Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 2

Aufgaben

Aufgabe

Finde ein Ideal, dessen Nullstellenmenge das folgende Gebilde ist.

Aufgabe

a) Skizziere die reellen Nullstellengebilde zu $Y^{n} - X^{n}$ .

b) Bestimme die Verschwindungsideale zu den affin-algebraischen Mengen $V_{n} \subseteq 𝔸_{ℝ}^{2}$ , die aus allen Geraden durch den Nullpunkt und durch die Eckpunkte eines regulären $n$ -Ecks (mit $(1, 0)$ als einem Eck) bestehen.

Aufgabe

Es sei

V \subseteq 𝔸_{ℂ}^{n} = ℂ^{n}

eine affin-algebraische Menge. Zeige, dass unter der Identifizierung

ℂ^{n} = ℝ^{2 n}

die Teilmenge $V$ auch eine affin-algebraische Menge des $𝔸_{ℝ}^{2 n}$ ist. Zeige, dass die Umkehrung nicht gilt.

Aufgabe

Eine wichtige Möglichkeit, eine Anschauung für eine gegebene ebene affin-algebraische Kurve

V = V (f) \subset 𝔸_{K}^{2}

zu entwickeln, ist es, die Schnitte von $V$ mit der Geradenschar $V (X - c)$ , $c \in K$ , zu betrachten. Diese Schnitte sind eine endliche Ansammlung von Punkten auf der Geraden oder aber (das ist ein Ausnahmefall) die volle Gerade. Diese Punktemengen variieren mit dem Parameter $c$ . Man kann sich also eine ebene Kurve als eine variierende Familie von nulldimensionalen Objekten vorstellen. Versuche diesen Ansatz anhand einiger Beispiele (für $K = ℝ$ oder $ℂ$ ) durchzuführen.

Aufgabe

Eine wichtige Möglichkeit, eine Anschauung für eine gegebene affin-algebraische Menge

V = V (f_{1}, \dots, f_{m}) \subset 𝔸_{K}^{n}

zu entwickeln, ist es, die Schnitte von $V$ mit der Hyperebenenschar $V (X - c)$ , $c \in K$ , zu betrachten. Diese Schnitte sind affin-algebraische Mengen, die in einer kleineren Dimension leben, und mit dem Parameter $c$ variieren. Man kann sich also beispielsweise eine affin-algebraische Fläche $V (f) \subseteq 𝔸_{K}^{3}$ als eine variierende Familie von ebenen algebraischen Kurven vorstellen. Versuche diesen Ansatz anhand einiger Beispiele (für $K = ℝ$ oder $ℂ$ ) durchzuführen, beispielsweise für den Doppelkegel.

Aufgabe

Es seien

V = V (f_{1}, \dots, f_{s}) \subseteq 𝔸_{K}^{m}

mit $f_{1}, \dots, f_{s} \in K [X_{1}, \dots, X_{m}]$ und

W = V (g_{1}, \dots, g_{t}) \subseteq 𝔸_{K}^{n}

mit $g_{1}, \dots, g_{t} \in K [Y_{1}, \dots, Y_{n}]$ affin-algebraische Teilmengen. Zeige, dass die Produktmenge

V \times W \subseteq 𝔸_{K}^{m} \times 𝔸_{K}^{n} = 𝔸_{K}^{m + n}

ebenfalls affin-algebraisch ist, und zwar von den Polynomen $f_{1}, \dots, f_{s}, g_{1}, \dots, g_{t} \in K [X_{1}, \dots, X_{m}, Y_{1}, \dots, Y_{n}]$ bestimmt wird.

Aufgabe *

Es seien

V = V (f_{1}, \dots, f_{m}) \subseteq 𝔸_{K}^{n}

und

W = V (g_{1}, \dots, g_{ℓ}) \subseteq 𝔸_{K}^{n}

affin-algebraische Teilmengen. Zeige, dass es eine affin-algebraische Menge im $𝔸_{K}^{n + 1}$ gibt, die die disjunkte Vereinigung der beiden Mengen ist.

Aufgabe

Es sei $V \subset 𝔸_{ℂ}^{n}$ eine affin-algebraische Menge und

U := 𝔸_{ℂ}^{n} ∖ V

das offene Komplement. Zeige, dass $U$ in der metrischen Topologie wegzusammenhängend ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine ebene algebraische Kurve über den komplexen Zahlen $ℂ$ nicht kompakt in der metrischen Topologie ist.

Wir erinnern an die Definition einer Rotationsmenge.

Zu einer Teilmenge $T \subseteq ℝ \times ℝ_{\geq 0}$ nennt man

{(x, y \cos α, y \sin α) \in ℝ^{3} ∣ (x, y) \in T, α \in [0, 2 π]}

die zugehörige Rotationsmenge (um die $x$ -Achse).

Aufgabe

Es sei $V = V (f) \subseteq ℝ^{2}$ eine reelle ebene algebraische Kurve, die durch das Polynom $f \in ℝ [X, Y]$ definiert werde. Zeige, dass die zugehörige Rotationsfläche, die im $ℝ^{3}$ durch Rotation um die $x$ -Achse entsteht, als Nullstellenmenge zu einem Polynom aus $ℝ [X, Y, Z]$ beschrieben werden kann.

