Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/48/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	2	4	1	7	3	7	6	5	4	4	3	3	4	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Primzahl.
2. Eine Teilfolge einer Folge reeller Zahlen.
3. Eine gerade Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$.
4. Der Logarithmus zur Basis ${}b\in \mathbb {R} _{+}$, ${}b\neq 1$, einer positiven reellen Zahl ${}x$.
5. Das bestimmte Integral zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

   $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$

6. Eine Basis eines ${}K$-Vektorraums ${}V$.

Lösung

1. Eine natürliche Zahl ${}n\geq 2$ heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr ${}1$ und ${}n$ sind.
2. Zu einer streng wachsenden Abbildung ${}\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$, ${}i\longmapsto n_{i}$, heißt die Folge

   $i\mapsto x_{n_{i}}$

   eine Teilfolge der Folge.

3. Eine Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ heißt gerade, wenn für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die Gleichheit

   ${}f(x)=f(-x)\,$

   gilt.

4. Der Logarithmus zur Basis ${}b\in \mathbb {R} _{+}$, ${}b\neq 1$, von ${}x\in \mathbb {R} _{+}$ ist durch

   ${}\log _{b}x:={\frac {\ln x}{\ln b}}\,$

   definiert.

5. Das nach Voraussetzung existierende Oberintegral zu ${}f$ über ${}[a,b]$ heißt bestimmtes Integral.
6. Eine Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, von Vektoren in ${}V$ heißt Basis, wenn diese Vektoren linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Konvergenz des Cauchy-Produktes.
2. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung.
3. Der Satz über die Beziehung zwischen Eigenschaften von linearen Abbildungen und Matrizen.

Lösung

1. Es seien

   $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$

   zwei absolut konvergente Reihen reeller Zahlen. Dann ist auch das Cauchy-Produkt ${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ absolut konvergent und für die Summe gilt

   ${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}={\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)}\,.$

2. Sei ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei

   $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine stetige Funktion. Dann gibt es ein ${}c\in [a,b]$ mit

   ${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=f(c)(b-a)\,.$

3. Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der Dimension ${}n$ bzw. ${}m$. Es sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde. Dann gelten folgende Eigenschaften.

   1. ${}\varphi$ ist genau dann injektiv, wenn die Spalten der Matrix linear unabhängig sind.
   2. ${}\varphi$ ist genau dann surjektiv, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von ${}K^{m}$ bilden.
   3. Bei ${}m=n$ ist ${}\varphi$ genau dann bijektiv, wenn die Spalten der Matrix eine Basis von ${}K^{m}$ bilden, und dies ist genau dann der Fall, wenn ${}M$ invertierbar ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

${}p$ ${}q$ ${}r$ ${}?$ w w w w w w f f w f w f w f f f f w w f f w f f f f w f f f f w

Lösung

$(p\leftrightarrow q)\wedge (p\leftrightarrow r).$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

eine injektive Abbildung. Zeige, dass es eine Teilmenge ${}T\subseteq M$ derart gibt, dass man ${}\varphi$ als Abbildung

$\varphi '\colon L\longrightarrow T$

auffassen kann (${}\varphi$ und ${}\varphi '$ unterscheiden sich nur hinsichtlich des Wertebereichs) und dass ${}\varphi '$ bijektiv ist.

Lösung

Es sei

${}T={\left\{y\in M\mid {\text{ es gibt }}x\in L{\text{ mit }}y=\varphi (x)\right\}}\,.$

Da ${}T$ sämtliche Elemente aus ${}M$ enthält, die überhaupt unter ${}\varphi$ getroffen werden, kann man ${}\varphi$ als eine Abbildung

$\varphi '\colon L\longrightarrow T,\,x\longmapsto \varphi (x),$

auffassen. Diese Abbildung ist surjektiv, da ja jedes Element aus ${}T$ nach Definition getroffen wird. Die Injektivität überträgt sich direkt von ${}\varphi$ auf ${}\varphi '$, da die Gleichheit von Elementen in einer Teilmenge mit der Gleichheit in der Menge übereinstimmt. Daher ist ${}\varphi '$ bijektiv.

Aufgabe (2 Punkte)

Wenn man alles Gold der Welt zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge ${}21,7$ Meter beträgt. Dieser soll auf die Weltbevölkerung (${}8$ Milliarden) gleichmäßig aufgeteilt und als Goldwürfel ausgeteilt werden. Welche Seitenlänge hat der Würfel, den jeder Mensch bekommt?

