Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/44/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 1 6 3 5 4 8 3 3 3 4 5 3 4 2 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Körper.
  2. Eine wachsende reelle Folge.
  3. Der Grenzwert zu einer auf definierten Funktion

    in einem Punkt .

  4. Die reelle Exponentialfunktion.
  5. Das Treppenintegral zu einer Treppenfunktion

    auf einem Intervall zur Unterteilung und den Werten , .

  6. Die lineare Unabhängigkeit von Vektoren in einem -Vektorraum .


Lösung

  1. Eine Menge heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

    und zwei verschiedene Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

    1. Axiome der Addition
      1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
      2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
      3. ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
      4. Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
    2. Axiome der Multiplikation
      1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
      2. Kommutativgesetz: Für alle gilt .
      3. ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
      4. Existenz des Inversen: Zu jedem mit gibt es ein Element mit .
    3. Distributivgesetz: Für alle gilt .
  2. Die reelle Folge heißt wachsend, wenn für alle ist.
  3. Die reelle Zahl heißt Grenzwert von in , wenn für jede Folge in , die gegen konvergiert, auch die Bildfolge gegen konvergiert.
  4. Die Funktion

    heißt (reelle) Exponentialfunktion.

  5. Das Treppenintegral von ist durch

    definiert.

  6. Die Vektoren heißen linear unabhängig, wenn eine Gleichung

    nur bei für alle möglich ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Leibnizkriterium für alternierende Reihen.
  2. Die Kreisgleichung für die trigonometrischen Funktionen.
  3. Der Charakterisierungssatz für eine Basis in einem -Vektorraum .


Lösung

  1. Sei eine fallende Nullfolge von nichtnegativen reellen Zahlen. Dann konvergiert die Reihe .
  2. Die trigonometrischen Funktionen

    und

    erfüllen für die Kreisgleichung

  3. Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es sei eine Familie von Vektoren. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
    1. Die Familie ist eine Basis von .
    2. Die Familie ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. sobald man einen Vektor weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor.
    3. Für jeden Vektor gibt es genau eine Darstellung
    4. Die Familie ist maximal linear unabhängig, d.h. sobald man irgendeinen Vektor dazunimmt, ist die Familie nicht mehr linear unabhängig.


Aufgabe (1 Punkt)

Das Brötchen von vorvorgestern ist überüberübermorgen von ....?


Lösung

Vorvorvorvorvorvorgestern.


Aufgabe (6 (1+1+4) Punkte)

  1. Skizziere vier Geraden im Raum mit der Eigenschaft, dass es insgesamt zwei Schnittpunkte gibt.
  2. Skizziere vier Geraden in der Ebene mit der Eigenschaft, dass es insgesamt drei Schnittpunkte gibt.
  3. Zeige, dass es in der Ebene nicht vier Geraden geben kann, die insgesamt zwei Schnittpunkte besitzen.


Lösung

  1. 4Geraden3Schnittpunkte.png

  2. Es sei angenommen, dass es eine solche Geradenkonfiguration gibt. Wir behandeln die beiden Fälle, dass die beiden Schnittpunkte auf einer der Geraden liegen oder nicht. Im ersten Fall müssen die Geraden, die mit die Schnittpunkte definieren, zueinander parallel sein. Die vierte Gerade kann weder zu noch zu den beiden anderen Geraden parallel sein, sonst würde es neue Schnittpunkte geben. Damit schneidet die vierte Gerade die ersten drei Geraden, und dabei kann zwar ein Schnittpunkt mit den beiden Schnittpunkten zusammenfallen, aber nicht mit beiden. Im zweiten Fall gibt es zwei Geradenpaare, die jeweils die beiden Schnittpunkte definieren. Doch dann trifft jede Gerade zumindest eine Gerade des anderen Geradenpaares in einem neuen Schnittpunkt, da sie nicht zu beiden parallel sein kann und nicht durch deren Schnittpunkt verläuft (sonst wären wir im ersten Fall).


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.


Lösung

Angenommen, die Menge aller Primzahlen sei endlich, sagen wir . Man betrachtet die Zahl

Diese Zahl ist durch keine der Primzahlen teilbar, da bei Division von durch immer ein Rest verbleibt. Damit sind die Primfaktoren von , die es nach Satz 2.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) geben muss, nicht in der Ausgangsmenge enthalten - Widerspruch.


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die naürliche Additionstabelle bis zu einer bestimmten Zahl , also

Zeige durch Induktion, dass die Gesamtsumme aller in der Tabelle auftretenden Summen gleich ist, also


Lösung

Für gibt es nur den einen Summanden , so dass der Induktionsanfang gesichert ist. Sei die Aussage für ein bewiesen. Wir unterteilen die zu berechnende Summe je nachdem, ob die beteiligten Summanden kleiner oder gleich sind. Dann ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und der Formel für die Summe der ersten Zahlen


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper .


Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über . Für ist die Aussage offensichtlich richtig. Sei also und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Sei eine Nullstelle von (falls keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig), Dann ist nach Lemma 6.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) und hat den Grad , so dass wir auf die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom hat also maximal Nullstellen. Für gilt . Dies kann nur dann sein, wenn einer der Faktoren ist, so dass eine Nullstelle von gleich ist oder aber eine Nullstelle von ist. Es gibt also maximal Nullstellen von .