Man untersuche zuerst den Fall, dass $y$ in $f$ nur mit geradzahligen Exponenten vorkommt.

Aufgabe

Man finde jeweils eine polynomiale Gleichung in drei Variablen, die die Rotationsflächen um die $x$ -Achse zu den folgenden algebraischen Kurven

V = V (f) \subset ℝ^{2}

beschreibt. Skizziere die Situation.

$V (X - 1)$ ,
$V (X^{2} + Y^{2} - 1)$ ,
$V (X - Y^{2})$ ,
$V (X^{2} - Y^{2})$ ,
$V (X^{3} + Y^{2})$ ,
$V (X^{2} + X^{3} + Y^{2})$ .

Bestimme die singulären Punkte der Kurven und die singulären Punkte der Rotationsflächen.

Aufgabe

Man finde jeweils eine polynomiale Gleichung in drei Variablen, die die Rotationsflächen um die $x$ -Achse zu den folgenden algebraischen Kurven

V = V (f) \subset ℝ^{2}

beschreibt. Skizziere die Situation.

$V (Y - 1)$ ,
$V (X Y)$ ,
$V (Y - X)$ ,
$V (Y - X^{2})$ ,
$V (Y - X^{2} + 1)$ ,
$V (X^{2} + Y^{3})$ ,
$V (X^{2} + Y^{3} + Y^{2})$ .

Bestimme die singulären Punkte der Kurven und die singulären Punkte der Rotationsflächen.

Aufgabe

Zeige, dass die offenen und die abgeschlossenen Bälle $U (P, r)$ bzw. $B (P, r)$ im $ℝ^{n}$ zu $r > 0$ nicht offen bzw. abgeschlossen in der Zariski-Topologie sind.

Aufgabe

Es sei $K$ ein unendlicher Körper. Zeige, dass jede nichtleere Zariski-offene Menge $U \subseteq 𝔸_{K}^{n}$ dicht ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper.

Man zeige, dass für $K = ℝ$ bzw. $K = ℂ$ die Standardtopologie (die metrische oder euklidische Topologie) feiner ist als die Zariski-Topologie auf $𝔸_{K}^{1}$ .
Man zeige, dass für $𝔸_{K}^{1}$ die Zariski-Topologie mit der kofiniten Topologie übereinstimmt. Gilt dies auch für $𝔸_{K}^{n}$ mit $n \geq 2$ ?
Wann erfüllt die Zariski-Topologie auf $𝔸_{K}^{n}$ die Eigenschaft $T_{1}$ , wann ist sie hausdorffsch?
Wie sieht die Zariski-Topologie auf $𝔸_{K}^{n}$ aus, wenn $K$ ein endlicher Körper ist?

Aufgabe

Es sei $F \neq 0$ ein Polynom in $n$ Variablen über $ℝ$ und es sei

T = {x \in ℝ^{n} ∣ F (x) = 0}

die Nullstellenmenge des Polynoms. Zeige

λ^{n} (T) = 0 .

Aufgabe

Es sei

φ : 𝔸_{K}^{n} ⟶ 𝔸_{K}^{m}

eine Abbildung, die durch $m$ Polynome in $n$ Variablen gegeben sei. Zeige, dass $φ$ stetig bezüglich der Zariski-Topologie ist.

Aufgabe

Man beschreibe eine Abbildung

φ : 𝔸_{K}^{1} ⟶ 𝔸_{K}^{1},

die bezüglich der Zariski-Topologie stetig ist, die aber nicht durch ein Polynom gegeben ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Beweise den folgenden Spezialfall des Hilbertschen Nullstellensatzes direkt: Wenn $f \in K [X_{1}, \dots, X_{n}]$ keine Nullstelle im $K^{n}$ besitzt, so ist $f$ ein (von $0$ verschiedenes) konstantes Polynom.

Aufgabe *

Wir betrachten die beiden Polynome $X^{2} + Y^{2}$ und $X^{2} - Y^{3}$ und die zugehörigen algebraischen Kurven über den Körpern $ℝ$ und $ℂ$ .

a) Gilt $V (X^{2} + Y^{2}) \subseteq V (X^{2} - Y^{3})$ in $𝔸_{ℝ}^{2}$ ?

b) Gilt $V (X^{2} + Y^{2}) \subseteq V (X^{2} - Y^{3})$ in $𝔸_{ℂ}^{2}$ ?

c) Gehört $X^{2} - Y^{3}$ zum Radikal von $(X^{2} + Y^{2})$ in $ℝ [X, Y]$ ?

d) Gehört $X^{2} - Y^{3}$ zum Radikal von $(X^{2} + Y^{2})$ in $ℂ [X, Y]$ ?

Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Beweise den Hilbertschen Nullstellensatz direkt für den Polynomring in einer Variablen.