Lösung

Es ist

${}8000000000=2000^{3}\,,$

deshalb ist die Seitenlänge der zu verteilenden Würfel gleich

${}{\frac {21,7}{2000}}=0,01085\,,$

also ${}1,085$ Zentimeter.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}x,y$ rationale Zahlen. Zeige, dass

${}x-\left\lfloor x\right\rfloor =y-\left\lfloor y\right\rfloor \,$

genau dann gilt, wenn es ein ${}n\in \mathbb {Z}$ mit ${}y=x+n$ gibt.

Lösung

Es sei ${}x-\left\lfloor x\right\rfloor =y-\left\lfloor y\right\rfloor$. Da ${}\left\lfloor x\right\rfloor ,\left\lfloor y\right\rfloor$ ganze Zahlen sind, ist ${}n=\left\lfloor y\right\rfloor -\left\lfloor x\right\rfloor$ ganzzahlig. Damit gilt

${}{\begin{aligned}y&=\left\lfloor y\right\rfloor +(y-\left\lfloor y\right\rfloor )\\&=\left\lfloor y\right\rfloor +(x-\left\lfloor x\right\rfloor )\\&=x+\left\lfloor y\right\rfloor -\left\lfloor x\right\rfloor \\&=x+n.\end{aligned}}$

Sei nun ${}y=x+n$ mit ${}n\in \mathbb {Z}$. Aus der definierenden Beziehung

${}\left\lfloor x\right\rfloor \leq x<\left\lfloor x\right\rfloor +1\,$

folgt

${}\left\lfloor x\right\rfloor +n\leq x+n<\left\lfloor x\right\rfloor +n+1\,,$

daher muss

${}\left\lfloor x+n\right\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +n\,$

sein. Somit ist

${}{\begin{aligned}y-\left\lfloor y\right\rfloor &=x+n-\left\lfloor x+n\right\rfloor \\&=x+n-(\left\lfloor x\right\rfloor +n)\\&=x-\left\lfloor x\right\rfloor .\end{aligned}}$

Aufgabe (1 Punkt)

Schreibe das Polynom

$X^{4}-1$

als Produkt von Linearfaktoren in ${}\mathbb {C} [X]$.

Lösung

Es ist

${}X^{4}-1=(X^{2}-1)(X^{2}+1)=(X-1)(X+1)(X+i)(X-i)\,.$

Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$.

Lösung

Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über den Grad von ${}P$. Wenn der Grad von ${}T$ größer als der Grad von ${}P$ ist, so ist ${}Q=0$ und ${}R=P$ eine Lösung, so dass wir dies nicht weiter betrachten müssen. Bei ${}\operatorname {grad} \,(P)=0$ ist nach der Vorbemerkung auch ${}\operatorname {grad} \,(TP)=0$, also ist ${}T$ ein konstantes Polynom, und damit ist (da $T\neq 0$ und ${}K$ ein Körper ist) ${}Q=P/T$ und ${}R=0$ eine Lösung. Sei nun ${}\operatorname {grad} \,(P)=n$ und die Aussage für kleineren Grad schon bewiesen. Wir schreiben ${}P=a_{n}X^{n}+\cdots +a_{1}X+a_{0}$ und ${}T=b_{k}X^{k}+\cdots +b_{1}X+b_{0}$ mit ${}a_{n},b_{k}\neq 0,\,k\leq n$. Dann gilt mit ${}H={\frac {a_{n}}{b_{k}}}X^{n-k}$ die Beziehung

${}{\begin{aligned}P'&:=P-TH\\&=0X^{n}+{\left(a_{n-1}-{\frac {a_{n}}{b_{k}}}b_{k-1}\right)}X^{n-1}+\cdots +{\left(a_{n-k}-{\frac {a_{n}}{b_{k}}}b_{0}\right)}X^{n-k}+a_{n-k-1}X^{n-k-1}+\cdots +a_{0}.\end{aligned}}$

Dieses Polynom ${}P'$ hat einen Grad kleiner als ${}n$ und darauf können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden, d.h. es gibt ${}Q'$ und ${}R'$ mit

$P'=TQ'+R'{\text{ mit }}\operatorname {grad} \,(R')<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R'=0.$

