Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/40/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 4 2 3 1 3 5 1 5 2 4 4 3 4 9 7 1 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine bijektive Abbildung
  2. Die Konvergenz einer reellen Folge gegen .
  3. Die geometrische Reihe für .
  4. Der Kotangens.
  5. Ein Vektorraum über einem Körper .
  6. Der Kern einer linearen Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .


Lösung

  1. Die Abbildung heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
  2. Die Konvergenz gegen bedeutet, dass es zu jedem reellen ein derart gibt, dass für alle die Abschätzung

    gilt.

  3. Die Reihe
    heißt die geometrische Reihe in .
  4. Die Funktion

    heißt Kotangens.

  5. Unter einem Vektorraum über versteht man eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und mit zwei Abbildungen

    und

    derart, dass die folgenden Axiome erfüllt sind (dabei seien und beliebig):

    1. ,
    2. ,
    3. ,
    4. Zu jedem gibt es ein mit ,
    5. ,
    6. ,
    7. ,
    8. .
  6. Man nennt

    den Kern von .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Cauchykriterium für Reihen.
  2. Der Satz von Rolle.
  3. Der Satz über Basiswechsel bei einem Endomorphismus.


Lösung

  1. Es sei

    eine Reihe von reellen Zahlen. Dann ist die Reihe genau dann konvergent, wenn das folgende Cauchy-Kriterium erfüllt ist: Zu jedem gibt es ein derart, dass für alle

    die Abschätzung

    gilt.
  2. Sei und sei

    eine stetige, auf differenzierbare Funktion mit . Dann gibt es ein mit

  3. Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

    eine lineare Abbildung. Es seien und Basen von . Dann besteht zwischen den Matrizen, die die lineare Abbildung bezüglich bzw. (beidseitig) beschreiben, die Beziehung


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Es sei , , eine Familie von Mengen. Wir setzen

a) Zeige

b) Zeige, dass die Vereinigung disjunkt ist, dass also

für ist.


Lösung

a) Wegen gilt . Zum Nachweis der umgekehrten Inklusion sei . Dann gibt es ein zwischen und mit und damit auch ein minimales mit dieser Eigenschaft. Es ist also , aber für . Damit ist und insbesondere .

b) Sei und sagen wir . Sei . Dann ist und für . Also ist insbesondere und damit auch . Also sind und disjunkt.


Aufgabe (2 Punkte)

Erläutere das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.


Lösung

Mit dem Beweisprinzip der vollständigen Induktion werden Aussagen bewiesen, die von den natürlichen Zahlen abhängen. Man beweist zuerst die Aussage . Ferner zeigt man, dass man für alle aus der Gültigkeit von auf die Gültigkeit von schließen kann. Daraus folgt die Gültigkeit von für alle .


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.


Lösung

Wir beweisen die Existenz durch Induktion über .  Für liegt eine Primzahl vor. Bei ist entweder eine Primzahl, und diese bildet die Primfaktorzerlegung, oder aber ist keine Primzahl. In diesem Fall gibt es eine nichttriviale Zerlegung mit kleineren Zahlen . Für diese Zahlen gibt es nach Induktionsvoraussetzung jeweils eine Zerlegung in Primfaktoren, und diese setzen sich zu einer Primfaktorzerlegung für zusammen. 


Aufgabe (1 Punkt)

Eine Termitenkönigin legt Eier pro Tag und lebt zwanzig Jahre lang (am . Februar legt sie keine Eier). Wie viele Eier legt sie in ihrem Leben?


Lösung

Es sind

Eier.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

eine quadratische Gleichung über einem Körper , und es sei eine Lösung davon. Zeige, dass auch eine Lösung der Gleichung ist.


