Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Arbeitsblatt 40

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems

$v'={\begin{pmatrix}3\\-2\\-5\end{pmatrix}}{\text{ mit }}v(2)={\begin{pmatrix}-4\\6\\-1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems

$v'={\begin{pmatrix}t^{2}-\sin t\\\cos ^{2}t\end{pmatrix}}{\text{ mit }}v(1)={\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems zum Vektorfeld

$F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,x,y)\longmapsto (-ay,ax),$

und zur Anfangsbedingung ${}v(s)=(b,c)$

(dabei seien ${}a,b,c,s\in \mathbb {R}$ fixierte reelle Zahlen).

Aufgabe

Wie löst man eine gewöhnliche Differentialgleichung zu einem stetigen ortsunabhängigen Vektorfeld

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v)=g(t)?$

Aufgabe

Es sei

$F\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v),$

ein Vektorfeld. Zeige, dass eine konstante Abbildung

$\varphi \colon I\longrightarrow U,\,t\longmapsto \varphi (t)=c,$

genau dann eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung ${}v'=F(t,v)$ ist, wenn ${}F(t,c)=0$ für alle ${}t\in I$ ist.

Kommentar:

Rein formal ist eine Äquivalenz zu zeigen. Diese kann wie üblich durch Beweis der beiden Teilimplikationen gezeigt werden. Für die erste nehmen wir an, dass das konstante ${}\varphi$ mit Wert ${}c$ eine Lösung ist. Hiermit müssen wir zeigen, dass ${}F(t,c)=0$ ist für alle ${}t\in I$. Da ${}\varphi$ eine Lösung ist, muss es natürlich die Differentialgleichung erfüllen. Es muss also

$\varphi '=F(t,\varphi )$

sein. Nun ist ${}\varphi$ konstant gleich ${}c$ und seine Ableitung in jeder Komponente Null. Deshalb bekommen wir

$0=F(t,\varphi )=F(t,c)$

für alle ${}t\in I$.

Andererseits, wenn ${}F(t,c)=0$ ist für alle ${}t\in I$, dann erfüllt das ${}\varphi$, das konstant den Wert ${}c$ annimmt, die Differentialgleichung. Das wird durch die Einsetzung

$0=\varphi '=F(t,\varphi )=F(t,c)=0$

bestätigt.

Das ganze kann im Windmodell interpretiert werden. Falls es an einem Ort ${}c$ im Raum für alle Zeiten ${}t\in I$ windstill ist, bleibt die Position des Telchens dort (beschrieben durch die Funktion ${}\varphi$) unverändert und andersherum, wenn ein Teilchen an einem Ort ${}c$ für die Zeiten ${}t\in I$ ruht, dann ist es dort auch windstill.

Es sollte noch darüber nachgedacht werden, dass wenn ein Anfangswert wie zum Beispiel ${}\varphi (t_{0})=b$ mit ${}t_{0}\in I$ und ${}b\neq c$ zur Differentialgleichung hinzukommt, die Funktion konstant gleich ${}c$ keine Lösung für das Anfangswertproblem sein kann.

 

Aufgabe

Löse das Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'=txy^{2}{\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}}\,$

mit der Anfangsbedingung

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\,$

zum Zeitpunkt ${}0$.

Aufgabe *

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow V,\,t\longmapsto \varphi (t),$

eine Lösung der zeitunabhängigen Differentialgleichung

${}v'=F(t,v)=F(v)\,$

zum Vektorfeld

$F\colon V\longrightarrow V.$

Zeige, dass auch

${}\psi (t):=\varphi (t+c)\,$

zu jedem ${}c\in \mathbb {R}$ eine Lösung ist.

Aufgabe

Es sei ${}W\subseteq V$ ein Untervektorraum in einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum ${}V$. Es sei

$F\colon I\times V\longrightarrow V$

ein Vektorfeld auf ${}V$ mit der Eigenschaft, dass ${}F(t,v)\in W$ für alle ${}(t,v)\in V$ gilt. Zeige, dass jede Lösung zur Differentialgleichung

${}v'=F(t,v)\,$

ganz in einer Teilmenge der Form ${}P+W$ (einem affinen Unterraum von ${}V$) verläuft.

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum, ${}u\in V$ ein fixierter Vektor und

$F\colon \mathbb {R} \times V\longrightarrow V$

ein stetiges Vektorfeld mit der Eigenschaft

${}F(t,v)=F(t,v+u)\,$

für alle ${}v\in V$. Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow V$

eine Lösung zur Differentialgleichung

${}v'=F(t,v)\,.$

Zeige, dass auch

${}\psi (t):=\varphi (t)+u\,$

eine Lösung dieser Differentialgleichung ist.

