Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 2

Aufgaben

Aufgabe

Finde ein Ideal, dessen Nullstellenmenge das folgende Gebilde ist.

Aufgabe

Skizziere die reellen Nullstellengebilde von ${}Y^{n}-X^{n}$ und bestimme das Verschwindungsideal zu den affin-algebraischen Mengen ${}V_{n}\subset \mathbb {A} _{\mathbb {R} }^{2}$, die aus allen Geraden durch den Nullpunkt und durch die Eckpunkte eines regulären ${}n$-Ecks (mit ${}(1,0)$ als einem Eck) besteht.

Aufgabe

Es sei

${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{n}}={\mathbb {C} }^{n}\,$

eine affin-algebraische Menge. Zeige, dass unter der Identifizierung

${}{\mathbb {C} }^{n}=\mathbb {R} ^{2n}\,$

die Teilmenge ${}V$ auch eine affin-algebraische Menge des ${}{{\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{2n}}$ ist. Zeige, dass die Umkehrung nicht gilt.

Aufgabe

Eine wichtige Möglichkeit, eine Anschauung für eine gegebene ebene affin-algebraische Kurve

${}V=V(f)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$

zu entwickeln, ist es, die Schnitte von ${}V$ mit der Geradenschar ${}V(X-c)$, ${}c\in K$, zu betrachten. Diese Schnitte sind eine endliche Ansammlung von Punkten auf der Geraden oder aber (das ist ein Ausnahmefall) die volle Gerade. Diese Punktemengen variieren mit dem Parameter ${}c$. Man kann sich also eine ebene Kurve als eine variierende Familie von nulldimensionalen Objekten vorstellen. Versuche diesen Ansatz anhand einiger Beispiele (für ${}K=\mathbb {R}$ oder ${}{\mathbb {C} }$) durchzuführen.

Aufgabe

Eine wichtige Möglichkeit, eine Anschauung für eine gegebene affin-algebraische Menge

${}V=V(f_{1},\ldots ,f_{m})\subset {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,$

zu entwickeln, ist es, die Schnitte von ${}V$ mit der Hyperebenenschar ${}V(X-c)$, ${}c\in K$, zu betrachten. Diese Schnitte sind affin-algebraische Mengen, die in einer kleineren Dimension leben, und mit dem Parameter ${}c$ variieren. Man kann sich also beispielsweise eine affin-algebraische Fläche ${}V(f)\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$ als eine variierende Familie von ebenen algebraischen Kurven vorstellen. Versuche diesen Ansatz anhand einiger Beispiele (für ${}K=\mathbb {R}$ oder ${}{\mathbb {C} }$) durchzuführen, beispielsweise für den Doppelkegel.

Aufgabe

Es seien

${}V=V(f_{1},\ldots ,f_{s})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}\,$

mit ${}f_{1},\ldots ,f_{s}\in K[X_{1},\ldots ,X_{m}]$ und

${}W=V(g_{1},\ldots ,g_{t})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,$

mit ${}g_{1},\ldots ,g_{t}\in K[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]$ affin-algebraische Teilmengen. Zeige, dass die Produktmenge

${}V\times W\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}\times {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}={{\mathbb {A} }_{K}^{m+n}}\,$

ebenfalls affin-algebraisch ist, und zwar von den Polynomen ${}f_{1},\ldots ,f_{s},g_{1},\ldots ,g_{t}\in K[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]$ bestimmt wird.

Aufgabe *

Es seien

${}V=V(f_{1},\ldots ,f_{m})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,$

und

${}W=V(g_{1},\ldots ,g_{\ell })\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,$

affin-algebraische Teilmengen. Zeige, dass es eine affin-algebraische Menge im ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}$ gibt, die die disjunkte Vereinigung der beiden Mengen ist.

Aufgabe

Es sei ${}V\subset {{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{n}}$ eine affin-algebraische Menge und

${}U:={{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{n}}\setminus V\,$

das offene Komplement. Zeige, dass ${}U$ in der metrischen Topologie wegzusammenhängend ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine ebene algebraische Kurve über den komplexen Zahlen ${}\mathbb {C}$ nicht kompakt in der metrischen Topologie ist.

Wenn man die rote Kurve um die ${}y$-Achse rotieren lässt, entsteht die Vasenoberfläche. Wenn die Kurve algebraisch ist, so ist auch die Fläche algebraisch.

Wir erinnern an die Definition einer Rotationsmenge.

Zu einer Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{\geq 0}$ nennt man

${\left\{(x,y\cos \alpha ,y\sin \alpha )\in \mathbb {R} ^{3}\mid (x,y)\in T,\,\alpha \in [0,2\pi ]\right\}}$

die zugehörige Rotationsmenge (um die ${}x$-Achse).

