Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 2

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Aufgaben

Aufgabe

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Finde ein Ideal, dessen Nullstellenmenge das folgende Gebilde ist.


Aufgabe

Skizziere die reellen Nullstellengebilde von und bestimme das Verschwindungsideal zu den affin-algebraischen Mengen , die aus allen Geraden durch den Nullpunkt und durch die Eckpunkte eines regulären -Ecks (mit als einem Eck) besteht.


Aufgabe

Es sei

eine affin-algebraische Menge. Zeige, dass unter der Identifizierung

die Teilmenge auch eine affin-algebraische Menge des ist. Zeige, dass die Umkehrung nicht gilt.


Aufgabe

Eine wichtige Möglichkeit, eine Anschauung für eine gegebene ebene affin-algebraische Kurve

zu entwickeln, ist es, die Schnitte von mit der Geradenschar , , zu betrachten. Diese Schnitte sind eine endliche Ansammlung von Punkten auf der Geraden oder aber (das ist ein Ausnahmefall) die volle Gerade. Diese Punktemengen variieren mit dem Parameter . Man kann sich also eine ebene Kurve als eine variierende Familie von nulldimensionalen Objekten vorstellen. Versuche diesen Ansatz anhand einiger Beispiele (für oder ) durchzuführen.


Aufgabe

Eine wichtige Möglichkeit, eine Anschauung für eine gegebene affin-algebraische Menge

zu entwickeln, ist es, die Schnitte von mit der Hyperebenenschar , , zu betrachten. Diese Schnitte sind affin-algebraische Mengen, die in einer kleineren Dimension leben, und mit dem Parameter variieren. Man kann sich also beispielsweise eine affin-algebraische Fläche als eine variierende Familie von ebenen algebraischen Kurven vorstellen. Versuche diesen Ansatz anhand einiger Beispiele (für oder ) durchzuführen, beispielsweise für den Doppelkegel.


Aufgabe

Es seien

mit und

mit affin-algebraische Teilmengen. Zeige, dass die Produktmenge

ebenfalls affin-algebraisch ist, und zwar von den Polynomen bestimmt wird.


Aufgabe *

Es seien

und

affin-algebraische Teilmengen. Zeige, dass es eine affin-algebraische Menge im gibt, die die disjunkte Vereinigung der beiden Mengen ist.


Aufgabe

Es sei eine affin-algebraische Menge und

das offene Komplement. Zeige, dass in der metrischen Topologie wegzusammenhängend ist.


Aufgabe

Zeige, dass eine ebene algebraische Kurve über den komplexen Zahlen nicht kompakt in der metrischen Topologie ist.


Wenn man die rote Kurve um die -Achse rotieren lässt, entsteht die Vasenoberfläche. Wenn die Kurve algebraisch ist, so ist auch die Fläche algebraisch.

Wir erinnern an die Definition einer Rotationsmenge.

Zu einer Teilmenge nennt man

die zugehörige Rotationsmenge (um die -Achse).


Aufgabe

Es sei eine reelle ebene algebraische Kurve, die durch das Polynom definiert werde. Zeige, dass die zugehörige Rotationsfläche, die im durch Rotation um die -Achse entsteht, als Nullstellenmenge zu einem Polynom aus beschrieben werden kann.

Man untersuche zuerst den Fall, dass in nur mit geradzahligen Exponenten vorkommt.

Aufgabe

Man finde jeweils eine polynomiale Gleichung in drei Variablen, die die Rotationsflächen um die -Achse zu den folgenden algebraischen Kurven

beschreibt. Skizziere die Situation.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. .

Bestimme die singulären Punkte und die singulären Punkte der Rotationsflächen.


Aufgabe

Man finde jeweils eine polynomiale Gleichung in drei Variablen, die die Rotationsflächen um die -Achse zu den folgenden algebraischen Kurven

beschreibt. Skizziere die Situation.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. ,
  7. .

Bestimme die singulären Punkte und die singulären Punkte der Rotationsflächen.


Aufgabe

Zeige, dass die offenen und die abgeschlossenen Bälle bzw. im zu nicht offen bzw. abgeschlossen in der Zariski-Topologie sind.


Aufgabe

Es sei ein unendlicher Körper. Zeige, dass jede nichtleere Zariski-offene Menge dicht ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper.