Daraus ergibt sich insgesamt

${}P=P'+TH=TQ'+TH+R'=T(Q'+H)+R'\,,$

so dass also ${}Q=Q'+H$ und ${}R=R'$ eine Lösung ist. Zur Eindeutigkeit sei ${}P=TQ+R=TQ'+R'$ mit den angegebenen Bedingungen. Dann ist ${}T(Q-Q')=R'-R$. Da die Differenz ${}R'-R$ einen Grad kleiner als ${}\operatorname {grad} \,(T)$ besitzt, ist aufgrund der Gradeigenschaften diese Gleichung nur bei ${}R=R'$ und ${}Q=Q'$ lösbar.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne von Hand die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${}5$ zum Startwert ${}x_{0}=2$.

Lösung

Es ist

${}x_{1}={\frac {2+{\frac {5}{2}}}{2}}={\frac {9}{4}}\,,$

${}x_{2}={\frac {{\frac {9}{4}}+{\frac {5}{\,{\frac {9}{4}}\,}}}{2}}={\frac {{\frac {9}{4}}+{\frac {20}{9}}}{2}}={\frac {81+80}{72}}={\frac {161}{72}}\,,$

${}x_{3}={\frac {{\frac {161}{72}}+{\frac {5}{\,{\frac {161}{72}}\,}}}{2}}={\frac {{\frac {161}{72}}+{\frac {360}{161}}}{2}}={\frac {25921+25920}{23184}}={\frac {51841}{23184}}\,.$

Aufgabe (7 (2+2+3) Punkte)

1. Man gebe ein Beispiel für reelle Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, ${}y_{n}\neq 0$, derart, dass ${}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}$ gegen ${}1$ konvergiert, aber ${}x_{n}-y_{n}$ nicht konvergiert.
2. Man gebe ein Beispiel für reelle Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, ${}y_{n}\neq 0$, derart, dass ${}x_{n}-y_{n}$ gegen ${}0$ konvergiert, aber ${}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}$ nicht konvergiert.
3. Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ reelle Folgen derart, dass ${}x_{n}-y_{n}$ gegen ${}0$ konvergiert. Es gebe ein ${}a>0$ mit

   ${}y_{n}\geq a\,$

   für alle ${}n$. Zeige, dass ${}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}$ gegen ${}1$ konvergiert.

Lösung

1. Es sei

   ${}x_{n}=n^{2}+n\,$

   und

   ${}y_{n}=n^{2}\,$

   für ${}n\geq 1$. Dann ist

   ${}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {n^{2}+n}{n^{2}}}=1+{\frac {1}{n}}\,.$

   Dies konvergiert gegen ${}1$. Die Differenzfolge

   ${}x_{n}-y_{n}=n^{2}+n-n^{2}=n\,$

   konvergiert nicht.

2. Es sei

   ${}x_{n}={\frac {1}{n}}\,$

   und

   ${}y_{n}={\frac {1}{n^{2}}}\,.$

   Dann ist

   ${}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {\frac {1}{n}}{\frac {1}{n^{2}}}}={\frac {n^{2}}{n}}=n\,.$

   Dies konvergiert nicht. Die Differenzfolge

   ${}x_{n}-y_{n}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n^{2}}}\,$

   konvergiert gegen ${}0$, da beide Folgen Nullfolgen sind.

3. Wir schreiben

   ${}x_{n}=y_{n}+z_{n}\,,$

   wobei ${}z_{n}$ nach Voraussetzung eine Nullfolge ist. Damit ist

   ${}{\begin{aligned}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}&={\frac {y_{n}+z_{n}}{y_{n}}}\\&=1+{\frac {z_{n}}{y_{n}}}.\end{aligned}}$

   Dabei ist

   ${}\vert {\frac {z_{n}}{y_{n}}}\vert =\vert {z_{n}}\vert \cdot \vert {\frac {1}{y_{n}}}\vert \leq \vert {z_{n}}\vert \cdot \vert {\frac {1}{a}}\vert \,$

   eine Nullfolge. Somit konvergiert die Quotientenfolge gegen ${}1$.

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Zwischenwertsatz.

