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Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 9/kontrolle

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Aufgaben

Es sei eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen und . Zeige, dass in einem Punkt genau dann verzweigt ist, wenn die Tangentialabbildung

die Nullabbildung ist.



Es sei eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen und . Zeige, dass der Verzweigungsort von diskret ist.



Es sei eine endliche holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen und . Zeige, dass das Verzweigungsbild von diskret in ist.



Man charakterisiere für ein Polynom

den Verzweigungsort, die Verzweigungsordnungen in den Verzweigungspunkten und das Verzweigungsbild.



Bestimme für das Polynom

den Verzweigungsort, die Verzweigungsordnungen in den Verzweigungspunkten und das Verzweigungsbild.



Es sei

ein nichtkonstantes Polynom und . Zeige, dass genau dann zum Verzweigungsbild von gehört, wenn in der Linearfaktorzerlegung von zumindest ein Linearfaktor mehrfach vorkommt.



Es sei

ein nichtkonstantes Polynom und . Es sei

die Zerlegung in Linearfaktoren mit verschiedenen . Wie sieht das Urbild für eine hinreichend kleine offene Umgebung aus und auf welche Gestalt kann man die Einschränkung

bringen?



Man gebe ein Beispiel für ein Polynom derart, dass die zugehörige Abbildung

in einen Verzweigungspunkt mit Verzweigungsordnung , in einen Verzweigungspunkt mit Verzweigungsordnung besitzt und ansonsten unverzweigt ist. Was ist das Verzweigungsbild?



Man gebe ein Beispiel für ein Polynom derart, dass die zugehörige Abbildung

in einen Verzweigungspunkt mit Verzweigungsordnung , in einen Verzweigungspunkt mit Verzweigungsordnung , in einen Verzweigungspunkt mit Verzweigungsordnung besitzt, und ansonsten unverzweigt ist. Was ist das Verzweigungsbild?



Man gebe ein Beispiel für eine holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen und mit der Eigenschaft, dass das Verzweigungsbild von nicht diskret in ist.

Man denke an Funktionen wie .


Es sei eine endliche holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen und . Zeige, dass es zu jedem stetigen Weg

und einen Punkt mit eine stetige Liftung

mit gibt. Zeige ferner, dass die Liftung nicht eindeutig sein muss.



Es sei

die Quadratabbildung. Bestimme eine stetige Liftung zum linearen Weg

mit der Anfangsbedingung . Ist die Liftung eindeutig?



Es sei eine endliche holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen und . Zeige, dass es zu einer holomorphen Kurve

im Allgemeinen keine stetige Liftung

gibt.



Es sei eine offene Kreisscheibe und die disjunkte Vereinigung einer Kreisscheibe mit einer punktierten Kreisscheibe zusammen mit der natürlichen Abbildung . Zeige, dass

eine holomorphe Überlagerung ist und dass es dazu eine Decktransformation gibt, die man nicht auf ganz ausdehnen kann.



Zeige, dass man Lemma 6.16 nicht auf Decktransformationen zu einer endlichen holomorphen Abbildung übertragen kann.



Es sei eine endliche holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen und . Es sei eine nichtleere offene Teilmenge mit der zugehörigen Einschränkung

Zeige, dass die

injektiv, aber im Allgemeinen nicht surjektiv ist.



Es sei eine endliche holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen und . Zeige, dass eine Decktransformation

einen Punkt mit Verzweigungsordnung auf einen Punkt mit der Verzweigungsordnung abbildet.



Es sei

Zeige, dass es keine nichttriviale Decktransformation zu dieser Abbildung gibt. Konstruiere daraus eine Überlagerung mit Blätterzahl , deren Decktransformationsgruppe trivial ist und die somit nicht normal ist.