  1. Man zeige, dass für bzw. die Standardtopologie (die metrische oder euklidische Topologie) feiner ist als die Zariski-Topologie.
  2. Man zeige, dass für die Zariski-Topologie mit der kofiniten Topologie übereinstimmt. Gilt dies auch für mit ?
  3. Wann ist die Zariski-Topologie , wann ist sie hausdorffsch?
  4. Wie sieht die Zariski-Topologie aus, wenn ein endlicher Körper ist?


Aufgabe

Es sei ein Polynom in Variablen über und es sei

die Nullstellenmenge des Polynoms. Zeige


Aufgabe

Sei

eine Abbildung, die durch Polynome in Variablen gegeben sei. Zeige, dass stetig bezüglich der Zariski-Topologie ist.


Aufgabe

Man beschreibe eine Abbildung

die bezüglich der Zariski-Topologie stetig ist, die aber nicht durch ein Polynom gegeben ist.


Aufgabe

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Beweise den folgenden Spezialfall des Hilbertschen Nullstellensatzes direkt: Wenn keine Nullstelle im besitzt, so ist ein (von verschiedenes) konstantes Polynom.


Aufgabe *

Wir betrachten die beiden Polynome und und die zugehörigen algebraischen Kurven über den Körpern und .

  1. Gilt in ?
  2. Gilt in ?
  3. Gehört zum Radikal von in ?
  4. Gehört zum Radikal von in ?


Aufgabe

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Beweise den Hilbertschen Nullstellensatz direkt für den Polynomring in einer Variablen.


Ein Ideal in einem kommutativen Ring heißt maximales Ideal, wenn ist und wenn es zwischen und keine weiteren Ideale gibt.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in . Zeige, dass genau dann ein maximales Ideal ist, wenn der Restklassenring ein Körper ist.


Aufgabe

Zeige, dass zu einem Punkt das zugehörige Ideal

maximal ist.


Aufgabe *

Sei ein kommutativer Ring und ein Ideal. Zeige, dass genau dann ein Primideal ist, wenn der Restklassenring ein Integritätsbereich ist.


Aufgabe

Rectangular hyperbola.svg

Bestimme die irreduziblen Komponenten der reellen Hyperbel.


Aufgabe

Sei der Körper der rationalen Zahlen. Begründe, ob

irreduzibel ist oder nicht.


Aufgabe

Zeige, dass das reelle Polynom

ein Primpolynom ist, und dass die Nullstellenmenge

nicht leer, aber reduzibel ist.


Aufgabe

Berechne in den Schnitt des Zylinders mit der Kugel mit Mittelpunkt und Radius in Abhängigkeit von . Wann ist der Durchschnitt leer, wann irreduzibel?


Aufgabe

Betrachte die Menge der reellen Zahlen mit der metrischen Topologie. Ist irreduzibel?


Aufgabe

Zeige, dass ein metrischer Raum nur dann irreduzibel ist, wenn er einpunktig ist.


Aufgabe

Zeige, dass die folgenden -Algebren zueinander isomorph sind.

  1. Der Produktring .
  2. Der Restklassenring .
  3. Der Restklassenring .


Aufgabe

Sei ein Körper und seien endlich viele Punkte in der affinen Ebene . Es seien beliebig vorgegebene Werte. Zeige, dass es ein Polynom mit für alle gibt.


Aufgabe

Bestimme den Koordinatenring zu einer affin-algebraischen Menge , die aus Punkten besteht.


Aufgabe

Bestimme den Koordinatenring zur affin-algebraischen Menge .


Aufgabe

Sei ein unendlicher Körper und sei ein von verschiedenes Polynom. Zeige, dass dann die zugehörige Polynomfunktion

nicht die Nullfunktion ist.


Aufgabe *

Sei eine irreduzible affin-algebraische Menge mit Verschwindungsideal . Zeige, dass ein Primideal ist.


Aufgabe

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ein Radikal mit dem zugehörigen Restklassenring , der der Koordinatenring zu ist. Zeige, dass die irreduziblen Komponenten von den minimalen Primidealen von entsprechen.


Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für eine polynomiale Abbildung

derart, dass das Urbild von einem Punkt reduzibel ist, das Urbild von allen anderen Punkten aber irreduzibel.


Aufgabe

Wir betrachten die beiden algebraischen Kurven

über dem Körper . Zeige, dass der Durchschnitt leer ist, und finde einen Erweiterungskörper , über dem der Durchschnitt nicht leer ist. Berechne alle Punkte im Durchschnitt über und über jedem anderen Erweiterungskörper. Man beschreibe auch den Koordinatenring des Durchschnitts.



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