Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 12

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne die ersten fünf Glieder des Cauchy-Produkts der beiden konvergenten Reihen


Aufgabe

Man mache sich klar, dass die Partialsummen des Cauchy-Produkts von zwei Reihen nicht das Produkt der Partialsummen der beiden Reihen sind.


Aufgabe

Es seien und zwei absolut konvergente Potenzreihen in . Zeige, dass das Cauchy-Produkt der beiden Reihen durch

gegeben ist.


Aufgabe

Sei  , . Bestimme (in Abhängigkeit von ) die Summen der beiden Reihen


Aufgabe

Es sei

eine absolut konvergente Potenzreihe. Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen in der dritten Potenz


Aufgabe *

Wir betrachten das Polynom

  1. Berechne die Werte von an den Stellen .
  2. Skizziere den Graphen von oberhalb von . Gibt es einen Bezug zur Exponentialfunktion ?
  3. Bestimme eine Nullstelle von innerhalb von mit einem Fehler von maximal .


Aufgabe

Berechne von Hand die ersten vier Nachkommastellen im Zehnersystem von


Aufgabe

Zeige die folgenden Abschätzungen.

a)

b)


Aufgabe

Zeige, dass für die Exponentialfunktionen

die folgenden Rechenregeln gelten (dabei seien und ).


Aufgabe *

Es sei eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

stetig ist.


Aufgabe

Es sei eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

bei streng wachsend und bei streng fallend ist.


Aufgabe *

Es sei

eine stetige Funktion , die die Gleichung

für alle erfüllt. Zeige, dass eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein mit gibt.


Aufgabe

Zeige, dass eine Exponentialfunktion

aus einem arithmetischen Mittel ein geometrisches Mittel macht.


Aufgabe *

Es sei

eine Exponentialfunktion mit . Zu jedem definiert die Gerade durch die beiden Punkte und einen Schnittpunkt mit der -Achse, den wir mit bezeichnen. Zeige

Skizziere die Situation.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen, streng wachsenden Funktion

mit und mit für alle , die von verschieden ist.


Aufgabe *

Es sei fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion

stetig ist.


Aufgabe

Es sei eine positive reelle Zahl und . Zeige, dass die durch

definierte Zahl unabhängig von der Bruchdarstellung für ist.


Aufgabe

Es sei und eine rationale Zahl. Zeige, dass die Schreibweise

mit der Definition

verträglich ist.


Aufgabe *

Berechne

bis auf einen Fehler von .


Aufgabe

Berechne

bis auf einen Fehler von .


Aufgabe *

Vergleiche die beiden Zahlen


Aufgabe

Vergleiche die drei Zahlen


Aufgabe

Seien . Zeige


Aufgabe

Sei . Zeige


Aufgabe *

Entscheide, ob die reelle Folge

(mit ) in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe

Zeige, dass die Logarithmen zur Basis die folgenden Rechenregeln erfüllen.

  1. Es ist und , das heißt der Logarithmus zur Basis b ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion zur Basis .
  2. Es gilt
  3. Es gilt für .
  4. Es gilt




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne mit der Exponentialreihe bis auf einen Fehler von .


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die Koeffizienten der Potenzreihe , die das Cauchy-Produkt der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine absolut konvergente Potenzreihe. Bestimme die Koeffizienten zu den Potenzen in der vierten Potenz


Aufgabe (5 Punkte)

Für und sei

das Restglied der Exponentialreihe. Zeige, dass für die Restgliedabschätzung

gilt.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die durch die Exponentialreihe definierte reelle Exponentialfunktion die Eigenschaft besitzt, dass für jedes die Folge

bestimmt divergent gegen ist.[1]


Aufgabe (2 Punkte)

Zu Beginn des Studiums ist Professor Knopfloch doppelt so schlau wie die Studenten. Innerhalb eines Studienjahres werden die Studenten um schlauer. Leider baut der Professor ab und verliert pro Jahr seiner Schlauheit.

  1. Zeige, dass nach drei Studienjahren der Professor immer noch schlauer als die Studenten ist.
  2. Zeige, dass nach vier Studienjahren die Studenten den Professor an Schlauheit übertreffen.


Aufgabe (2 Punkte)

Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich . Nach welchem Zeitraum (in Jahren und Tagen) haben sich die Preise verdoppelt?




Fußnoten
  1. Man sagt daher, dass die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Polynomfunktion.


<< | Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)