatorname {kern} \varphi :={\left\{v\in V\mid \varphi (v)=0\right\}}\,$

   den Kern von ${}\varphi$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Cauchykriterium für Reihen.
2. Der Satz von Rolle.
3. Der Satz über Basiswechsel bei einem Endomorphismus.

Lösung

1. Es sei

   $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

   eine Reihe von reellen Zahlen. Dann ist die Reihe genau dann konvergent, wenn das folgende Cauchy-Kriterium erfüllt ist: Zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}n_{0}$ derart, dass für alle

   ${}n\geq m\geq n_{0}\,$

   die Abschätzung

   ${}\vert {\sum _{k=m}^{n}a_{k}}\vert \leq \epsilon \,$

   gilt.
2. Sei ${}a<b$ und sei

   $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine stetige, auf ${}]a,b[$ differenzierbare Funktion mit ${}f(a)=f(b)$. Dann gibt es ein ${}c\in {]a,b[}$ mit

   ${}f'(c)=0\,.$

3. Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   eine lineare Abbildung. Es seien ${}{\mathfrak {u}}$ und ${}{\mathfrak {v}}$ Basen von ${}V$. Dann besteht zwischen den Matrizen, die die lineare Abbildung bezüglich ${}{\mathfrak {u}}$ bzw. ${}{\mathfrak {v}}$ (beidseitig) beschreiben, die Beziehung

   $M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {u}}(\varphi )=M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}\circ M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\circ (M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}})^{-1}.$

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Es sei ${}T_{n}$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, eine Familie von Mengen. Wir setzen

${}S_{n}=T_{n}\setminus {\left(\bigcup _{i=1}^{n-1}T_{i}\right)}\,.$

a) Zeige

${}\bigcup _{i=1}^{n}T_{i}=\bigcup _{i=1}^{n}S_{i}\,.$

b) Zeige, dass die Vereinigung ${}\bigcup _{i=1}^{n}S_{i}$ disjunkt ist, dass also

${}S_{n}\cap S_{k}=\emptyset \,$

für ${}n\neq k$ ist.

Lösung

a) Wegen ${}S_{n}\subseteq T_{n}$ gilt ${}\supseteq$. Zum Nachweis der umgekehrten Inklusion sei ${}x\in \bigcup _{i=1}^{n}T_{i}$. Dann gibt es ein ${}i$ zwischen ${}1$ und ${}n$ mit ${}x\in T_{i}$ und damit auch ein minimales ${}k$ mit dieser Eigenschaft. Es ist also ${}x\in T_{k}$, aber ${}x\not \in T_{i}$ für ${}i<k$. Damit ist ${}x\in T_{k}\setminus \bigcup _{i=1}^{k-1}T_{i}=S_{k}$ und insbesondere ${}x\in \bigcup _{i=1}^{n}S_{i}$.

b) Sei ${}k\neq n$ und sagen wir ${}k<n$. Es sei ${}x\in S_{n}=T_{n}\setminus \bigcup _{i=1}^{n-1}T_{i}$. Dann ist ${}x\in T_{n}$ und ${}x\not \in T_{i}$ für ${}i<n$. Also ist insbesondere ${}x\not \in T_{k}$ und damit auch ${}x\not \in S_{k}$. Also sind ${}S_{n}$ und ${}S_{k}$ disjunkt.

Aufgabe (2 Punkte)

Erläutere das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.

Lösung

Mit dem Beweisprinzip der vollständigen Induktion werden Aussagen ${}A(n)$ bewiesen, die von den natürlichen Zahlen ${}n\in \mathbb {N}$ abhängen. Man beweist zuerst die Aussage ${}A(0)$. Ferner zeigt man, dass man für alle ${}n$ aus der Gültigkeit von ${}A(n)$ auf die Gültigkeit von ${}A(n+1)$ schließen kann. Daraus folgt die Gültigkeit von ${}A(n)$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl ${}n\geq 2$ eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.