Aufgabe

Es sei ein entkoppeltes Differentialgleichungssystem zum Vektorfeld

${}F(t,x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(t,x_{1}),\ldots ,f_{n}(t,x_{n}))\,$

gegeben. Erläutere, wie sich die Lösungen der einzelnen Differentialgleichungen ${}x_{i}'=f_{i}(t,x_{i})$ zur Gesamtlösung verhalten, wie dabei die Definitionsintervalle der Lösungen zusammenhängen und was man über die Eindeutigkeit von Lösungen aussagen kann.

Kommentar:

Wir sollten uns zu Beginn klar machen, dass das Differntialgleichungssystem zum vorliegenden Vektorfeld bereits bezüglich der Standartbasis des ${}\mathbb {R} ^{n}$ entkoppelt ist. Das heißt, dass die ${}i$-te Koordinate der Ableitung der Lösungsfunktion, ${}x_{i}'$, nur von der ${}i$-ten Koordiante der Lösungsfunktion, ${}x_{i}$, abhängt. Dabei ist die Koordinate bezüglich der Standardbasis gemeint. Wir müssen aber beachten, dass die ${}x_{i}'$ alle von demselben Zeitparameter ${}t$ abhängen. Hierzu kommen wir gleich. Wie im Beispiel erwähnt, muss nun für jede Koordinate lediglich die eindimensionale Differntialgleichung

$x_{i}'=f_{i}(t,x_{i})$

gelöst werden. Dabei können diese natürlich von verschienden Typen sein, z.B. in einer Koordinate ist es eine gewöhnliche homogene Differntialgleichung und in einer anderen Koordinate ist es eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen. Falls wir die Differentialgleichungen in jeder Koordinate lösen können, erhalten wir die Funktionen

$x_{i}\colon I_{i}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto x_{i}(t).$

Dabei sind ${}I_{i}\subset \mathbb {R}$ offene Intervalle, auf denen die einzelnen Lösungen existieren. Die Gesamtlösung besteht nun Koordinatenweise aus den Einzellösungen

$x\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto (x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t)).$

Das Intervall ${}I$, auf dem die Gesamtlösung existiert, ist dabei gleich dem Schnitt über die einzelenen Lösungsintervall der Koordianten, ${}I=I_{1}\cap \cdots \cap I_{n}$. Dies liegt daran, dass sich, wie zu Beginn erwähnt, alle Koordinaten den Zeitparameter ${}t$ teilen. Dies führt auch dazu, dass wenn zwei Einzellösungen nur zu unterschiedlichen Zeiten existieren, die Gesamtlösung des Systems leer ist.

Falls ein Anfangswert vorgegeben ist und die koordiantenweisen Einzellösungen dadurch eindeutig bestimmt sind (dies ist immer der Fall, wenn diese von bereits bekannten Typen sind), dann ist auch die Gesamtlösung aufgrund der Eindeutigkeit der Basisdarstellung eindeutig.

 

Aufgabe

Finde alle Lösungen des Differentialgleichungssystems zum Vektorfeld

$F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,x,y)\longmapsto {\left(t^{2}x,yt+\sin t\right)}.$

Aufgabe *

a) Zeige, dass die archimedischen Spiralen

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(at\cos \left(t+t_{0}\right),\,at\sin \left(t+t_{0}\right)\right),$

(zu fixierten $a,t_{0}\in \mathbb {R}$) Lösungskurven für die Differentialgleichung (bei ${}t>0$)

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}-y+{\frac {x}{t}}\\x+{\frac {y}{t}}\end{pmatrix}}\,$

sind.

b) Man gebe eine Lösung für das Anfangswertproblem

${}v{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}={\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}\,$

zu dieser Differentialgleichung an.

Aufgabe

Finde die Lösung ${}\varphi$ des Anfangswertproblems für das Zentralfeld

$F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,v,w)\longmapsto {\left(t^{2}-t\right)}(v,w)={\left({\left(t^{2}-t\right)}v,{\left(t^{2}-t\right)}w\right)},$

mit ${}\varphi (0)=(1,1)$.

Kommentar:

Zuerst einmal ist zu beachten, dass hier ${}v$ und ${}w$ die Koordinaten des Ortes sind, wo hingegen in der Definition des Zentralfeldes mit ${}v$ der gesamte Ortsverktor bezeichnet wird. Es liegt ein Zentralfeld mit der reellwertigen und stetigen Funktion

$g(t,v,w)=g(t)=(t^{2}-t)$

vor. Das heißt, hier haben wir den Sonderfall, dass diese unabhängig vom Ort ist. Deshalb wird es auf das Lösen einer eindimensionalen gewöhnlichen Differntialgleichung hinauslaufen. Die Lösung wird aber am Ende in die Richtung des gegebenen Startvektors ${}(1,1)$ verlaufen, was charakteristisch für Zentralfelder ist. Wir benutzen Lemma 40.13 und müssen hierfür die eindimensionale Differentialgleichung