Lösung

Wir beschränken uns auf die Situation ${}f(a)\leq u\leq f(b)$ und zeigen die Existenz von einem solchen ${}c$ mit Hilfe einer Intervallhalbierung. Dazu setzt man ${}a_{0}:=a$ und ${}b_{0}:=b$, betrachtet die Intervallmitte ${}c_{0}:={\frac {a_{0}+b_{0}}{2}}$ und berechnet

$f(c_{0}).$

Bei ${}f{\left(c_{0}\right)}\leq u$ setzt man

$a_{1}:=c_{0}\,\,{\text{ und }}\,\,b_{1}:=b_{0}$

und bei ${}f{\left(c_{0}\right)}>u$ setzt man

$a_{1}:=a_{0}\,\,{\text{ und }}\,\,b_{1}:=c_{0}.$

In jedem Fall hat das neue Intervall ${}[a_{1},b_{1}]$ die halbe Länge des Ausgangsintervalls und liegt in diesem. Da es wieder die Voraussetzung ${}f{\left(a_{1}\right)}\leq u\leq f{\left(b_{1}\right)}$ erfüllt, können wir darauf das gleiche Verfahren anwenden und gelangen so rekursiv zu einer Intervallschachtelung. Sei ${}c$ die durch diese Intervallschachtelung definierte reelle Zahl. Für die unteren Intervallgrenzen gilt ${}f{\left(a_{n}\right)}\leq u$ und das überträgt sich wegen der Stetigkeit nach dem Folgenkriterium auf den Grenzwert ${}c$, also ${}f{\left(c\right)}\leq u$. Für die oberen Intervallgrenzen gilt ${}f{\left(b_{n}\right)}\geq u$ und das überträgt sich ebenfalls auf ${}c$, also ${}f(c)\geq u$.  Also ist ${}f(c)=u$.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Funktion ${}f(x)={\left(\cos x\right)}^{1/x}$ für ${}x\rightarrow 0$ (${}x>0$).

Lösung

Es ist

${}f(x)={\left(\cos x\right)}^{1/x}=\exp \left({\frac {1}{x}}\ln \left(\cos x\right)\right)\,$

und somit ist

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,\exp \left({\frac {1}{x}}\ln \left(\cos x\right)\right)$

zu bestimmen. Da die Exponentialfunktion stetig ist, müssen wir

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\ln \left(\cos x\right)}{x}}$

bestimmen. Sowohl die Zähler- als auch die Nennerfunktion besitzen den Grenzwert ${}0$. Wir können die Regel von Hospital anwenden und betrachten

${\frac {\frac {-\sin x}{\cos x}}{1}}.$

Dies konvergiert für ${}x\rightarrow$ gegen ${}0$. Somit ist auch

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\ln \left(\cos x\right)}{x}}=0\,$

und damit ist

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,\exp \left({\frac {1}{x}}\ln \left(\cos x\right)\right)=\exp 0=1\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Die Graphen der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion überkreuzen sich mehrfach und begrenzen dabei Gebiete mit einem endlichen Flächeninhalt. Bestimme den Flächeninhalt eines solchen Gebietes.

Lösung

Aufgrund von Fakt *****  (3) ist ${}\cos \left(x+\pi /2\right)=-\sin x$ und damit

${}\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)=-\sin \left(-{\frac {\pi }{4}}\right)=-\cos \left(-{\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)\,.$

Diese Überkreuzung wiederholt sich mit der Periode ${}\pi$. Wegen

${}\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\,$

ist der Wert an den Überkreuzungsstellen abwechselnd gleich ${}\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}$

Von ${}{\frac {\pi }{4}}$ bis ${}{\frac {5\pi }{4}}$ verläuft der Sinus oberhalb des Kosinus. Der eingeschlossene Flächeninhalt ist somit

${}{\begin{aligned}\int _{\frac {\pi }{4}}^{\frac {5\pi }{4}}\sin x-\cos x\,dx&=\left(-\cos x-\sin x\right)|_{\frac {\pi }{4}}^{\frac {5\pi }{4}}\\&=-\cos \left({\frac {5\pi }{4}}\right)-\sin \left({\frac {5\pi }{4}}\right)+\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)+\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\&=4{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\&=2{\sqrt {2}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Quadratabbildung

$\varphi \colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{2},$

für verschiedene Körper ${}K$.

1. Ist ${}\varphi$ linear für

   ${}K=\mathbb {Q} \,?$

2. Ist ${}\varphi$ linear für

   ${}K=\mathbb {Z} /(2)\,,$

   dem Körper mit zwei Elementen.