Lösung

Wir beweisen die Existenz durch Induktion über ${}n$.  Für ${}n=2$ liegt eine Primzahl vor. Bei ${}n\geq 3$ ist entweder ${}n$ eine Primzahl, und diese bildet die Primfaktorzerlegung, oder aber ${}n$ ist keine Primzahl. In diesem Fall gibt es eine nichttriviale Zerlegung ${}n=ab$ mit kleineren Zahlen ${}a,b<n$. Für diese Zahlen gibt es nach Induktionsvoraussetzung jeweils eine Zerlegung in Primfaktoren, und diese setzen sich zu einer Primfaktorzerlegung für ${}n$ zusammen. 

Aufgabe (1 Punkt)

Eine Termitenkönigin legt ${}36000$ Eier pro Tag und lebt zwanzig Jahre lang (am ${}29$. Februar legt sie keine Eier). Wie viele Eier legt sie in ihrem Leben?

Lösung

Es sind

${}36000\cdot 365\cdot 20=720000\cdot 365=262800000\,$

Eier.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

${}x^{2}+px+q=0\,$

eine quadratische Gleichung über einem Körper ${}K$, und es sei ${}r\neq 0$ eine Lösung davon. Zeige, dass auch ${}{\frac {q}{r}}$ eine Lösung der Gleichung ist.

Lösung

Wir behaupten, dass das Polynom ${}X^{2}+pX+q$ die Faktorzerlegung

${}X^{2}+pX+q=(X-r){\left(X-{\frac {q}{r}}\right)}\,$

besitzt. Wenn man die rechte Seite ausmultipliziert, so stimmt der konstante Koeffizient und der Leitkoeffizient mit den Koeffizienten der linken Seite überein. Der lineare Koeffizient ist

${}-r-{\frac {q}{r}}={\frac {-r^{2}-q}{r}}={\frac {-{\left(-pr-q\right)}-q}{r}}={\frac {pr+q-q}{r}}=p\,,$

sodass hier auch Überstimmung vorliegt. Wenn man nun rechts ${}{\frac {q}{r}}$ einsetzt, kommt offenbar ${}0$ raus, es liegt also eine Lösung vor.

Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

1. Bestimme die Glieder ${}x_{1},x_{2}$ der Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {3}}$ mit dem Startglied

   ${}x_{0}=1\,.$

2. Finde ganze Zahlen

   ${}a,b\neq 0\,$

   mit

   ${}\vert {a+b{\sqrt {3}}}\vert \leq {\frac {1}{10}}\,.$

Lösung

1. Es ist

   ${}x_{1}={\frac {1+3}{2}}=2\,$

   und

   ${}x_{2}={\frac {2+{\frac {3}{2}}}{2}}={\frac {7}{4}}\,.$

2. Von der Approximation

   ${}{\sqrt {3}}\sim {\frac {7}{4}}\,$

   her betrachten wir ${}7-4{\sqrt {3}}$. Wegen

   ${}49=7^{2}>(4{\sqrt {3}})^{2}=48\,$

   ist diese Zahl positiv. Wir behaupten

   ${}7-4{\sqrt {3}}\leq 0,1\,.$

   Dies ist äquivalent zu

   ${}6,9\leq 4{\sqrt {3}}\,.$

   Wegen

   ${}(6,9)^{2}=47,61\leq 48\,$

   ist dies richtig.

Aufgabe (1 Punkt)

Jemand sagt zur Folge ${}x_{n}:={\frac {n}{2n}}$. „Der Zähler und der Nenner gehen hier beide gegen unendlich. Doch der Nenner geht deutlich schneller gegen unendlich, deshalb konvergiert die Folge gegen ${}0$“. Beurteile diese Argumentation.

