Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 48/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Notiere das Taylor-Polynom für eine (hinreichend oft differenzierbare) Funktion in oder Variablen für die Grade .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, offen, und seien
zwei zweimal stetig differenzierbare Funktionen. Zeige durch ein Beispiel, dass das Taylor-Polynom zum Produkt im Punkt vom Grad nicht das Produkt der beiden Taylor-Polynome von und in vom Grad sein muss.
Aufgabe Referenznummer erstellen
a) Schreibe das Polynom
als Polynom in den Variablen und .
b) Bestimme mit Teil a) die
Taylor-Polynome
von im Entwicklungspunkt .
c) Berechne diese Taylor-Polynome über Ableitungen.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestätige Satz 48.1 für in und bis zur dritten Ableitung.
In den folgenden Aufgaben werden einige Eigenschaften der Polynomialkoeffizienten besprochen, die eine Verallgemeinerung der Binomialkoeffizienten sind.
Es sei und ein - Tupel natürlicher Zahlen. Es sei . Dann nennt man die Zahl
einen Polynomialkoeffizienten.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass die Anzahl der geordneten Partitionen mit eventuell leeren Blöcken zum Anzahltupel einer -elementigen Menge gleich
ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
In einem Studium werden Leistungsnachweise verlangt, und zwar Seminarscheine, Klausuren, mündliche Prüfungen und eine Hausarbeit, die in beliebiger Reihenfolge erbracht werden können. Wie viele Reihenfolgen gibt es, um diese Leistungsnachweise zu erbringen?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien und mit . Zeige, dass die Anzahl der -Tupel
in denen die Zahl genau -mal vorkommt, gleich
ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien und mit . Zeige, dass die Anzahl der Abbildungen
bei denen das Urbild zu aus genau Elementen besteht, gleich dem Multinomialkoeffizienten
ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien reelle Zahlen. Beweise den Polynomialsatz, das ist die Gleichung
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Polynom in Variablen vom Grad . Zeige, dass mit dem Taylor-Polynom vom Grad von im Nullpunkt übereinstimmt.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei offen, ein Punkt und
eine Funktion. Sei . Zeige, dass es maximal ein Polynom vom Grad mit der Eigenschaft geben kann, dass
gilt.
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