Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Arbeitsblatt 36

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es seien ${}L$ und ${}M$ metrische Räume und ${}m\in M$. Zeige, dass die konstante Abbildung

$f\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto m,$

stetig ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass die Identität

$M\longrightarrow M,\,x\longmapsto x,$

stetig ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge mit der induzierten Metrik. Zeige, dass die Inklusion ${}T\subseteq M$ stetig ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und seien ${}a<b<c$ reelle Zahlen. Es seien

$f\colon [a,b]\longrightarrow M$

und

$g\colon [b,c]\longrightarrow M$

stetige Abbildungen mit ${}f(b)=g(b)$. Zeige, dass dann die Abbildung

$h\colon [a,c]\longrightarrow M$

mit

$h(t)=f(t){\text{ für }}t\leq b{\text{ und }}h(t)=g(t){\text{ für }}t>b$

ebenfalls stetig ist.

Aufgabe

Es sei

$f\colon L\longrightarrow M$

eine stetige Abbildung zwischen den metrischen Räumen ${}L$ und ${}M$. Ist das Urbild eines offenen Balles ${}U{\left(y,\epsilon \right)}\subseteq M$ stets wieder ein offener Ball in ${}L$?

Aufgabe

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und sei

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Es sei ${}x\in M$ ein Punkt mit ${}f(x)>0$. Zeige, dass dann auch ${}f(y)>0$ für alle ${}y$ aus einer offenen Ballumgebung von ${}x$ gilt.

Aufgabe

Zeige, dass die Addition

${\mathbb {K} }\times {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x+y,$

und die Multiplikation

${\mathbb {K} }\times {\mathbb {K} }\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(x,y)\longmapsto x\cdot y,$

stetig sind.

Aufgabe

Es seien ${}L,M,N$ metrische Räume und seien

$f:L\longrightarrow M\,\,{\text{ und }}\,\,g:M\longrightarrow N$

Abbildungen. Es sei ${}f$ stetig in ${}x\in L$ und es sei ${}g$ stetig in ${}f(x)\in M$. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung

$g\circ f\colon L\longrightarrow N,\,x\longmapsto g(f(x)),$

stetig in ${}x$ ist.

Kommentar:

Wie in der Vorlesung erwähnt, ist dies am leichtesten, in dem man die Stetigkeit mit Hilfe offener Mengen zeigt. Es geht auch mit dem ${}\epsilon$-${}\delta$-Kriterien. Da wir mehrere stetige Funktionen haben, geben wir den ${}\epsilon$ und ${}\delta$ Indizes, damit wir diese nicht verwechseln. Die Stetigkeit von ${}g$ in ${}f(x)$ liefert, dass für alle ${}\epsilon _{1}>0$ ein ${}\delta _{1}>0$ existiert, sodass

${}g{\left(B\left(f(x),\delta _{1}\right)\right)}\subseteq B\left(g(f(x)),\epsilon _{1}\right)\,.$

Die Stetigkeit von ${}f$ in ${}x$ liefert, dass für alle ${}\epsilon _{2}>0$ ein ${}\delta _{2}>0$ existiert, sodass

${}f{\left(B\left(x,\delta _{2}\right)\right)}\subseteq B\left(f(x),\epsilon _{2}\right)\,.$

Um die Stetigkeit von ${}g\circ f$ in ${}x$ zu zeigen, sei nun ${}\epsilon >0$ und wir müssen zeigen, dass am Ende ein ${}\delta >0$ existiert, sodass

${}g(f{\left(B\left(x,\delta \right)\right)})\subseteq B\left(g(f(x)),\epsilon \right)\,$

ist.

Als erstes nutzt man nun die Steteigkeit von ${}g$, wobei dort jetzt ${}\epsilon$ die Rolle von ${}\epsilon _{1}$ übernimmt. Damit folgt, dass

${}g{\left(B\left(f(x),\delta _{1}\right)\right)}\subseteq B\left(g(f(x)),\epsilon \right)\,$

ist, für ein passendes ${}\delta _{1}$. Als nächstes kann man die Stetigkeit von ${}f$ nutzen. Hierbei nimmt aber das eben erhaltene ${}\delta _{1}$ die Rolle von ${}\epsilon _{2}$ ein. Wir erhalten

${}f{\left(B\left(x,\delta _{2}\right)\right)}\subseteq B\left(f(x),\delta _{1}\right)\,$

für ein gewisses ${}\delta _{2}$. Wendet man hierauf die Funktion ${}g$ an, bleibt die Teilmengenbeziehung erhalten und mit dem Vorherigen kombiniert, erhalten wir insgesamt

${}g(f{\left(B\left(x,\delta _{2}\right)\right)})\subseteq g{\left(B\left(f(x),\delta _{1}\right)\right)}\subseteq B\left(g(f(x)),\epsilon \right)\,.$

Das heißt, mit ${}\delta _{2}$ haben wir die Existenz eines geeigneten ${}\delta$ für die Stetigkeit von ${}g\circ f$ gezeigt.

