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Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Arbeitsblatt 28

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Übungsaufgaben

Berechne das charakteristische Polynom zur Matrix



Berechne das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume zur Matrix

über .



Zeige, dass das charakteristische Polynom zu einer linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum wohldefiniert ist, also unabhängig von der gewählten Basis.



Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Zeige, dass für jedes die Beziehung

gilt.[1]



Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Wie findet man die Determinante von im charakteristischen Polynom wieder?



Zeige, dass das charakteristische Polynom der sogenannten Begleitmatrix

gleich

ist.



Wir betrachten die reelle Matrix

a) Bestimme

für .

b) Sei

Erstelle eine Beziehung zwischen den Folgen und und Rekursionsformeln für diese Folgen.

c) Bestimme die Eigenwerte und die Eigenvektoren zu .



Es sei

  1. Bestimme das charakteristische Polynom von .
  2. Bestimme eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms von und klammere den entsprechenden Linearfaktor aus.
  3. Begründe, dass das charakteristische Polynom von zumindest zwei reelle Nullstellen hat.



Es sei eine Nullstelle des Polynoms

Zeige, dass

ein Eigenvektor der Matrix

zum Eigenwert ist.


Zur Lösung der folgenden Aufgabe ist neben den beiden vorstehenden Aufgaben auch Aufgabe 24.31 hilfreich.


Wir betrachten die Abbildung

die einem Vierertupel das Vierertupel

zuordnet. Zeige, dass es Zahlentupel gibt, für die bei beliebig vielen Iterationen der Abbildung nie das Nulltupel erreicht wird.



Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung



Wir betrachten die lineare Abbildung

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von .

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.



Es sei

Berechne:

  1. die Eigenwerte von ;
  2. die zugehörigen Eigenräume;
  3. die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
  4. eine Matrix derart, dass eine Diagonalmatrix ist.



Bestimme den Eigenraum und die geometrische Vielfachheit zu zur Matrix



Zeige, dass die Matrix

über diagonalisierbar ist.



Es sei eine Matrix mit (paarweise) verschiedenen Eigenwerten. Zeige, dass die Determinante von das Produkt der Eigenwerte ist.



Es sei ein Körper, und mit . Man gebe Beispiele für - Matrizen derart, dass ein Eigenwert zu ist mit der algebraischen Vielfachheit und der geometrischen Vielfachheit .



Bestimme, welche der folgenden elementargeometrischen Abbildungen linear, welche diagonalisierbar und welche trigonalisierbar sind.

  1. Die Achsenspiegelung durch die durch gegebene Achse.
  2. Die Verschiebung um den Vektor .
  3. Die Drehung um Grad gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung.
  4. Die Punktspiegelung mit dem Punkt als Zentrum.



Bestimme, ob die reelle Matrix

trigonalisierbar ist oder nicht.



Eine lineare Abbildung

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der durch die Matrix

beschrieben wird.


Die nächsten Aufgaben verwenden die folgende Definition.

Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Dann heißt ein Untervektorraum -invariant, wenn

gilt.



Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Zeige folgende Eigenschaften.

  1. Der Nullraum ist - invariant.
  2. ist - invariant.
  3. Eigenräume sind -invariant.
  4. Es seien -invariante Unterräume. Dann sind auch und -invariant.
  5. Es sei ein -invarianter Unterraum. Dann sind auch der Bildraum und der Urbildraum -invariant.



Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und

eine lineare Abbildung und . Zeige, dass der kleinste - invariante Unterraum von , der enthält, gleich

ist.



Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die durch

definierte Teilmenge von ein - invarianter Unterraum ist.



Es sei eine Basis von , bezüglich der die Matrix zur linearen Abbildung

eine obere Dreiecksmatrix sei. Zeige, dass die erzeugten Untervektorräume

- invariant für jedes sind.



Bestimme, ob die reelle Matrix

trigonalisierbar ist oder nicht.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne das charakteristische Polynom zur Matrix



Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume zur Matrix

über .



Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass mindestens einen Eigenvektor besitzt.



Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

Berechne:

  1. die Eigenwerte von ;
  2. die zugehörigen Eigenräume;
  3. die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
  4. eine Matrix derart, dass eine Diagonalmatrix ist.



Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für jedes die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten für die Matrix



Aufgabe (4 Punkte)

Entscheide, ob die Matrix

über trigonalisierbar ist.



Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, ob die reelle Matrix

trigonalisierbar ist oder nicht.




Fußnoten
  1. Die Hauptschwierigkeit bei dieser Aufgabe ist vermutlich zu erkennen, dass man hier wirklich was zeigen muss.



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