Lösung

Wir behaupten, dass das Polynom die Faktorzerlegung

besitzt. Wenn man die rechte Seite ausmultipliziert, so stimmt der konstante Koeffizient und der Leitkoeffizient mit den Koeffizienten der linken Seite überein. Der lineare Koeffizient ist

so dass hier auch Überstimmung vorliegt. Wenn man nun rechts einsetzt, kommt offenbar raus, es liegt also eine Lösung vor.


Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

  1. Bestimme die Glieder der Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startglied
  2. Finde ganze Zahlen

    mit


Lösung

  1. Es ist

    und

  2. Von der Approximation

    her betrachten wir . Wegen

    ist diese Zahl positiv. Wir behaupten

    Dies ist äquivalent zu

    Wegen

    ist dies richtig.


Aufgabe (1 Punkt)

Jemand sagt zur Folge . „Der Zähler und der Nenner gehen hier beide gegen unendlich. Doch der Nenner geht deutlich schneller gegen unendlich, deshalb konvergiert die Folge gegen “. Beurteile diese Argumentation.


Lösung Rationale Folge/Nenner schneller/Argument/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Eisenbeis Sprungrampe.png

Frau Dr. Eisenbeis möchte für ihre Neffen Richy und Franky eine Fahrrad-Sprungrampe basteln. Die Steigung soll entlang eines Kreissegmentes der Länge (alle Angaben in Meter) verlaufen und eine Sprunghöhe von erreichen (siehe Bild). Welche (implizite) Bedingung muss der Winkel erfüllen (die Bedingung muss so sein, dass sie mit einer Intervallhalbierung gelöst werden könnte, diese muss aber nicht durchgeführt werden)?


Lösung

Es sei der Radius des Kreises, der Winkel im Bogenmaß und wie in der Skizze. Dann gelten die Beziehungen

und

Daraus ergibt sich ( ist sicher keine Lösung)

und somit

Multiplikation mit ergibt

bzw.

Diese Funktion hat für eine Nullstelle, die für das Problem aber irrelevant ist. An der Stelle ist die Funktion streng wachsend und an der Stelle besitzt die Funktion einen negativen Wert, nach dem Zwischenwertsatz muss es also im Intervall eine Nullstelle geben, die man mit einer Intervallhalbierung berechnen kann.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion


Lösung

Nach der Quotientenregel ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei und seien Funktionen. Dabei seien und differenzierbar im Punkt und es gelte für alle . Ferner sei

Zeige, dass auch in differenzierbar ist, und dass

gilt.


Lösung

Zunächst ist . Für die Differenzenquotienten zu einem Punkt gilt

für und

für . Für eine Folge , die gegen konvergiert, konvergieren wegen der Differenzierbarkeit von bzw. die äußeren Differentialquotienten bzw. gegen . Aufgrund de Quetschkriteriums, angewendet auf die Teilfolge mit bzw. die Teilfolge mit zeigt, dass auch die Folge der mittleren Differenzenquotienten gegen konvergiert.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Regel von l'Hospital.


Lösung

Zur Ermittlung des Grenzwertes benutzen wir das Folgenkriterium. Es sei eine Folge in , die gegen konvergiert. Zu jedem gibt es nach Satz 15.9 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)), angewandt auf bzw. , ein (im Innern von ) mit

Die Folge konvergiert ebenfalls gegen , so dass nach Voraussetzung die rechte Seite gegen konvergiert. Daher konvergiert auch die linke Seite gegen , und wegen bedeutet das, dass gegen konvergiert.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

für .


Lösung

Es ist

Mit der Substitution müssen wir eine Stammfunktion für

finden. Eine solche ist

Daher ist

eine Stammfunktion von .


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten -Vektorraum .


Lösung

Es sei , , ein Erzeugendensystem von mit einer endlichen Indexmenge . Wir wollen mit der Charakterisierung aus Satz 23.12 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))  (2) argumentieren. Falls die Familie schon minimal ist, so liegt eine Basis vor. Andernfalls gibt es ein derart, dass die um reduzierte Familie, also , , ebenfalls ein Erzeugendensystem ist. In diesem Fall kann man mit der kleineren Indexmenge weiterargumentieren.
Mit diesem Verfahren gelangt man letztlich zu einer Teilmenge derart, dass , , ein minimales Erzeugendensystem, also eine Basis ist.