 

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \vert {z}\vert ,$

stetig ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein euklidischer Raum. Zeige, dass die Norm

$V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v\longmapsto \Vert {v}\Vert ,$

eine stetige Abbildung ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\max {\left(x,y\right)}},$

stetig ist.

Aufgabe

Betrachte die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,$

die durch

$f(x,y):={\begin{cases}0\,,{\text{ falls }}x\leq 0\,,\\0\,,{\text{ falls }}y\leq 0\,,\\y/x\,,{\text{ falls }}x\geq y>0\,,\\x/y\,,{\text{ falls }}y>x>0\,,\end{cases}}$

definiert ist. Zeige, dass die Einschränkung von ${}f$ auf jeder zur ${}x$-Achse oder zur ${}y$-Achse parallelen Geraden stetig ist, dass aber ${}f$ selbst nicht stetig ist.

Aufgabe

Es sei ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ein Untervektorraum im euklidischen Raum ${}\mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass ${}V$ abgeschlossen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Zeige, dass der Graph von ${}f$ abgeschlossen in ${}\mathbb {R} ^{2}$ ist.

Aufgabe *

Es seien ${}L$ und ${}M$ metrische Räume und es seien

$f,g\colon L\longrightarrow M$

zwei stetige Abbildungen. Zeige, dass die Menge

${}N={\left\{x\in L\mid f(x)=g(x)\right\}}\,$

abgeschlossen in ${}L$ ist.

Aufgabe

Wir betrachten die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises, also die Abbildung

$\varphi \colon [0,2\pi [\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t).$

Zeige, dass ${}\varphi$ eine Bijektion zwischen ${}[0,2\pi [$ und dem Einheitskreis definiert, die stetig ist, deren Umkehrabbildung aber nicht stetig ist.

Aufgabe

Es sei ${}X=\mathbb {R} ^{n}$ mit der euklidischen Metrik und ${}Y=\mathbb {R} ^{n}$ mit der diskreten Metrik. Es sei

$f\colon Y\longrightarrow X$

die Identität. Zeige, dass ${}f$ stetig ist, die Umkehrabbildung ${}f^{-1}$ aber nicht.

Zwei metrische Räume ${}L$ und ${}M$ heißen homöomorph, wenn es eine bijektive stetige Abbildung

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

gibt, deren Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$ ebenfalls stetig ist.

Aufgabe *

Zeige, dass das offene Einheitsintervall ${}]0,1[$ und das abgeschlossene Einheitsintervall ${}[0,1]$ nicht homöomorph sind.

Aufgabe

Stifte eine Homöomorphie zwischen der abgeschlossenen Kreisscheibe und dem abgeschlossenen Quadrat.

Aufgabe

Es sei ${}I=[a,b[$ ein halboffenes Intervall. Kann man ${}I$ in zwei disjunkte Unterräume ${}I=T_{1}\cup T_{2}$ derart zerlegen, dass ${}T_{1}$ und ${}T_{2}$ untereinander homöomorph sind?

Kommentar:

Nach Satz 36.3 ist eine Abbildung zwischen metrischen Räumen genau dann stetig, wenn Urbilder offener Mengen wieder offen sind. Von daher würden wir direkt Probleme bekommen, wenn wir ${}I$ zum Beispiel in ein offenes Intervall und ein geschlossenes Intervall zerlegen würden (zum Beispiel

$T_{1}=[a,{\frac {a+b}{2}}]\quad {\text{und}}\quad T_{2}=]{\frac {a+b}{2}},b[$

), da dies ein Widerspruch zu Aufgabe ***** wäre.