Lösung Rationale Folge/Nenner schneller/Argument/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 Punkte)

Frau Dr. Eisenbeis möchte für ihre Neffen Richy und Franky eine Fahrrad-Sprungrampe basteln. Die Steigung soll entlang eines Kreissegmentes der Länge (alle Angaben in Meter) ${}\ell =1,2$ verlaufen und eine Sprunghöhe von ${}h=0,2$ erreichen (siehe Bild). Welche (implizite) Bedingung muss der Winkel ${}\alpha$ erfüllen (die Bedingung muss so sein, dass sie mit einer Intervallhalbierung gelöst werden könnte, diese muss aber nicht durchgeführt werden)?

Lösung

Es sei ${}r$ der Radius des Kreises, ${}\alpha$ der Winkel im Bogenmaß und ${}x$ wie in der Skizze. Dann gelten die Beziehungen

${}1,2=r\alpha \,,$

${}x+0,2=r\,,$

und

${}x=r\cos \alpha \,.$

Daraus ergibt sich (${}\alpha =0$ ist sicher keine Lösung)

${}r={\frac {1,2}{\alpha }}\,,$

${}x=r-0,2={\frac {1,2}{\alpha }}-0,2\,$

und somit

${}{\frac {1,2}{\alpha }}-0,2={\frac {1,2}{\alpha }}\cos \alpha \,.$

Multiplikation mit ${}{\frac {\alpha }{1,2}}$ ergibt

${}1-{\frac {1}{6}}\alpha =\cos \alpha \,$

bzw.

${}F(\alpha )=\cos \alpha +{\frac {\alpha }{6}}-1=0\,.$

Diese Funktion ${}F(\alpha )$ hat für ${}\alpha =0$ eine Nullstelle, die für das Problem aber irrelevant ist. An der Stelle ${}0$ ist die Funktion streng wachsend und an der Stelle ${}\pi /2$ besitzt die Funktion einen negativen Wert, nach dem Zwischenwertsatz muss es also im Intervall ${}]0,\pi /2[$ eine Nullstelle geben, die man mit einer Intervallhalbierung berechnen kann.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion

${}f(x)={\frac {x^{3}-9x^{2}-x+5}{x^{2}-6x+5}}\,.$

Lösung

Nach der Quotientenregel ist

${}{\begin{aligned}f'(x)&={\frac {{\left(x^{3}-9x^{2}-x+5\right)}'{\left(x^{2}-6x+5\right)}-{\left(x^{3}-9x^{2}-x+5\right)}{\left(x^{2}-6x+5\right)}'}{{\left(x^{2}-6x+5\right)}^{2}}}\\&={\frac {{\left(3x^{2}-18x-1\right)}{\left(x^{2}-6x+5\right)}-{\left(x^{3}-9x^{2}-x+5\right)}{\left(2x-6\right)}}{x^{4}-12x^{3}+46x^{2}-60x+25}}\\&={\frac {3x^{4}-36x^{3}-38x^{2}-96x-5-{\left(2x^{4}-24x^{3}+52x^{2}+16x-30\right)}}{x^{4}-12x^{3}+90x^{2}-112x+25}}\\&={\frac {x^{4}-12x^{3}-38x^{2}-96x+25}{x^{4}-12x^{3}+46x^{2}-60x+25}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}a\in \mathbb {R}$ und seien ${}f,g,h\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ Funktionen. Dabei seien ${}g$ und ${}h$ differenzierbar im Punkt ${}a$ und es gelte ${}g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$. Ferner sei

${}g'(a)=h'(a)\,.$

Zeige, dass auch ${}f$ in ${}a$ differenzierbar ist, und dass

${}f'(a)=g'(a)\,$

gilt.