Aufgabe

Es sei ${}V=V(f)\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ eine reelle ebene algebraische Kurve, die durch das Polynom ${}f\in \mathbb {R} [X,Y]$ definiert werde. Zeige, dass die zugehörige Rotationsfläche, die im ${}\mathbb {R} ^{3}$ durch Rotation um die ${}x$-Achse entsteht, als Nullstellenmenge zu einem Polynom aus ${}\mathbb {R} [X,Y,Z]$ beschrieben werden kann.

Man untersuche zuerst den Fall, dass ${}y$ in ${}f$ nur mit geradzahligen Exponenten vorkommt.

Aufgabe

Man finde jeweils eine polynomiale Gleichung in drei Variablen, die die Rotationsflächen um die ${}x$-Achse zu den folgenden algebraischen Kurven

${}V=V(f)\subset \mathbb {R} ^{2}\,$

beschreibt. Skizziere die Situation.

1. ${}V(X-1)$,
2. ${}V(X^{2}+Y^{2}-1)$,
3. ${}V(X-Y^{2})$,
4. ${}V(X^{2}-Y^{2})$,
5. ${}V(X^{3}+Y^{2})$,
6. ${}V(X^{2}+X^{3}+Y^{2})$.

Bestimme die singulären Punkte und die singulären Punkte der Rotationsflächen.

Aufgabe

Man finde jeweils eine polynomiale Gleichung in drei Variablen, die die Rotationsflächen um die ${}x$-Achse zu den folgenden algebraischen Kurven

${}V=V(f)\subset \mathbb {R} ^{2}\,$

beschreibt. Skizziere die Situation.

1. ${}V(Y-1)$,
2. ${}V(XY)$,
3. ${}V(Y-X)$,
4. ${}V(Y-X^{2})$,
5. ${}V(Y-X^{2}+1)$,
6. ${}V(X^{2}+Y^{3})$,
7. ${}V(X^{2}+Y^{3}+Y^{2})$.

Bestimme die singulären Punkte und die singulären Punkte der Rotationsflächen.

Aufgabe

Zeige, dass die offenen und die abgeschlossenen Bälle ${}U{\left(P,r\right)}$ bzw. ${}B\left(P,r\right)$ im ${}\mathbb {R} ^{n}$ zu ${}r>0$ nicht offen bzw. abgeschlossen in der Zariski-Topologie sind.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper. Zeige, dass jede nichtleere Zariski-offene Menge ${}U\subseteq \mathbb {A} _{K}^{n}$ dicht ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper.

1. Man zeige, dass für ${}K=\mathbb {R}$ bzw. ${}K={\mathbb {C} }$ die Standardtopologie (die metrische oder euklidische Topologie) feiner ist als die Zariski-Topologie.
2. Man zeige, dass für ${}K[X]$ die Zariski-Topologie mit der kofiniten Topologie übereinstimmt. Gilt dies auch für ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit ${}n>1$?
3. Wann ist die Zariski-Topologie ${}T_{1}$, wann ist sie hausdorffsch?
4. Wie sieht die Zariski-Topologie aus, wenn ${}K$ ein endlicher Körper ist?

Aufgabe

Es sei ${}F\neq 0$ ein Polynom in ${}n$ Variablen über ${}\mathbb {R}$ und es sei

${}T={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid F(x)=0\right\}}\,$

die Nullstellenmenge des Polynoms. Zeige

${}\lambda ^{n}(T)=0\,.$

Aufgabe

Sei

$\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}$

eine Abbildung, die durch ${}m$ Polynome in ${}n$ Variablen gegeben sei. Zeige, dass ${}\varphi$ stetig bezüglich der Zariski-Topologie ist.

Aufgabe

Man beschreibe eine Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1},$

die bezüglich der Zariski-Topologie stetig ist, die aber nicht durch ein Polynom gegeben ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Beweise den folgenden Spezialfall des Hilbertschen Nullstellensatzes direkt: Wenn ${}f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ keine Nullstelle im ${}K^{n}$ besitzt, so ist ${}f$ ein (von ${}0$ verschiedenes) konstantes Polynom.

Aufgabe *

Wir betrachten die beiden Polynome ${}X^{2}+Y^{2}$ und ${}X^{2}-Y^{3}$ und die zugehörigen algebraischen Kurven über den Körpern ${}\mathbb {R}$ und ${}{\mathbb {C} }$.

1. Gilt ${}V(X^{2}+Y^{2})\subseteq V(X^{2}-Y^{3})$ in ${}{\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{2}$?
2. Gilt ${}V(X^{2}+Y^{2})\subseteq V(X^{2}-Y^{3})$ in ${}{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}$?
3. Gehört ${}X^{2}-Y^{3}$ zum Radikal von ${}(X^{2}+Y^{2})$ in ${}\mathbb {R} [X,Y]$?
4. Gehört ${}X^{2}-Y^{3}$ zum Radikal von ${}(X^{2}+Y^{2})$ in ${}{\mathbb {C} }[X,Y]$?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Beweise den Hilbertschen Nullstellensatz direkt für den Polynomring in einer Variablen.