${}T_{1}$ und ${}T_{2}$ müssen natürlich nicht unbedingt aus jeweils einem Teilintervall bestehen und könnten komplizierter sein. Es macht aber Sinn, es erst einmal so einfach wie möglich zu halten. Deswegen versuchen wir es mit der Aufteilung in

$T_{1}=[a,{\frac {a+b}{2}}[\quad {\text{und}}\quad T_{2}=[{\frac {a+b}{2}},b[.$

Nun können wir die Abbildung

$f\colon T_{1}\longrightarrow T_{2},\,x\longmapsto x+{\frac {b-a}{2}},$

definieren. Dies ist eine einfach Verschiebung oder Translation.

Ihre Inverse ist dann

$f^{-1}\colon T_{2}\longrightarrow T_{1},\,y\longmapsto y-{\frac {b-a}{2}}.$

Dass beide stetig sind, lässt sich leicht dadurch sehen, dass offene Mengen nach Verschiebung weiterhin offen sind.

 

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Polynomfunktion und ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit den zugehörigen Koordinatenfunktionen ${}z_{i},\,i=1,\ldots ,n$. Zeige, dass ${}f$ auch eine Polynomfunktion in diesen Koordinaten ist.

Aufgabe

Es sei

$f\colon {\mathbb {K} }^{m}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{n}$

eine Abbildung, die in jeder Komponente polynomial sei und sei

$g\colon {\mathbb {K} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine polynomiale Funktion. Zeige, dass dann auch die Hintereinanderschaltung ${}g\circ f$ eine polynomiale Funktion ist.

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ und sei ${}G=\operatorname {Gl} (n,\mathbb {R} )$ die Menge der reellen invertierbaren ${}n\times n$-Matrizen. Zeige, dass die Abbildung

$G\longrightarrow G,\,M\longmapsto M^{-1},$

stetig ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Im Nullpunkt ${}0\in \mathbb {R} ^{3}$ befinde sich die Pupille eines Auges (oder eine Linse) und die durch ${}x=-1$ bestimmte Ebene sei die Netzhaut ${}N\cong \mathbb {R} ^{2}$ (oder eine Fotoplatte). Bestimme die Abbildung

$\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},$

die das Sehen (oder Fotografieren) beschreibt (d.h. einem Punkt des Halbraumes wird durch den Lichtstrahl ein Punkt der Netzhaut zugeordnet). Ist diese Abbildung stetig, ist sie linear?

Aufgabe (8 Punkte)

Ein Billardtisch sei ${}127$ cm breit und ${}254$ cm lang, die Kugeln haben einen Radius von ${}2$ cm und die Ecklöcher seien ein Viertelkreis mit Radius ${}5$ cm um einen Eckpunkt. An den Tisch sei ein Koordinatensystem angelegt, das parallel zu den Tischseiten verläuft und bei dem die linke untere Ecke der Nullpunkt sei.

Berechne für die linke untere Ecke die Koordinaten der beiden Punkte des Lochrandes, durch die der Mittelpunkt einer Kugel hindurch muss, wenn sie eingelocht werden soll. Wie lang ist der Abstand zwischen diesen beiden Punkten, wie lang ist die Lochberandung zwischen diesen Punkten?

Eine Kugel soll nun direkt (ohne Verwendung von Bande oder anderen Kugeln) in dieses Loch versenkt werden, wobei der Queuestoß stets in Richtung der Kugelmitte und an deren „Äquator“ durchgeführt wird. Welche Winkeltoleranz zum Versenken der Kugel liegt vor, wenn der Kugelmittelpunkt die folgende Position besitzt:

a) (63.5, 63.5)

b) (100, 100)

c) (63.5, 192,5)

d) (63.5, 10)

Welche Länge hat das zugehörige Kreissegment auf der Kugel?

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Determinante

${\mathbb {K} }^{n^{2}}\cong \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })\longrightarrow {\mathbb {K} },\,M\longmapsto \det M,$

eine polynomiale Funktion ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe eine Homöomorphie zwischen ${}]0,1[$ und ${}\mathbb {R}$ an.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}I={]a,b[}$ ein offenes Intervall. Kann man ${}I$ in zwei disjunkte Unterräume ${}I=T_{1}\cup T_{2}$ derart zerlegen, dass ${}T_{1}$ und ${}T_{2}$ untereinander homöomorph sind?

Aufgabe (10 Punkte)

Es sei ${}I=[a,b]$ ein abgeschlossenes Intervall. Kann man ${}I$ in zwei disjunkte Unterräume ${}I=T_{1}\cup T_{2}$ derart zerlegen, dass ${}T_{1}$ und ${}T_{2}$ untereinander homöomorph sind?

Fußnoten