Lösung

Zunächst ist ${}f(a)=g(a)=h(a)=:b$. Für die Differenzenquotienten zu einem Punkt ${}x\neq a$ gilt

${}{\frac {g(x)-b}{x-a}}\leq {\frac {f(x)-b}{x-a}}\leq {\frac {h(x)-b}{x-a}}\,$

für ${}x>a$ und

${}{\frac {g(x)-b}{x-a}}\geq {\frac {f(x)-b}{x-a}}\geq {\frac {h(x)-b}{x-a}}\,$

für ${}x<a$. Für eine Folge ${}x_{n}$, die gegen ${}a$ konvergiert, konvergieren wegen der Differenzierbarkeit von ${}g$ bzw. ${}h$ die äußeren Differentialquotienten ${}{\frac {g(x_{n})-b}{x_{n}-a}}$ bzw. ${}{\frac {h(x_{n})-b}{x_{n}-a}}$ gegen ${}g'(a)=h'(a)$. Aufgrund de Quetschkriteriums, angewendet auf die Teilfolge mit ${}x_{n}>a$ bzw. die Teilfolge mit ${}x_{n}<a$ zeigt, dass auch die Folge der mittleren Differenzenquotienten ${}{\frac {f(x_{n})-b}{x_{n}-a}}$ gegen ${}g'(x)=h'(x)$ konvergiert.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Regel von l'Hospital.

Lösung

Zur Ermittlung des Grenzwertes benutzen wir das Folgenkriterium. Da ${}g'$ im Intervall keine Nullstelle besitzt und ${}g(a)=0$ ist, besitzt auch ${}g$ nach Satz 15.4 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) außer ${}a$ keine Nullstelle. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}I\setminus \{a\}$, die gegen ${}a$ konvergiert. Zu jedem ${}x_{n}$ gibt es nach Satz 15.10 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)), angewandt auf ${}I_{n}:=[x_{n},a]$ bzw. ${}[a,x_{n}]$, ein ${}c_{n}$ (im Innern von ${}I_{n}$) mit

${}{\frac {f(x_{n})-f(a)}{g(x_{n})-g(a)}}={\frac {f'(c_{n})}{g'(c_{n})}}\,.$

Die Folge ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert ebenfalls gegen ${}a$, sodass nach Voraussetzung die rechte Seite gegen ${}{\frac {f'(a)}{g'(a)}}=w$ konvergiert. Daher konvergiert auch die linke Seite gegen ${}w$, und wegen ${}f(a)=g(a)=0$ bedeutet das, dass ${}{\frac {f(x_{n})}{g(x_{n})}}$ gegen ${}w$ konvergiert.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1}{\sinh t}}$

für ${}t>0$.

Lösung

Es ist

${}{\frac {1}{\sinh t}}={\frac {2}{e^{t}-e^{-t}}}\,.$

Mit der Substitution ${}t=\ln s$ müssen wir eine Stammfunktion für

${}{\frac {2}{s-s^{-1}}}\cdot {\frac {1}{s}}={\frac {2}{s^{2}-1}}={\frac {2}{(s-1)(s+1)}}={\frac {1}{s-1}}-{\frac {1}{s+1}}\,$

finden. Eine solche ist

$\ln(s-1)-\ln(s+1).$

Daher ist

$\ln(e^{t}-1)-\ln(e^{t}+1)$

eine Stammfunktion von ${}{\frac {1}{\sinh t}}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Lösung

Es sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ein Erzeugendensystem von ${}V$ mit einer endlichen Indexmenge ${}I$. Wir wollen mit der Charakterisierung aus Satz 23.12 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))  (2) argumentieren. Falls die Familie schon minimal ist, so liegt eine Basis vor. Andernfalls gibt es ein ${}k\in I$ derart, dass die um ${}v_{k}$ reduzierte Familie, also ${}v_{i}$, ${}i\in I\setminus \{k\}$, ebenfalls ein Erzeugendensystem ist. In diesem Fall kann man mit der kleineren Indexmenge weiterargumentieren.
Mit diesem Verfahren gelangt man letztlich zu einer Teilmenge ${}J\subseteq I$ derart, dass ${}v_{i}$, ${}i\in J$, ein minimales Erzeugendensystem, also eine Basis ist.

