- Übungsaufgaben
Bestimme die[1]
Lösung des Anfangswertproblems
-
Bestimme die
Lösung des Anfangswertproblems
-
Bestimme die Lösung des
Anfangswertproblems
zum
Vektorfeld
-
und zur Anfangsbedingung
(dabei seien
fixierte reelle Zahlen).
Es sei
-
ein
Vektorfeld.
Zeige, dass eine
konstante Abbildung
-
genau dann eine Lösung der
zugehörigen Differentialgleichung
ist, wenn
für alle
ist.
Rein formal ist eine Äquivalenz zu zeigen. Diese kann wie üblich durch Beweis der beiden Teilimplikationen gezeigt werden.
Für die erste nehmen wir an, dass das konstante
mit Wert
eine Lösung ist.
Hiermit müssen wir zeigen, dass
ist für alle
.
Da
eine Lösung ist, muss es natürlich die Differentialgleichung erfüllen. Es muss also
-
sein. Nun ist
konstant gleich
und seine Ableitung in jeder Komponente Null. Deshalb bekommen wir
-
für alle
.
Andererseits, wenn
ist für alle
, dann erfüllt das
, das konstant den Wert
annimmt, die Differentialgleichung. Das wird durch die Einsetzung
-
bestätigt.
Das ganze kann im Windmodell interpretiert werden. Falls es an einem Ort
im Raum für alle Zeiten
windstill ist, bleibt die Position des Telchens dort (beschrieben durch die Funktion
) unverändert und andersherum, wenn ein Teilchen an einem Ort
für die Zeiten
ruht, dann ist es dort auch windstill.
Es sollte noch darüber nachgedacht werden, dass wenn ein Anfangswert wie zum Beispiel
mit
und
zur Differentialgleichung hinzukommt, die Funktion konstant gleich
keine Lösung für das Anfangswertproblem sein kann.
Diskutieren und Fragen
Löse das Differentialgleichungssystem
-

mit der Anfangsbedingung
-

zum Zeitpunkt
.
Es sei
-
eine
Lösung
der zeitunabhängigen
Differentialgleichung
-

zum Vektorfeld
-
Zeige, dass auch
-

zu jedem
eine Lösung ist.
Es sei
ein
euklidischer Vektorraum,
ein fixierter Vektor und
-
ein stetiges Vektorfeld mit der Eigenschaft
-

für alle
.
Es sei
-
eine Lösung zur Differentialgleichung
-

Zeige, dass auch
-

eine Lösung dieser Differentialgleichung ist.
Es sei ein
entkoppeltes Differentialgleichungssystem
zum
Vektorfeld
-

gegeben. Erläutere, wie sich die Lösungen der einzelnen Differentialgleichungen
zur Gesamtlösung verhalten, wie dabei die Definitionsintervalle der Lösungen zusammenhängen und was man über die Eindeutigkeit von Lösungen aussagen kann.
Wir sollten uns zu Beginn klar machen, dass das Differntialgleichungssystem zum vorliegenden Vektorfeld bereits bezüglich der Standartbasis des
entkoppelt ist. Das heißt, dass die
-te Koordinate der Ableitung der Lösungsfunktion,
, nur von der
-ten Koordiante der Lösungsfunktion,
, abhängt. Dabei ist die Koordinate bezüglich der Standardbasis gemeint.
Wir müssen aber beachten, dass die
alle von demselben Zeitparameter
abhängen. Hierzu kommen wir gleich.
Wie im
Beispiel
erwähnt, muss nun für jede Koordinate lediglich die eindimensionale Differntialgleichung
-
gelöst werden.
Dabei können diese natürlich von verschienden Typen sein, z.B. in einer Koordinate ist es eine
gewöhnliche homogene Differntialgleichung
und in einer anderen Koordinate ist es eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen.
Falls wir die Differentialgleichungen in jeder Koordinate
lösen können,
erhalten wir die Funktionen
-
Dabei sind
offene Intervalle, auf denen die einzelnen Lösungen existieren.
Die Gesamtlösung besteht nun Koordinatenweise aus den Einzellösungen
-
Das Intervall
, auf dem die Gesamtlösung existiert, ist dabei gleich dem Schnitt über die einzelenen Lösungsintervall der Koordianten,
. Dies liegt daran, dass sich, wie zu Beginn erwähnt, alle Koordinaten den Zeitparameter
teilen. Dies führt auch dazu, dass wenn zwei Einzellösungen nur zu unterschiedlichen Zeiten existieren, die Gesamtlösung des Systems leer ist.
Falls ein Anfangswert vorgegeben ist und die koordiantenweisen Einzellösungen dadurch eindeutig bestimmt sind (dies ist immer der Fall, wenn diese von bereits bekannten Typen sind), dann ist auch die Gesamtlösung aufgrund der Eindeutigkeit der Basisdarstellung eindeutig.
Diskutieren und Fragen
Finde alle
Lösungen des Differentialgleichungssystems zum
Vektorfeld
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a) Zeige, dass die archimedischen Spiralen
-
(zu fixierten
)
Lösungskurven
für die
Differentialgleichung
(bei
)
-

