Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 1

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Aufgaben

Aufgabe

Nehmen Sie ein Blatt Papier und basteln Sie sich ihre Lieblingssingularität, indem sie das Papier zerknüllen (nicht reißen) und gewisse Punkte miteinander verkleben. Modellieren Sie den Vorgang als eine (stetige, polynomiale?) Abbildung


Aufgabe

Betrachte die Bildergalerie in der Eingangsebene vom Mathematikgebäude in Osnabrück. Wo sind die singulären Punkte? Wie sehen die Gleichungen aus?


Aufgabe

Beschreibe die Fasern der Abbildung

Man gebe, falls dies möglich ist,

Diffeomorphismen zwischen und den Fasern von an.


Aufgabe

Beschreibe die Fasern der Abbildung

Man gebe, falls dies möglich ist, Diffeomorphismen zwischen offenen Intervallen und (möglichst großen) offenen Teilmengen der Fasern von an.


Aufgabe *

Beweise den Satz über implizite Abbildungen für den Fall einer linearen surjektiven Abbildung

Für welche Punkte sind die Voraussetzungen des Satzes erfüllt?


Aufgabe *

Betrachte die beiden reellen Kurven

im Punkt und

im Nullpunkt. Sind diese beiden Kurven lokal in den angegebenen Punkten zueinander diffeomorph?


Aufgabe *

Es sei

eine Funktion.

a) Realisiere den Graphen von als Faser zu einer Abbildung

über .

b) Sei stetig differenzierbar. Zeige, dass die Punkte auf dem Graphen von regulär sind.


Aufgabe

Es seien

zwei stetig differenzierbare Funktionen, deren Ableitungen und stets positiv seien. Zeige, dass die Funktion

stetig differenzierbar und in jedem Punkt regulär ist. Man gebe explizit eine Beschreibung der Fasern von als Graph an.


Aufgabe

Was besagt der Satz über implizite Abbildungen für den Fall einer stetig differenzierbaren Funktion ? Für welche Punkte sind die Voraussetzungen des Satzes erfüllt? Wie sieht es aus, wenn ein Polynom ist?


Aufgabe

Was besagt der Satz über implizite Abbildungen für den Fall einer stetig differenzierbaren Funktion ? Für welche Punkte sind die Voraussetzungen des Satzes erfüllt?


Aufgabe *

Zeige, dass die Menge

eine zweidimensionale kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.


Aufgabe *

Sei und betrachte die Abbildung

Bestimme die regulären Punkte der Abbildung und die Gestalt der Faser über . Wie ändert sich die Gestalt beim Übergang von zu .


Aufgabe

Zeige, dass die Fasern der Abbildung

in jedem Punkt lokal homöomorph zu einem offenen reellen Intervall sind. D.h. dass es zu jedem Punkt eine offene Umgebung , ein offenes Intervall und eine stetige Bijektion

gibt (wobei die Faser von durch bezeichnet), deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

zwischen dem halboffenen Intervall und dem Einheitskreis stetig und bijektiv ist, dass die Umkehrabbildung aber nicht stetig ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine bijektive stetig differenzierbare Funktion , für die die Umkehrabbildung stetig, aber nicht differenzierbar ist.


Aufgabe

Es sei , wobei alle Exponenten gerade seien und es sei

die Faser über . Zeige, dass nicht zusammenhängend ist.


Aufgabe

Es sei , wobei alle Exponenten seien und zumindest ein Exponent ungerade sei. Es sei

die Faser über . Definiere eine Homöomorphie  (also stetig bijektiv mit stetiger Umkehrabbildung) zwischen und . Zeige, dass diese nicht überall differenzierbar ist (Ausnahmen)?


Aufgabe

Zeige, dass auf dem durch gegebenen Kegel Geraden liegen, die durch die Singularität laufen.


Aufgabe

Es sei und die Faser über . Zeige, dass durch

eine injektive stetig differenzierbare Kurve gegeben ist, deren Bild ganz in liegt und die durch die isolierte Singularität von läuft.


Bemerkung: Die beiden vorstehenden Aufgaben kann man so interpretieren, dass man die durch und die durch gegebene Singularität entlang einer glatten Kurve durchwandern kann. Die durch gegebene Singularität kann nicht längs einer glatten Kurve durchwandert werden.

Aufgabe

Bestimme den Fixkörper des rationalen Funktionenkörper zur Gruppe, die neben der Identität aus dem durch , , gegebenen Körperautomorphismus besteht (vergleiche Beispiel 1.5).



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