Aufgabe (8 (3+2+3) Punkte)

  1. Bestimme ein Polynom vom Grad mit

    und

  2. Bestimme ein normiertes Polynom vom Grad mit

    und

  3. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen zu und zu .


Lösung

  1. Wir machen den Ansatz

    Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem

    Elimination von führt auf

    Addition der ersten beiden Gleichungen führt auf

    also

    Dies führt auf

    und

    Somit ist

    also

    und

    Das gesuchte Polynom ist also

  2. Wir machen den Ansatz

    Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem

    Dies führt auf

    Die Gleichung ist

    also

    und

    Das gesuchte Polynom ist also

  3. Die -Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen zu und zu sind die Nullstellen von

    Wir arbeiten mit . Wegen

    ist eine Nullstelle dieses Polynoms. Die Division mit Rest führt auf

    Es geht also noch um die Nullstellen von

    Diese sind und . Die Schnittpunkte der beiden Graphen sind demnach


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Konvergenzverhalten der durch

gegebenen Folge.


Lösung

Wir schreiben die Folge (es sei ) als

Das Zählerpolynom konvergiert gegen und das Nennerpolynom konvergiert gegen . Damit konvergiert die Teilfolge für gerades gegen und die Teilfolge für ungerades gegen . Somit sind sowohl als auch Häufungspunkte der Folge und daher liegt keine Konvergenz vor.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Konvergenz der Exponentialreihe.


Lösung

Für ist die Aussage richtig. Andernfalls betrachten wir den Quotienten

Dies ist für kleiner als . Aus dem Quotientenkriterium folgt daher die Konvergenz.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne

bis auf einen Fehler von .


Lösung

Es ist

genau dann, wenn

ist. Es ist

und

also ist


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die reelle Sinusfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion

induziert, und dass die reelle Kosinusfunktion eine bijektive, streng fallende Funktion

induziert.


Lösung

Die Ableitung des Sinus ist nach Fakt ***** der Kosinus. Dieser hat im Innern von keine Nullstelle, da ja als kleinste positive Nullstelle des Kosinus definiert ist und da der Kosinus gerade ist. Ferner besitzt der Kosinus an der Stelle den Wert . Nach dem Zwischenwertsatz muss als der Kosinus im Innern des Intervalls positiv sein. Nach Satz 15.7 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) ist daher der Sinus im angegebenen Intervall streng wachsend und damit injektiv. Wegen und ist aufgrund des Zwischenwertsatzes das Bild gleich dem Intervall und der Sinus ist bijektiv.

Die Aussage für den Kosinus folgt daraus mittels Fakt *****  (3).


Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine stetige gerade Funktion , die im Nullpunkt kein lokales Extremum besitzt.


Lösung

Wir setzen

Diese Funktion ist stetig, was für klar ist und für daraus folgt, dass der Kosinus beschränkt ist und daher der Limes von für gleich ist. Da der Kosinus eine gerade Funktion ist, gilt

also ist gerade. Im Nullpunkt liegt kein lokales Extremum vor, da an den Stellen

mit die Funktion positive und an den Stellen

mit die Funktion negative Werte besitzt, und diese Stellen beliebig nahe an der liegen.


Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Bestimme den Flächeninhalt des durch die -Achse und den Graphen von eingeschränkten Gebietes.


Lösung

Die Nullstellen von sind

Im Intervall ist negativ, sonst überall positiv. Der gesuchte Flächeninhalt ist deshalb der Betrag des bestimmten Integrals

also gleich .


Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

Die Zeitungen und verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

  1. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  2. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  3. Die Abonnenten von bleiben zu bei , niemand wechselt zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je für ein Abonnement von oder , die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je Abonnenten und es gibt Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?


Lösung

a) Die Matrix, die die Kundenbewegungen (in der Reihenfolge und Nichtleser) beschreibt, ist

b) Die Kundenverteilung nach einem Jahr zur Ausgangsverteilung ist

c) Die Ausgangsverteilung ist , daher ist die Verteilung nach einem Jahr gleich .

Nach zwei Jahren ist die Kundenverteilung

Nach drei Jahren ist die Kundenverteilung


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Lösung

Die inverse Matrix ist also .


Aufgabe (4 (3+1) Punkte)

  1. Zeige durch Induktion über , dass die Determinante einer -Matrix, deren sämtliche Einträge ganze Zahlen sind, ebenfalls eine ganze Zahl ist.
  2. Man gebe ein Beispiel für eine Matrix, deren sämtliche Einträge positive natürliche Zahlen sind und deren Determinante negativ ist.


Lösung

  1. Die Aussage ist offenbar richtig für . Zum Induktionsschluss ziehen wir die induktive Definition der Determinante heran, es ist

    Nach Induktionsvoraussetzung sind die ganzzahlig, nach Voraussetzung sind die ganzzahlig, und damit ist auch diese Summe ganzzahlig.

  2. Es ist