Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 10/kontrolle

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Die Telefonanbieter und kämpfen um einen Markt, wobei die Marktaufteilung im Jahr durch das Kundentupel ausgedrückt wird (dabei steht für die Anzahl der Kunden von im Jahr u.s.w.). Es sind regelmäßig folgende Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres zu beobachten.

  1. Die Kunden von bleiben zu bei und wechseln zu je zu bzw. zu .
  2. Die Kunden von bleiben zu bei und wechseln zu zu und zu zu .
  3. Die Kunden von bleiben zu bei und wechseln zu zu und zu zu .

a) Bestimme die lineare Abbildung (bzw. die Matrix), die das Kundentupel aus berechnet.

b) Welches Kundentupel entsteht aus dem Kundentupel innerhalb eines Jahres?

c) Welches Kundentupel entsteht aus dem Kundentupel in vier Jahren?


Aufgabe * Aufgabe 10.12 ändern

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von bilden.


Aufgabe Aufgabe 10.3 ändern

Es sei ein Körper und es seien und zwei -Vektorräume. Es sei

eine bijektive lineare Abbildung. Zeige, dass dann auch die Umkehrabbildung

linear ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die inverse Matrix zu


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die inverse Matrix zu


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die inverse Matrix zur komplexen Matrix


Aufgabe * Referenznummer erstellen

a) Bestimme, ob die komplexe Matrix

invertierbar ist.

b) Finde eine Lösung für das inhomogene lineare Gleichungssystem


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Matrix

für jedes zu sich selbst invers ist.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die lineare Abbildung

Es sei der durch die lineare Gleichung definierte Untervektorraum von , und sei die Einschränkung von auf . Zu gehören Vektoren der Form

Berechne und die Übergangsmatrizen zwischen den Basen

von sowie die beschreibenden Matrizen für bezüglich dieser drei Basen (und der Standardbasis auf ).


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Elementarmatrizen invertierbar sind. Wie sehen die inversen Matrizen zu den Elementarmatrizen aus?


Aufgabe Aufgabe 10.11 ändern

Es sei ein Körper und eine -Matrix mit Einträgen in . Zeige, dass die Multiplikation mit -Elementarmatrizen von links mit folgende Wirkung haben.

  1. Vertauschen der -ten und der -ten Zeile von .
  2. Multiplikation der -ten Zeile von mit .
  3. Addition des -fachen der -ten Zeile von zur -ten Zeile ().


Aufgabe Referenznummer erstellen

Beschreibe die Wirkungsweise, wenn man eine Matrix mit einer Elementarmatrix von rechts multipliziert.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die inverse Matrix zu


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Führe das Invertierungsverfahren für die Matrix

unter der Voraussetzung durch.


Aufgabe (6 (3+1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Eine Tierpopulation besteht aus Traglingen (erstes Lebensjahr), Frischlingen (zweites Lebensjahr), Halbstarken (drittes Lebensjahr), Reifen (viertes Lebensjahr) und alten Hasen (fünftes Lebensjahr), älter können diese Tiere nicht werden. Der Gesamtbestand dieser Tiere in einem bestimmten Jahr wird daher durch ein -Tupel angegeben.

Von den Traglingen erreichen -tel das Frischlingsalter, von den Frischlingen erreichen -tel das Halbstarkenalter, von den Halbstarken erreichen -tel das reife Alter und von den Reifen erreichen -tel das fünfte Jahr.

Traglinge und Frischlinge können sich noch nicht vermehren, dann setzt die Geschlechtsreife ein und Halbstarke zeugen Nachkommen und Reife zeugen Nachkommen, wobei die Nachkommen ein Jahr später geboren werden.

a) Bestimme die lineare Abbildung (bzw. die Matrix), die den Gesamtbestand aus dem Bestand berechnet.

b) Was wird aus dem Bestand im Folgejahr?

c) Was wird aus dem Bestand in fünf Jahren?


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei eine komplexe Zahl und es sei

die dadurch definierte Multiplikation, die eine -lineare Abbildung ist. Wie sieht die Matrix zu dieser Abbildung bezüglich der reellen Basis und aus? Zeige, dass zu zwei komplexen Zahlen und mit den beiden reellen Matrizen und die Produktmatrix die beschreibende Matrix zu ist.




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