3. Es sei nun ${}K$ ein Körper, in dem ${}2=1+1=0$ gelte, der mehr als zwei Elemente enthalte. Ist ${}\varphi$ linear? Ist ${}\varphi$ verträglich mit der Addition?

Lösung

1. Es ist

   ${}\varphi (1+1)=\varphi (2)=4\neq 1+1=\varphi (1)+\varphi (1)\,,$

   somit ist ${}\varphi$ auf ${}\mathbb {Q}$ nicht linear.

2. Für den Körper mit zwei Elementen ${}\mathbb {Z} /(2)=\{0,1\}$ ist ${}\varphi (0)=0$ und ${}\varphi (1)=1$. Also ist ${}\varphi$ die Identität und somit linear.
3. Es ist

   ${}\varphi (u+v)=(u+v)^{2}=u^{2}+2uv+v^{2}=u^{2}+v^{2}=\varphi (u)+\varphi (v)\,,$

   daher erfüllt ${}\varphi$ die Additivität. Sie ist aber nicht mit der Skalierung verträglich und somit nicht linear. Nehmen wir an, dass ${}\varphi$ mit der Skalierung verträglich wäre. Dann ist für jedes ${}s\in K$

   ${}s^{2}=\varphi (s)=\varphi (s1)=s\varphi (1)=s1=s\,.$

   In einem Körper gibt es aber nur zwei Elemente, die die Gleichung

   ${}s^{2}=s\,$

   erfüllen.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}-2-{\mathrm {i} }&3-4{\mathrm {i} }&2{\mathrm {i} }\\0&6+7{\mathrm {i} }&4\\3+3{\mathrm {i} }&4-3{\mathrm {i} }&-4-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\det {\begin{pmatrix}-2-{\mathrm {i} }&3-4{\mathrm {i} }&2{\mathrm {i} }\\0&6+7{\mathrm {i} }&4\\3+3{\mathrm {i} }&4-3{\mathrm {i} }&-4-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\\&={\left(-2-{\mathrm {i} }\right)}\cdot \det {\begin{pmatrix}6+7{\mathrm {i} }&4\\4-3{\mathrm {i} }&-4-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}+{\left(3+3{\mathrm {i} }\right)}\cdot \det {\begin{pmatrix}3-4{\mathrm {i} }&2{\mathrm {i} }\\6-7{\mathrm {i} }&4\end{pmatrix}}\\&={\left(-2-{\mathrm {i} }\right)}\cdot {\left({\left(6+7{\mathrm {i} }\right)}{\left(-4-{\mathrm {i} }\right)}-4{\left(4-3{\mathrm {i} }\right)}\right)}+{\left(3+3{\mathrm {i} }\right)}\cdot {\left(4{\left(3-4{\mathrm {i} }\right)}-2{\mathrm {i} }{\left(6-7{\mathrm {i} }\right)}\right)}\\&={\left(-2-{\mathrm {i} }\right)}\cdot {\left(-47-22{\mathrm {i} }\right)}+{\left(3+3{\mathrm {i} }\right)}\cdot {\left(-2-28{\mathrm {i} }\right)}\\&=72+91{\mathrm {i} }+78-82{\mathrm {i} }\\&=150+9{\mathrm {i} }.\,\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Finde ganze Zahlen ${}a,b,c,d,e,f$ derart, dass die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}6&10&15\\a&b&c\\d&e&f\end{pmatrix}}$

gleich ${}1$ ist.

Lösung

Eine solche Matrix ist

${\begin{pmatrix}6&10&15\\-1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum und seien ${}\varphi ,\psi \colon V\rightarrow V$ lineare Abbildungen, von denen die charakteristischen Polynome bekannt seien. Kann man daraus das charakteristische Polynom von ${}\varphi +\psi$ bestimmen?

Lösung

Das kann man nicht. Wir betrachten die beiden nilpotenten ${}2\times 2$-Matrizen

$\varphi ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,\psi ={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}.$

Ihr charakteristisches Polynom ist jeweils ${}X^{2}$. Ihre Summe ist

${}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\,$

und das charakteristische Polynom davon ist ${}X^{2}-1$. Wenn man dagegen ${}\varphi$ zweimal nimmt, also ${}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&2\\0&0\end{pmatrix}}$, so ist dies ebenfalls nilpotent, und das charakteristische Polynom ist ${}X^{2}$.