$z'=g(t,z(1,1))\cdot z,\quad {\text{also}}\quad z'=(t^{2}-t)\cdot z,$

mit Anfangswert ${}\alpha (t_{0})=\alpha (0)=1$ lösen. Diese ist homogen und da ${}{\frac {1}{3}}t^{3}-{\frac {1}{2}}t^{2}+c$ die Stammfunktion von ${}g$ ist, ergibt sich mit Satz 32.2, dass ${}\alpha (t)=c\cdot \exp({\frac {1}{3}}t^{3}-{\frac {1}{2}}t^{2})$ mit ${}c\in \mathbb {R}$ (dieses ist nicht das selbe wie in der Stammfunktion) die Lösungen sind. Nutzt man die Anfangsbedingung ergibt sich ${}c=1$. Damit ist ${}\alpha (t)=\exp({\frac {1}{3}}t^{3}-{\frac {1}{2}}t^{2})$ die eindeutige Lösung. Insgesamt haben wir als Lösung für unserer Aufgabe somit

$\varphi (t)=\exp({\frac {1}{3}}t^{3}-{\frac {1}{2}}t^{2})\cdot (1,1).$

Denkt man dabei an ein Teilchen, dass sich zum Zeitpunkt Null an der Stelle ${}(1,1)$ befindet und aufgrund des Zentralfeldes bewegt wird, beschreibt die Lösung ${}\varphi (t)$ den Ort im ${}\mathbb {R} ^{2}$ zum Zeitpunkt ${}t$. Anhand der Lösung ist auch zu erkennen, dass es sich nur in Richtung des Ortsvektors, also auf der Geraden, die durch den Ursprung und ${}(1,1)$ geht, bewegt. Das ist bei einem Zentralfeld auch zu erwarten.

 

Aufgabe *

Bestimme die Lösung ${}\varphi$ des Anfangswertproblems für das Zentralfeld

$F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,x,y)\longmapsto e^{t}x{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},$

mit ${}\varphi (0)={\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}}$.

Aufgabe *

Es sei ein Vektorfeld der Form

$F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(t,\,x,\,y\right)\longmapsto h\left(t,\,x,\,y\right){\begin{pmatrix}y\\-x\end{pmatrix}},$

mit einer stetigen Funktion

$h\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(t,\,x,\,y\right)\longmapsto h\left(t,\,x,\,y\right),$

gegeben. Die Richtungsvektoren stehen also stets senkrecht zu den Ortsvektoren. Es sei ${}r\in \mathbb {R}$ und es sei

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine Lösung zur eindimensionalen Differentialgleichung

${}y'=-h(t,r\cos y(t),r\sin y(t))\,.$

Zeige, dass

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}r\cos \left(g(t)\right)\\r\sin \left(g(t)\right)\end{pmatrix}},$

eine Lösung der Differentialgleichung

${}v'=F(t,v)\,$

ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems

$v'=\left(-\sin ^{3}t\cos t,\,{\frac {t^{3}-t+1}{t^{2}-4}}\right){\text{ mit }}v(0)=\left(3,\,7\right).$

Aufgabe (4 Punkte)

Finde die Lösung des Anfangswertproblems zum Vektorfeld

$F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \pi )\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,x,y)\longmapsto {\left(xt-3(t+1)e^{-t},{\frac {t^{2}}{\sin y}}\right)}$

und zur Anfangsbedingung ${}v(0)=(2,0)$.

Aufgabe (3 Punkte)

Löse das Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'=t^{2}(x-y){\begin{pmatrix}3\\-8\end{pmatrix}}\,$

mit der Anfangsbedingung

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\,$

zum Zeitpunkt ${}0$.

Aufgabe (4 Punkte)

Finde die Lösung ${}\varphi$ des Anfangswertproblems für das Zentralfeld

$F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,v,w)\longmapsto (t^{3}-t)(v,w)=((t^{3}-t)v,(t^{3}-t)w),$

mit ${}\varphi (0)=(2,3)$.

Aufgabe (4 Punkte)

Finde die Lösung ${}\varphi$ des Anfangswertproblems für das Zentralfeld

$F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,v,w)\longmapsto (t^{2}v)(v,w)=(t^{2}v^{2},t^{2}vw),$

mit ${}\varphi (0)=(5,-1)$.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}U\subseteq V$ offen und

$F\colon U\longrightarrow V$

ein zeitunabhängiges Vektorfeld. Es sei

$v\colon J\longrightarrow U$

eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung ${}v'=F(v)$. Es gebe zwei Zeitpunkte ${}t_{0}\neq t_{1}$ in ${}J$ mit ${}v(t_{0})=v(t_{1})$. Zeige, dass es dann eine auf ganz ${}\mathbb {R}$ definierte Lösung dieser Differentialgleichung gibt.

Fußnoten