Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Arbeitsblatt 34

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass das Standardskalarprodukt auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ in der Tat ein Skalarprodukt ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei  ${}U\subseteq V$  ein Untervektorraum. Zeige, dass die Einschränkung des Skalarproduktes auf ${}U$ ebenfalls ein Skalarprodukt ist.

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$. Zeige, dass die Beziehung

${}\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {w}\Vert ^{2}\right)}\,$

gilt.

Aufgabe *

Was bedeutet die Polarisationsformel für ein reelles Skalarprodukt für die Multiplikation von reellen Zahlen?

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Bestätige

${}\Vert {x+y}\Vert ^{2}-\Vert {x-y}\Vert ^{2}=4\left\langle x,y\right\rangle \,.$

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$. Zeige, dass die sogenannte Parallelogrammgleichung

${}\Vert {v+w}\Vert ^{2}+\Vert {v-w}\Vert ^{2}=2\Vert {v}\Vert ^{2}+2\Vert {w}\Vert ^{2}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften besitzt (dabei sind ${}u,v,w\in V$).

1. Es ist ${}d(v,w)\geq 0$.
2. Es ist ${}d(v,w)=0$ genau dann, wenn ${}v=w$.
3. Es ist ${}d(v,w)=d(w,v)$.
4. Es ist

   ${}d(u,w)\leq d(u,v)+d(v,w)\,.$

Aufgabe

Es sei  ${}n\geq 2$.  Zeige, dass für die Norm  ${}\Vert {x}\Vert :=\operatorname {max} \{\vert {x_{i}}\vert :1\leq i\leq n\}$  auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ kein Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ mit der Eigenschaft  ${}\Vert {x}\Vert ={\sqrt {\left\langle x,x\right\rangle }}$  existiert.

Aufgabe

Bestimme, welche der folgenden Vektoren im ${}\mathbb {R} ^{3}$ zueinander orthogonal bezüglich des Standardskalarproduktes sind.

${\begin{pmatrix}6\\1\\5\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\-8\\-2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\-1\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-5\\4\\-1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei  ${}U\subseteq V$  ein Untervektorraum. Zeige, dass das orthogonale Komplement ebenfalls ein Untervektorraum von ${}V$ ist.

Kommentar:

Ein Vektor ${}v\in V$ liegt im orthogonalen Komplement von ${}U$, falls für alle ${}u\in U$ gilt, dass ${}u$ und ${}v$ orthogonal zueinander stehen, d.h. ${}\langle v,u\rangle =0$. Häufig wird das orthogonale Komplement mit ${}U^{\bot }$ bezeichnet.

Um zu zeigen, dass das orthogonale Komplement selbst ein Untervektorraum ist (es ist eben der Untervektorraum, der senkrecht zu ${}U$ steht), müssen wir uns vergewissern, dass Addition und Skalarmultiplikation die Orthogonalitätsbeziehung erhalten. Tatsächlich gilt für ${}v,v'\in U^{\bot }$, ${}s\in \mathbb {R}$ und ${}u\in U$:

$\langle v+v',u\rangle =\langle v,u\rangle +\langle v',u\rangle =0$

sowie

$\langle sv,u\rangle =s\langle v,u\rangle =0,$

wodurch gezeigt ist, dass die Orthogonalität erhalten bleibt. Hier geht wesentlich ein, dass das Skalarprodukt im ersten Argument linear ist.

Die Menge der zu ${}U$ orthogonalen Vektoren spielt also eine besondere Rolle. Beispielsweise ist die Menge ${}\lbrace v\in V\mid \langle v,u\rangle ={\tfrac {1}{2}}{\text{ für alle }}u\in U\rbrace$ kein Untervektorraum (Welche Menge wird hierdurch beschrieben, falls etwa ${}U$ ein eindimensionaler Unterraum des ${}\mathbb {R} ^{3}$ ist?).

 

Aufgabe

Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von ${}{\begin{pmatrix}8\\3\\-6\\-4\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}4\\-2\\7\\5\end{pmatrix}}$ erzeugten Untervektorraum im ${}\mathbb {R} ^{4}$.

Aufgabe *

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

${\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}$

des ${}\mathbb {R} ^{3}$ an.

Aufgabe *

Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von ${}{\begin{pmatrix}-2\\8\\9\end{pmatrix}}$ erzeugten Untervektorraum im ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe

Der ${}\mathbb {R} ^{3}$ sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei  ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$  der Kern der linearen Abbildung

$\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto 3x+y+7z,$

versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine Orthonormalbasis für ${}U$.

Es seien ${}V,W$ Vektorräume über ${}{\mathbb {K} }$ mit Skalarprodukten und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung. Dann heißt ${}\varphi$ eine Isometrie, wenn

${}\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,$

für alle  ${}v,w\in V$  gilt.

