Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 25/kontrolle
- Aufgaben
Es sei ein topologischer Raum. Bestimme zur Überdeckung von durch eine untergeordnete Partition der Eins.
Es sei ein topologischer Raum und eine offene Überdeckung. Wir betrachten die Familie der Indikatorfunktionen
Welche Eigenschaften einer (dieser Überdeckung) untergeordneten Partition der Eins erfüllt diese Familie?
Es sei ein reelles Intervall und eine Überdeckung mit (in ) offenen Intervallen. Zeige, dass man eine stetige Funktion
als
mit stetigen Funktionen und schreiben kann.
Es sei eine reelle - differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie. Es sei die Garbe der - differenzierbaren (reell- oder komplexwertigen) - Differentialformen auf . Zeige
Zeige, dass für die Garbe der lokal konstanten -wertigen Funktionen auf einer riemannschen Fläche die Beziehung
gilt.
Man entwickle die lange exakte Kohomologiesequenz zur exakten Garbensequenz
aus Satz 16.15 auf einer riemannschen Fläche .
Es sei ein Punkt auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche und . Zeige, dass man die zum Divisor zugehörige Kohomologieklasse in durch die offene Überdeckung mit einem Kartengebiet um mit der Variablen und und der holomorphen Einheit auf
realisieren kann.