Ein Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt maximales Ideal, wenn ${}{\mathfrak {m}}\neq R$ ist und wenn es zwischen ${}{\mathfrak {m}}$ und ${}R$ keine weiteren Ideale gibt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}I\subseteq R$ ein Ideal in ${}R$. Zeige, dass ${}I$ genau dann ein maximales Ideal ist, wenn der Restklassenring ${}R/I$ ein Körper ist.

Aufgabe

Zeige, dass zu einem Punkt ${}P=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ das zugehörige Ideal

$(X_{1}-a_{1},X_{2}-a_{2},\ldots ,X_{n}-a_{n})$

maximal ist.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Ideal. Zeige, dass ${}{\mathfrak {p}}$ genau dann ein Primideal ist, wenn der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich ist.

Aufgabe

Bestimme die irreduziblen Komponenten der reellen Hyperbel.

Aufgabe

Es sei ${}K=\mathbb {Q}$ der Körper der rationalen Zahlen. Begründe, ob

${}V(X^{2}+Y^{2}-1)\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {Q} }^{2}\,$

irreduzibel ist oder nicht.

Aufgabe

Zeige, dass das reelle Polynom

$P=X^{2}(X-1)^{2}+Y^{2}{\left(X^{2}+(X-1)^{2}\right)}\in \mathbb {R} [X,Y]$

ein Primpolynom ist, und dass die Nullstellenmenge

${}V(P)\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,$

nicht leer, aber reduzibel ist.

Aufgabe

Berechne in ${}\mathbb {A} _{\mathbb {R} }^{3}$ den Schnitt des Zylinders ${}V(x^{2}+y^{2}-1)$ mit der Kugel mit Mittelpunkt ${}P=(0,0,0)$ und Radius ${}r$ in Abhängigkeit von ${}r$. Wann ist der Durchschnitt leer, wann irreduzibel?

Aufgabe

Betrachte die Menge der reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ mit der metrischen Topologie. Ist ${}\mathbb {R}$ irreduzibel?

Aufgabe

Zeige, dass ein metrischer Raum ${}X$ nur dann irreduzibel ist, wenn er einpunktig ist.

Aufgabe

Zeige, dass die folgenden ${}K$- Algebren zueinander isomorph sind.

1. Der Produktring ${}K\times K\times K$.
2. Der Restklassenring ${}K[X]/(X^{3}-X)$.
3. Der Restklassenring ${}K[X,Y]/(X,Y)\cdot (X-1,Y-1)\cdot (X,Y-7)$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ endlich viele Punkte in der affinen Ebene ${}{\mathbb {A} }_{K}^{2}$. Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ beliebig vorgegebene Werte. Zeige, dass es ein Polynom ${}F\in K[X,Y]$ mit ${}F(P_{i})=a_{i}$ für alle ${}i=1,\ldots ,n$ gibt.

Aufgabe

Bestimme den Koordinatenring zu einer affin-algebraischen Menge ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$, die aus ${}d$ Punkten besteht.

Aufgabe

Bestimme den Koordinatenring zur affin-algebraischen Menge ${}V=V(5X-8Y+3)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein unendlicher Körper und sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein von ${}0$ verschiedenes Polynom. Zeige, dass dann die zugehörige Polynomfunktion

$F\colon K^{n}\longrightarrow K,\,(a_{1},\ldots ,a_{n})\longmapsto F(a_{1},\ldots ,a_{n}),$

nicht die Nullfunktion ist.

Aufgabe *

Es sei ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine irreduzible affin-algebraische Menge mit Verschwindungsideal ${}\operatorname {Id} \,(V)$. Zeige, dass ${}\operatorname {Id} \,(V)$ ein Primideal ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}{\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Radikal mit dem zugehörigen Restklassenring ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$, der der Koordinatenring zu ${}V=V({\mathfrak {a}})$ ist. Zeige, dass die irreduziblen Komponenten von ${}V$ den minimalen Primidealen von ${}R$ entsprechen.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für eine polynomiale Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}$

derart, dass das Urbild von einem Punkt reduzibel ist, das Urbild von allen anderen Punkten aber irreduzibel.

Aufgabe

Wir betrachten die beiden algebraischen Kurven

$V(x^{2}+y^{2}-2)\,\,{\text{ und }}\,\,V(x^{2}+2y^{2}-1)$

über dem Körper ${}\mathbb {Z} /(7)$. Zeige, dass der Durchschnitt leer ist, und finde einen Erweiterungskörper ${}K\supseteq \mathbb {Z} /(7)$, über dem der Durchschnitt nicht leer ist. Berechne alle Punkte im Durchschnitt über ${}K$ und über jedem anderen Erweiterungskörper. Man beschreibe auch den Koordinatenring des Durchschnitts.