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum der Dimension ${}n$. Zeige, dass eine Vektorfamilie  ${}u_{1},\ldots ,u_{n}\in V$  genau dann eine Orthonormalbasis von ${}V$ ist, wenn die zugehörige lineare Abbildung

$\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow V,\,e_{i}\longmapsto u_{i},$

eine Isometrie zwischen ${}\mathbb {R} ^{n}$ und ${}V$ ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven linearen Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

an, die keine Isometrie ist, für die aber für alle  ${}u,v\in V$  die Beziehung

$\left\langle u,v\right\rangle =0{\text{ genau dann, wenn }}\left\langle \varphi (u),\varphi (v)\right\rangle =0$

gilt.

Kommentar:

Als Isometrie wird eine lineare Abbildung bezeichnet, die Skalarprodukte zwischen je zwei Vektoren invariant lässt. Da die Norm eines Vektors und der Winkel zwischen zwei Vektoren über das Skalarprodukt definiert werden, bedeutet das, dass Längen und Winkel durch Isometrien erhalten bleiben. Somit sind Isometrien Rotationen oder auch Spiegelungen.

Die Forderung dieser Aufgabe ist eine Abschwächung davon. Die gesuchte Abbildung ${}\varphi$ erhält die Orthogonalität zwischen zwei Vektoren, die bezüglich des auf ${}V$ definierten Skalarprodukts orthogonal zueinander stehen. Falls rechte Winkel erhalten bleiben, so bleiben bereits alle Winkel unverändert.

Für ${}\varphi$ kommen somit Abbildungen in Betracht, die die Länge von Vektoren ändern, wie zum Beispiel das Skalieren ${}\varphi (v)=sv$ für geeignetes ${}s\in \mathbb {R}$. Tatsächlich gilt dann für ${}v,w\in V$:

$\langle \varphi (v),\varphi (w)\rangle =\langle sv,sw\rangle =s\langle v,sw\rangle =s^{2}\langle v,w\rangle ,$

wobei wir die Bilinearität des Skalarprodukts ausnutzen. Damit keine Isometrie vorliegt, müssen wir ${}s\neq 1,-1$ wählen: für ${}s=-1$ liegt eine Punktspiegelung vor, für ${}s=1$ die Identität. Außerdem müssen wir ${}s\neq 0$ wählen, um eine Bijektion zu erhalten.

Jetzt können wir überprüfen, ob ${}\varphi$ die gewünschte Eigenschaft besitzt. Falls ${}\langle v,w\rangle =0$ ist, so gilt offenbar auch

$\langle \varphi (v),\varphi (w)\rangle =s^{2}\langle v,w\rangle =0$

und die Umkehrung folgt analog.

Es sei angemerkt, dass bei diesen Überlegungen überhaupt nicht eingegangen ist, mit welchem Sklalarprodukt wir es genau zu tun haben, sondern die Betrachtung gilt allgemein. Es muss nicht das Standardskalarprodukt sein, aber die genaue Bedeutung von Orthogonalität ist dann eine andere.

Es gibt noch viele weitere lineare Abbildungen, die die Forderungen der Aufgabe erfüllen. Welche sind das genau? (Übrigens: Es gibt auch winkelerhaltende Abbildungen, die nicht linear sind, zum Beispiel einige Kartenprojektionen, aber die sind hier nicht gemeint.)

 

Aufgabe

Betrachte die Linearform

$L\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x+3y-4z.$

a) Bestimme den Vektor  ${}u\in \mathbb {R} ^{3}$  mit der Eigenschaft

$\left\langle u,v\right\rangle =L(v){\text{ für alle }}v\in \mathbb {R} ^{3},$

wobei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ das Standardskalarprodukt bezeichnet.

b) Es sei  ${}E={\left\{(x,y,z)\mid 3x-2y-5z=0\right\}}\subset \mathbb {R} ^{3}$  und es sei  ${}\varphi =L{|}_{E}$  die Einschränkung von ${}L$ auf ${}E$. Bestimme den Vektor  ${}w\in E$  mit der Eigenschaft

$\left\langle w,v\right\rangle =\varphi (v){\text{ für alle }}v\in E,$

wobei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ die Einschränkung des Standardskalarprodukts auf ${}E$ bezeichnet.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und  ${}U\subseteq V$  ein Untervektorraum, der mit dem induzierten Skalarprodukt versehen sei. Es sei

$f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Linearform und  ${}v\in V$  der zugehörige Gradient im Sinne von Lemma 34.18. Zeige, dass der Gradient  ${}u\in U$  zur Einschränkung ${}f{|}_{U}$ die orthogonale Projektion von ${}v$ auf ${}U$ ist.