sind.
b) Man gebe eine Lösung für das
Anfangswertproblem
-

zu dieser Differentialgleichung an.
Finde die Lösung
des
Anfangswertproblems für das
Zentralfeld
-
mit
.
Zuerst einmal ist zu beachten, dass hier
und
die Koordinaten des Ortes sind, wo hingegen in der Definition des Zentralfeldes mit
der gesamte Ortsverktor bezeichnet wird.
Es liegt ein Zentralfeld mit der reellwertigen und stetigen Funktion
-
vor. Das heißt, hier haben wir den Sonderfall, dass diese unabhängig vom Ort ist.
Deshalb wird es auf das Lösen einer eindimensionalen gewöhnlichen Differntialgleichung hinauslaufen. Die Lösung wird aber am Ende in die Richtung des gegebenen Startvektors
verlaufen, was charakteristisch für Zentralfelder ist.
Wir benutzen
Lemma 40.13
und müssen hierfür die eindimensionale Differentialgleichung
-
mit Anfangswert
lösen. Diese ist homogen und da
die Stammfunktion von
ist, ergibt sich mit Satz 32.2, dass
mit
(dieses ist nicht das selbe wie in der Stammfunktion) die Lösungen sind.
Nutzt man die Anfangsbedingung ergibt sich
. Damit ist
die eindeutige Lösung.
Insgesamt haben wir als Lösung für unserer Aufgabe somit
-
Denkt man dabei an ein Teilchen, dass sich zum Zeitpunkt Null an der Stelle
befindet und aufgrund des Zentralfeldes bewegt wird, beschreibt die Lösung
den Ort im
zum Zeitpunkt
. Anhand der Lösung ist auch zu erkennen, dass es sich nur in Richtung des Ortsvektors, also auf der Geraden, die durch den Ursprung und
geht, bewegt. Das ist bei einem Zentralfeld auch zu erwarten.
Diskutieren und Fragen
Bestimme die Lösung
des
Anfangswertproblems
für das
Zentralfeld
-
mit
.
Es sei ein Vektorfeld der Form
-
mit einer stetigen Funktion
-
gegeben. Die Richtungsvektoren stehen also stets senkrecht zu den Ortsvektoren. Es sei
und es sei
-
eine Lösung zur eindimensionalen Differentialgleichung
-

Zeige, dass
-
eine Lösung der Differentialgleichung
-

ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Bestimme die
Lösung des Anfangswertproblems
-
Finde die
Lösung des Anfangswertproblems
zum
Vektorfeld
-
und zur Anfangsbedingung
.
Löse das Differentialgleichungssystem
-

mit der Anfangsbedingung
-

zum Zeitpunkt
.
Finde die Lösung
des
Anfangswertproblems für das
Zentralfeld
-
mit
.
Finde die Lösung
des
Anfangswertproblems für das
Zentralfeld
-
mit
.
- Fußnoten
- ↑ Mit dieser Formulierung wird hier und im Folgenden implizit benutzt, dass die Lösung eindeutig ist. In den meisten der hier gestellten Aufgaben ergibt sich die Eindeutigkeit direkt, sie ist aber nicht Teil der Aufgabenstellung.