Aufgabe (9 (1+1+6+1) Punkte)

Aus den Rohstoffen und werden verschiedene Produkte hergestellt. Die folgende Tabelle gibt an, wie viel von den Rohstoffen jeweils nötig ist, um die verschiedenen Produkte herzustellen (jeweils in geeigneten Einheiten).

11 5 3
8 4 6
7 30 1
12 0 15

a) Erstelle eine Matrix, die aus einem Vierertupel von Produkten die benötigten Rohstoffe berechnet.

b) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Produkt in einem Monat produziert werden soll.

Welche Rohstoffmengen werden dafür benötigt?

c) Die folgende Tabelle zeigt, wie viel von welchem Rohstoff an einem Tag angeliefert wird.

Zeige, dass man daraus kein Produkttupel ohne Abfall produzieren kann.

d) Wie viel vom Produkt kann man mit den unter c) gelieferten Rohstoffen produzieren, wie viel vom Produkt ?


Lösung

a) Die Matrix ist

da in der -ten Spalte die für das -te Produkt benötigte Rohstoffmenge stehen muss.

b) Die benötigte Rohstoffmenge ist

c) Es geht um das lineare Gleichungssystem

das wir zunächst ohne Berücksichtigung der Tatsache, dass nur nichtnegative Tupel sinnvoll interpretiert werden können. Wir ziehen vom -fachen der dritten Zeile das -fache der ersten Zeile ab und erhalten

Jetzt addieren wir zur dritten Zeile das -fache der zweiten Zeile hinzu und erhalten

Mit

erhalten wir die eindeutige Lösung

und

Mit

erhalten wir die eindeutige Lösung

und

Alle Lösungen haben somit die Form

mit . Wegen der ersten Zeile muss sein. Dann ergibt die zweite Zeile aber einen negativen Wert und daher gibt es keine Lösung.

d) Vom Produkt kann man maximal eine Einheit produzieren, vom Produkt maximal eine halbe Einheit.


Aufgabe (7 (5+2) Punkte)

Es sei eine -Matrix über dem Körper mit dem Rang .

  1. Zeige, dass es eine -Matrix und eine -Matrix , beide mit dem Rang , mit gibt.
  2. Sei . Zeige, dass es nicht möglich ist, mit einer -Matrix und einer -Matrix zu schreiben.


Lösung

  1. Wir fassen die Matrix als lineare Abbildung

    Nach Lemma 26.2 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) ist der Rang dieser Abbildung gleich , d.h. das Bild besitzt die Dimension . Es gibt also eine Faktorisierung

    wobei die erste Abbildung die durch gegebene Abbildung mit dem Bild ist und die zweite Abbildung die Inklusion . Mit einer Basis von und den Standardbasen links und rechts werden diese beiden linearen Abbildungen durch eine -Matrix und eine -Matrix beschrieben. Somit gilt

    Da die durch beschriebene lineare Abbildung surjektiv auf abbildet, ist ihr Rang gleich . Da das Bild der durch beschriebenen linearen Abbildung wegen der Injektivität ebenfalls die Dimension besitzt, ist ihr Rang auch .

  2. Wir nehmen an, dass es eine Darstellung

    mit einer -Matrix und einer -Matrix gibt. Dann ergibt sich eine Faktorisierung

    Das Bild der Gesamtabbildung ist im Bild der hinteren Abbildung enthalten, und ist somit höchstens -dimensional. Da die Dimension des Bildes der Gesamtabbildung ist, ergibt sich aus ein Widerspruch.


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Eigenvektoren der Funktion , .


Lösung

Jede komplexe Zahl ist ein Eigenvektor zum Eigenwert .