Kommentar:

Der nach dem Lemma eindeutig bestimmte Vektor ${}v$ hat die Eigenschaft, dass ${}f(w)=\langle v,w\rangle$ für alle ${}w\in V$ gilt und die Linearform damit vollständig festlegt wird. Für die Einschränkung auf ${}U$ gilt entsprechend

$f\vert _{U}\colon U\to \mathbb {R} ,\quad f\vert _{U}(w){=}\langle v,w\rangle .$

Nun ist ${}f\vert _{U}$ eine Linearform zum Vektorraum ${}U$, sodass nach dem Lemma ein Vektor ${}u\in U$ existieren muss, für den ${}f\vert _{U}(w)=\langle u,w\rangle _{U}$ für alle ${}w\in U$ gilt. Für ${}v$ selbst gilt dies nicht, da dieser Vektor nicht in ${}U$ enthalten sein muss. Hier schreiben wir ${}\langle {-},{-}\rangle _{U}$ für das induzierte Skalarprodukt auf ${}U$, um es vom Skalarprodukt auf ${}V$ zu unterscheiden. Es ist nur für Elemente aus ${}U$ definiert.

Da der Vektor ${}u$ eindeutig bestimmt ist, reicht es zu zeigen, dass die orthogonale Projektion ${}p$ von ${}v$ die gewünschte Eigenschaft besitzt. Im Weiteren nehmen wir also an, dass ${}u=p(v)$.

Nun können wir einen Vektor ${}v'$ definieren mit der Eigenschaft ${}v=u+v'$. Anschauchlich bedeutet dies, dass wir ${}v$ in zwei Teile zerlegen: die Projektion auf ${}U$ und den orthogonal dazu stehenden Anteil. Es empfiehlt sich diese Situation zu skizzieren. Tatsächlich gilt nun

$u=p(v){=}p(u+v'){=}p(u)+p(v'){=}u+p(v')$

unter Ausnutzung der Linearität von ${}p$ und der Eigenschaft, dass ${}p(u)=u$. Somit ist ${}p(v')=0$ und ${}v'$ im Kern von ${}p$. Per Definition der orthogonalen Projektion steht somit ${}v'$ orthogonal zu jedem Vektor ${}w\in U$, also ${}\langle v',w\rangle =0$. Schließlich folgt

$f\vert _{U}(w){=}\langle v,w\rangle {=}\langle u+v',w\rangle {=}\langle u,w\rangle +\langle v',w\rangle {=}\langle u,w\rangle _{U},$

wobei die Bilinearität des Skalarprodukts eingeht.

 

Aufgabe

Wir betrachten die Linearform

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x+y.$

1. Bestimme den Gradienten zu ${}\varphi$ bezüglich des Standardskalarproduktes.
2. Bestimme den Gradienten zu ${}\varphi$ bezüglich des Skalarproduktes ${}\Psi$ auf ${}\mathbb {R} ^{2}$, das durch

   ${}\Psi {\left({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}z\\w\end{pmatrix}}\right)}=2xz+3yw\,$

   gegeben ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Beweise den Satz des Pythagoras: Für zwei Vektoren ${}v,w\in V$, die senkrecht aufeinander stehen, gilt die Beziehung

${}\Vert {v+w}\Vert ^{2}=\Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von ${}{\begin{pmatrix}5\\8\\-3\\9\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}6\\2\\0\\3\end{pmatrix}}$ erzeugten Untervektorraum im ${}\mathbb {R} ^{4}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und sei  ${}u_{1},\ldots ,u_{n}\in V$  eine Orthonormalbasis von ${}V$. Zeige, dass für jeden Vektor  ${}v\in V$  die Beziehung

${}v=\sum _{i=1}^{n}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\,$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

${\begin{pmatrix}-1\\2\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\-4\\5\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}7\\3\\1\end{pmatrix}}$

des ${}\mathbb {R} ^{3}$, versehen mit dem Standardskalarprodukt, an.

Aufgabe (4 Punkte)

Der ${}\mathbb {R} ^{4}$ sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei  ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{4}$  der Kern der linearen Abbildung

$\mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z,w)\longmapsto 4x-3y+2z-5w,$

versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine Orthonormalbasis für ${}U$.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}\varphi$ ist eine Isometrie.
2. Für jeden Vektor ${}v$ mit  ${}\Vert {v}\Vert =1$  ist auch  ${}\Vert {\varphi (v)}\Vert =1$. 
3. Für jede Orthonormalbasis ${}u_{i},i=1,\ldots ,n$, ist auch ${}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, eine Orthonormalbasis.
4. Es gibt eine Orthonormalbasis ${}u_{i},i=1,\ldots ,n$, derart, dass auch ${}\varphi (u_{i}),i=1,\ldots ,n$, eine Orthonormalbasis ist.