Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Arbeitsblatt 35

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Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es seien und zwei Punkte im . Bestimme den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in

a) der euklidischen Metrik,

b) der Summenmetrik,

c) der Maximumsmetrik.

d) Vergleiche diese verschiedenen Abstände der Größe nach.


Aufgabe

Zeige, dass die Summenmetrik im eine Metrik ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Maximumsmetrik im eine Metrik ist.


Aufgabe

Es sei die Parabel, also der Graph der Quadratfunktion

Entscheide, ob auf durch

bzw. durch

eine Metrik definiert wird.


Aufgabe

Es sei

der Einheitskreis. Zeige, dass man auf eine Metrik definieren kann, indem man () als den positiven Winkel zwischen den zugehörigen Strahlen durch den Nullpunkt ansetzt.


Aufgabe *

Sei ein metrischer Raum. Zeige, dass die offenen Kugeln offen sind.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum. Zeige, dass die abgeschlossenen Kugeln abgeschlossen sind.


Aufgabe *

Wir betrachten im die offenen Bälle und . Man gebe für jeden Punkt

einen expliziten offenen Ball mit Mittelpunkt an, der ganz innerhalb von liegt.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum. Zeige, dass folgende Eigenschaften gelten.

  1. Die leere Menge und die Gesamtmenge sind offen.
  2. Es sei eine beliebige Indexmenge und seien , , offene Mengen. Dann ist auch die Vereinigung
    offen.
  3. Es sei eine endliche Indexmenge und seien , , offene Mengen. Dann ist auch der Durchschnitt
    offen.


Aufgabe

Zeige, dass auf dem die euklidische Metrik, die Summenmetrik und die Maximumsmetrik dieselben offenen Mengen definieren.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum. Zeige, dass in die sogenannte Hausdorff-Eigenschaft gilt, d.h. zu je zwei verschiedenen Punkten und gibt es offene Mengen und mit


Aufgabe *

Sei ein metrischer Raum. Zeige, dass jede endliche Teilmenge abgeschlossen ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen in abgeschlossen ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Menge

in abgeschlossen ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Menge der rationalen Zahlen in weder offen noch abgeschlossen ist.


Aufgabe

Sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge mit der induzierten Metrik. Zeige, dass eine Teilmenge genau dann offen in ist, wenn es eine in offene Menge mit gibt.


Aufgabe

Zeige, dass auf jeder Menge die diskrete Metrik in der Tat eine Metrik ist.


Aufgabe

Sei eine Menge, die mit der diskreten Metrik versehen sei. Zeige, dass jede Teilmenge von sowohl offen als auch abgeschlossen ist.


Aufgabe

Bestimme den minimalen Abstand von zu einem Punkt der Ebene , die durch die Gleichung gegeben ist.


Aufgabe

Entscheide, ob im (versehen mit der euklidischen Metrik) die Folge

konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe

Zeige, dass eine Folge in einem metrischen Raum maximal einen Grenzwert besitzt.


Aufgabe *

Sei eine komplexe Zahl mit . Zeige, dass die Folge gegen konvergiert.


Aufgabe

Sei eine komplexe Zahl mit . Zeige, dass die Folge divergiert.


Aufgabe

Zu einem Dreieck ist das Seitenmittelpunktsdreieck durch die Eckpunkte gegeben. Diese Konstruktion ergibt eine rekursiv definierte Folge von Dreiecken , wobei und das Seitenmittelpunktsdreieck zu ist. Es sei eine Folge in mit für alle . Zeige, dass diese Folge konvergiert und bestimme den Grenzwert.


Aufgabe

Es sei eine Folge in einem metrischen Raum . Zeige, dass die Folge genau dann gegen konvergiert, wenn die Folge der Abstände in gegen konvergiert.


Aufgabe *

Es sei eine Folge in einem metrischen Raum . Zeige, dass die Folge genau dann gegen konvergiert, wenn in jeder offenen Menge mit alle bis auf endlich viele Folgenglieder liegen.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Es seien und zwei Punkte im . Bestimme den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in der

a) euklidischen Metrik,

b) der Summenmetrik,

c) und der Maximumsmetrik.

Vergleiche diese verschiedenen Abstände der Größe nach.


Aufgabe (2 Punkte)

Entscheide, ob für vier Punkte in der euklidischen Ebene stets die Abschätzung

gilt.


Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

a) Definiere auf der Einheitssphäre, also der Kugeloberfläche

die „geodätische Metrik“, bei der der Abstand zweier Punkte durch die Länge der kürzesten Verbindung auf der Oberfläche gegeben ist.

b) Zeige, dass es sich um eine Metrik handelt.

c) Welchen Abstand besitzen die Punkte und in der euklidischen und in der geodätischen Metrik?

Die kürzeste Verbindung liegt auf dem Großkreis, den man enthält, wenn man die Kugeloberfläche mit der durch gegebenen Ebene schneidet (wann definieren diese drei Punkte keine Ebene?). Die Formel für den Kreisumfang und die Tatsache, dass der Winkel proportional zur Bogenlänge ist, darf verwendet werden.

Aufgabe (3 Punkte)

Für welche Punkte der Standardparabel wird der Abstand zum Punkt minimal?


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und zwei verschiedene Punkte im und die dadurch definierte Gerade. Zeige, dass abgeschlossen in ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein metrischer Raum und sei eine Folge in , die gegen konvergiere. Es sei eine weitere Folge derart, dass die Abstände eine Nullfolge in sei. Zeige, dass auch gegen konvergiert.



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