Aufgabe (9 (1+1+6+1) Punkte)

Aus den Rohstoffen ${}R_{1},R_{2}$ und ${}R_{3}$ werden verschiedene Produkte ${}P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ hergestellt. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel von den Rohstoffen jeweils nötig ist, um die verschiedenen Produkte herzustellen (jeweils in geeigneten Einheiten).

	${}R_{1}$	${}R_{2}$	${}R_{3}$
${}P_{1}$	11	5	3
${}P_{2}$	8	4	6
${}P_{3}$	7	30	1
${}P_{4}$	12	0	15

a) Erstelle eine Matrix, die aus einem Vierertupel von Produkten die benötigten Rohstoffe berechnet.

b) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Produkt in einem Monat produziert werden soll.

	${}P_{1}$	${}P_{2}$	${}P_{3}$	${}P_{4}$
	${}8$	${}5$	${}7$	${}4$

Welche Rohstoffmengen werden dafür benötigt?

c) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Rohstoff an einem Tag angeliefert wird.

	${}R_{1}$	${}R_{2}$	${}R_{3}$
	${}8$	${}15$	${}7$

Zeige, dass man daraus kein Produkttupel ohne Abfall produzieren kann.

d) Wie viel vom Produkt ${}P_{2}$ kann man mit den unter c) gelieferten Rohstoffen produzieren, wie viel vom Produkt ${}P_{3}$?

Lösung

a) Die Matrix ist

${\begin{pmatrix}11&8&7&12\\5&4&30&0\\3&6&1&15\end{pmatrix}},$

da in der ${}i$-ten Spalte die für das ${}i$-te Produkt benötigte Rohstoffmenge stehen muss.

b) Die benötigte Rohstoffmenge ist

${}{\begin{pmatrix}11&8&7&12\\5&4&30&0\\3&6&1&15\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}8\\5\\7\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}88+40+49+48\\40+20+210\\24+30+7+60\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}225\\270\\121\end{pmatrix}}\,.$

c) Es geht um das lineare Gleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}11&8&7&12\\5&4&30&0\\3&6&1&15\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}11x+8y+7z+12w\\5x+4y+30z\\3x+6y+z+15w\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8\\15\\7\end{pmatrix}}\,,$

das wir zunächst ohne Berücksichtigung der Tatsache, dass nur nichtnegative Tupel sinnvoll interpretiert werden können. Wir ziehen vom ${}4$-fachen der dritten Zeile das ${}5$-fache der ersten Zeile ab und erhalten

${}{\begin{pmatrix}11x+8y+7z+12w\\5x+4y+30z\\-43x-16y-31z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8\\15\\-12\end{pmatrix}}\,.$

Jetzt addieren wir zur dritten Zeile das ${}4$-fache der zweiten Zeile hinzu und erhalten

${}{\begin{pmatrix}11x+8y+7z+12w\\5x+4y+30z\\-23x+89z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8\\15\\48\end{pmatrix}}\,.$

Mit

${}z=0\,$

erhalten wir die eindeutige Lösung

${}x=-{\frac {48}{23}}\,,$

${}y={\frac {15}{4}}+{\frac {5}{4}}\cdot {\frac {48}{23}}={\frac {585}{92}}\,$

und

${}w={\frac {2}{3}}-{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {585}{92}}+{\frac {11}{12}}\cdot {\frac {48}{23}}={\frac {184-1170+528}{276}}=-{\frac {458}{276}}=-{\frac {229}{138}}\,.$

Mit

${}x=0\,$

erhalten wir die eindeutige Lösung

${}z={\frac {48}{89}}\,,$

${}y={\frac {15}{4}}-{\frac {30}{4}}\cdot {\frac {48}{89}}=-{\frac {105}{356}}\,$

und

${}w={\frac {2}{3}}+{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {105}{356}}-{\frac {7}{12}}\cdot {\frac {48}{89}}={\frac {712+210-336}{1068}}={\frac {586}{1068}}={\frac {291}{534}}\,.$

