Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/5/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 2 3 2 4 4 3 6 2 4 4 5 4 5 6 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die leere Menge.
  2. Die Konvergenz einer reellen Folge gegen .
  3. Das Maximum der Funktion

    wird im Punkt angenommen.

  4. Eine Treppenfunktion

    auf einem beschränkten reellen Intervall .

  5. Eine Linearkombination in einem -Vektorraum.
  6. Ein Eigenwert zu einer linearen Abbildung

    auf einem -Vektorraum .


Lösung

  1. Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt.
  2. Die Konvergenz gegen bedeutet, dass es zu jedem reellen ein derart gibt, dass für alle die Abschätzung

    gilt.

  3. Man sagt, dass in das Maximum annimmt, wenn
  4. Eine Funktion

    heißt eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung

    von gibt derart, dass auf jedem offenen Teilintervall konstant ist.

  5. Es sei eine Familie von Vektoren in . Dann heißt der Vektor

    eine Linearkombination dieser Vektoren

  6. Ein Element heißt ein Eigenwert zu , wenn es einen von verschiedenen Vektor mit

    gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Eindeutigkeit des Grenzwertes einer reellen Folge.
  2. Der Satz über die Differenz zwischen Stammfunktionen.
  3. Der Satz über die Dimension des Standardraumes.


Lösung

  1. Eine reelle Folge besitzt maximal einen Grenzwert.
  2. Sei ein reelles Intervall und sei

    eine Funktion. Es seien und

    zwei Stammfunktionen von . Dann ist eine konstante Funktion.
  3. Es sei ein Körper und . Dann besitzt der Standardraum die Dimension .


Aufgabe (2 Punkte)

Begründe das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.


Lösung

Wegen der ersten Voraussetzung gilt . Wegen der zweiten Voraussetzung gilt auch . Deshalb gilt auch . Deshalb gilt auch . Da man so beliebig weitergehen kann und dabei jede natürliche Zahl erhält, gilt die Aussage für jede natürliche Zahl .


Aufgabe (3 Punkte)

Zwei Personen, und , liegen unter einer Palme, besitzt Fladenbrote und besitzt Fladenbrote. Eine dritte Person kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt an und an ?


Lösung

Es gibt insgesamt Fladenbrote, so dass also jede Person Brote isst. Somit gibt genau Brot an ab und gibt Brote an ab. gibt also -mal soviel ab wie und bekommt daher Taler, und bekommt einen Taler von .


Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere möglichst viele wesentlich verschiedene Konfigurationen von fünf Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in vier Schnittpunkten treffen.


Lösung

5Geraden4Schnittpunkte.png
5Geraden4Schnittpunkte 2.png
5Geraden4Schnittpunkte 3.png













Aufgabe (4 Punkte)

Zeige durch Induktion über , dass es zu natürlichen Zahlen mit natürliche Zahlen mit und mit

gibt.


Lösung

Es sei fixiert. Der Induktionsanfang ergibt sich direkt mit und . Für den Induktionsschluss sei die Aussage für bewiesen, d.h. wir haben eine Darstellung mit und müssen eine ebensolche Darstellung für finden. Wenn ist, so ist

und wegen ist dies eine gesuchte Darstellung. Ist hingegen , so ist

und dies ist eine gesuchte Darstellung.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien die beiden komplexen Polynome

gegeben. Berechne (es soll also in eingesetzt werden).


Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Lösung

Wir erweitern den Bruch mit () und schreiben

Dabei konvergieren und gegen und wegen konvergieren auch und gegen . Somit konvergiert die Folge gegen .


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Zwischenwertsatz.


Lösung

Wir beschränken uns auf die Situation und zeigen die Existenz von einem solchen mit Hilfe einer Intervallhalbierung. Dazu setzt man und , betrachtet die Intervallmitte und berechnet

Bei setzt man

und bei setzt man

In jedem Fall hat das neue Intervall die halbe Länge des Ausgangsintervalls und liegt in diesem. Da es wieder die Voraussetzung erfüllt, können wir darauf das gleiche Verfahren anwenden und gelangen so rekursiv zu einer Intervallschachtelung. Sei die durch diese Intervallschachtelung definierte reelle Zahl. Für die unteren Intervallgrenzen gilt und das überträgt sich wegen der Stetigkeit nach dem Folgenkriterium auf den Grenzwert , also . Für die oberen Intervallgrenzen gilt und das überträgt sich ebenfalls auf , also .  Also ist .


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion


Lösung

Wir verwenden die Darstellung . Aufgrund der Quotientenregel und der Kettenregel ist


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion


Lösung

Die erste Ableitung ist

deren Nullstellen sind und . Die zweite Ableitung ist

so dass und ist. Daher liegt in ein (isoliertes) lokales Minimum mit dem Wert und in ein (isoliertes) lokales Maximum mit dem Wert vor. Da für sowohl als auch positiv sind, liegt in auch das globale Minimum vor. Für wächst die Funktion hingegen gegen , sodass in kein globales Maximum vorliegt.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion

im Entwicklungspunkt bis zur Ordnung (man gebe also das Taylor-Polynom vom Grad zum Entwicklungspunkt an, wobei die Koeffizienten in einer möglichst einfachen Form angegeben werden sollen).


Lösung

Wir berechnen zuerst die Ableitungen, diese sind

Somit ist

Das Taylor-Polynom vom Grad zum Entwicklungspunkt ist demnach


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei . Bestimme ein Polynom vom Grad , das in den beiden Punkten und die gleichen linearen Approximationen wie besitzt.


Lösung

Die Ableitung von ist

Somit ist

Diese Daten legen die linearen Approximationen fest. Wir setzen das gesuchte Polynom als

an. Die Ableitung davon ist

Aus den Werten an der Stelle folgt direkt

und

Somit verbleiben die beiden Bedingungen

und

Die Differenz dieser beiden Gleichungen führt auf

bzw.

also

Somit ist

Das gesuchte Polynom ist also


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion von .


Lösung

Durch Multiplikation mit und Umstellen erhält man

Also ist

eine Stammfunktion von .


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

die durch die Matrix (bezüglich der Standardbasis) festgelegte lineare Abbildung. Bestimme die beschreibende Matrix zu bezüglich der Basis und .


Lösung

Es ist

und

Diese Bildvektoren müssen wir bezüglich der Basis ausdrücken. Der Ansatz

bzw.

führt auf

und damit auf und . Der Ansatz

bzw.

führt auf

und damit auf und . Daher ist die beschreibende Matrix von bezüglich der Basis und gleich


Aufgabe (6 (2+4) Punkte)

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung.

a) Zeige, dass der Kern von ein Untervektorraum von ist.

b) Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.


Lösung

a) Bei einer linearen Abbildung ist , also ist . Seien . Dann ist , also . Für und ist schließlich

also . Damit ist der Kern ein Untervektorraum von .

b) Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben keinen weiteren Vektor mit geben. Also ist .
Sei umgekehrt und seien gegeben mit . Dann ist wegen der Linearität

Daher ist und damit .


Aufgabe (4 Punkte)

a) Bestimme, ob die komplexe Matrix

invertierbar ist.

b) Finde eine Lösung für das inhomogene lineare Gleichungssystem


Lösung

a) Wir berechnen die Determinante der Matrix. Diese ist

Insbesondere ist die Matrix invertierbar.

b) Es ist

Daher können wir direkt eine Lösung angeben, nämlich

Es ist ja