Alle Lösungen haben somit die Form

${\begin{pmatrix}0\\-{\frac {105}{356}}\\{\frac {48}{89}}\\{\frac {291}{534}}\end{pmatrix}}+s{\left({\begin{pmatrix}0\\-{\frac {105}{356}}\\{\frac {48}{89}}\\{\frac {291}{534}}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}-{\frac {48}{23}}\\{\frac {585}{92}}\\0\\-{\frac {229}{138}}\end{pmatrix}}\right)}$

mit ${}s\in \mathbb {R}$. Wegen der ersten Zeile muss ${}s\geq 0$ sein. Dann ergibt die zweite Zeile aber einen negativen Wert und daher gibt es keine Lösung.

d) Vom Produkt ${}P_{2}$ kann man maximal eine Einheit produzieren, vom Produkt ${}P_{3}$ maximal eine halbe Einheit.

Aufgabe (7 (5+2) Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}m\times n$- Matrix über dem Körper ${}K$ mit dem Rang ${}r$.

1. Zeige, dass es eine ${}r\times n$-Matrix ${}A$ und eine ${}m\times r$-Matrix ${}B$, beide mit dem Rang ${}r$, mit ${}M=B\circ A$ gibt.
2. Sei ${}s<r$. Zeige, dass es nicht möglich ist, ${}M=B\circ A$ mit einer ${}s\times n$-Matrix ${}A$ und einer ${}m\times s$-Matrix ${}B$ zu schreiben.

Lösung

1. Wir fassen die Matrix als lineare Abbildung

   $K^{n}\longrightarrow K^{m}.$

   Nach [[Lineare Abbildung/Matrix bzgl. Basis/Rang/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Lineare Abbildung/Matrix bzgl. Basis/Rang/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]] ist der Rang dieser Abbildung gleich ${}r$, d.h. das Bild ${}V\subseteq K^{m}$ besitzt die Dimension ${}r$. Es gibt also eine Faktorisierung

   $K^{n}\longrightarrow V\longrightarrow K^{m},$

   wobei die erste Abbildung die durch ${}M$ gegebene Abbildung mit dem Bild ${}V$ ist und die zweite Abbildung die Inklusion ${}V\subseteq K^{m}$. Mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{r}$ von ${}V$ und den Standardbasen links und rechts werden diese beiden linearen Abbildungen durch eine ${}r\times n$-Matrix ${}A$ und eine ${}m\times r$-Matrix ${}B$ beschrieben. Somit gilt

   ${}M=B\circ A\,.$

   Da die durch ${}A$ beschriebene lineare Abbildung surjektiv auf ${}V$ abbildet, ist ihr Rang gleich ${}r$. Da das Bild der durch ${}B$ beschriebenen linearen Abbildung wegen der Injektivität ebenfalls die Dimension ${}r$ besitzt, ist ihr Rang auch ${}r$.

2. Wir nehmen an, dass es eine Darstellung

   ${}M=B\circ A\,$

   mit einer ${}s\times n$-Matrix ${}A$ und einer ${}m\times s$-Matrix ${}B$ gibt. Dann ergibt sich eine Faktorisierung

   $K^{n}{\stackrel {A}{\longrightarrow }}K^{s}{\stackrel {B}{\longrightarrow }}K^{m}.$

   Das Bild der Gesamtabbildung ist im Bild der hinteren Abbildung enthalten, und ist somit höchstens ${}s$-dimensional. Da ${}r$ die Dimension des Bildes der Gesamtabbildung ist, ergibt sich aus ${}s<r$ ein Widerspruch.

Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Eigenvektoren der Funktion ${}{\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$, ${}x\longmapsto {\mathrm {i} }x$.

Lösung

Jede komplexe Zahl ${}x\neq 0$ ist ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}{\mathrm {i} }$.