Ein Ideal $𝔪$ in einem kommutativen Ring $R$ heißt maximales Ideal, wenn $𝔪 \neq R$ ist und wenn es zwischen $𝔪$ und $R$ kein weiteres Ideal gibt.

Aufgabe *

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $𝔪 \subseteq R$ ein Ideal in $R$ . Zeige, dass $𝔪$ genau dann ein maximales Ideal ist, wenn der Restklassenring $R / 𝔪$ ein Körper ist.

Aufgabe

Zeige, dass zu einem Punkt $P = (a_{1}, \dots, a_{n}) \in 𝔸_{K}^{n}$ das zugehörige Ideal

(X_{1} - a_{1}, X_{2} - a_{2}, \dots, X_{n} - a_{n})

maximal ist.

Aufgabe *

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $𝔭$ ein Ideal. Zeige, dass $𝔭$ genau dann ein Primideal ist, wenn der Restklassenring $R / 𝔭$ ein Integritätsbereich ist.

Aufgabe

Bestimme die irreduziblen Komponenten der reellen Hyperbel.

Aufgabe

Es sei $K = ℚ$ der Körper der rationalen Zahlen. Begründe, ob

V (X^{2} + Y^{2} - 1) \subseteq 𝔸_{ℚ}^{2}

irreduzibel ist oder nicht.

Aufgabe

Zeige, dass das reelle Polynom

P = X^{2} (X - 1)^{2} + Y^{2} (X^{2} + (X - 1)^{2}) \in ℝ [X, Y]

ein Primpolynom ist, und dass die Nullstellenmenge

V (P) \subseteq ℝ^{2}

nicht leer, aber reduzibel ist.

Aufgabe

Berechne in $𝔸_{ℝ}^{3}$ den Schnitt des Zylinders $V (x^{2} + y^{2} - 1)$ mit der Kugel mit Mittelpunkt $P = (0, 0, 0)$ und Radius $r$ in Abhängigkeit von $r$ . Wann ist der Durchschnitt leer, wann irreduzibel?

Aufgabe

Betrachte die Menge der reellen Zahlen $ℝ$ mit der metrischen Topologie. Ist $ℝ$ irreduzibel?

Aufgabe

Zeige, dass ein metrischer Raum $X$ nur dann irreduzibel ist, wenn er einpunktig ist.

Aufgabe

Zeige, dass die folgenden $K$ -Algebren zueinander isomorph sind.

Der Produktring $K \times K \times K$ .
Der Restklassenring $K [X] / (X^{3} - X)$ .
Der Restklassenring $K [X, Y] / (X, Y) \cdot (X - 1, Y - 1) \cdot (X, Y - 7)$ .

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien $P_{1}, \dots, P_{n}$ endlich viele Punkte in der affinen Ebene $𝔸_{K}^{2}$ . Es seien $a_{1}, \dots, a_{n} \in K$ beliebig vorgegebene Werte. Zeige, dass es ein Polynom $F \in K [X, Y]$ mit $F (P_{i}) = a_{i}$ für alle $i = 1, \dots, n$ gibt.

Aufgabe

Bestimme den Koordinatenring zu einer affin-algebraischen Menge $V \subseteq 𝔸_{K}^{n}$ , die aus $d$ Punkten besteht.

Aufgabe

Bestimme den Koordinatenring zur affin-algebraischen Menge $V = V (5 X - 8 Y + 3) \subseteq 𝔸_{K}^{2}$ .

Aufgabe

Es sei $K$ ein unendlicher Körper und sei $F \in K [X_{1}, \dots, X_{n}]$ ein von $0$ verschiedenes Polynom. Zeige, dass dann die zugehörige Polynomfunktion

F : K^{n} ⟶ K, (a_{1}, \dots, a_{n}) ⟼ F (a_{1}, \dots, a_{n}),

nicht die Nullfunktion ist.

Aufgabe *

Es sei $V \subseteq 𝔸_{K}^{n}$ eine irreduzible affin-algebraische Menge mit Verschwindungsideal $Id (V)$ . Zeige, dass $Id (V)$ ein Primideal ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei $𝔞 \subseteq K [X_{1}, \dots, X_{n}]$ ein Radikal mit dem zugehörigen Restklassenring $R = K [X_{1}, \dots, X_{n}] / 𝔞$ , der der Koordinatenring zu $V = V (𝔞)$ ist. Zeige, dass die irreduziblen Komponenten von $V$ den minimalen Primidealen von $R$ entsprechen.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für eine polynomiale Abbildung

𝔸_{K}^{2} ⟶ 𝔸_{K}^{1}

derart, dass das Urbild von einem Punkt reduzibel ist, das Urbild von allen anderen Punkten aber irreduzibel.

Aufgabe

Wir betrachten die beiden algebraischen Kurven

V (x^{2} + y^{2} - 2) und V (x^{2} + 2 y^{2} - 1)

über dem Körper $ℤ / (7)$ . Zeige, dass der Durchschnitt leer ist, und finde einen Erweiterungskörper $K \supseteq ℤ / (7)$ , über dem der Durchschnitt nicht leer ist. Berechne alle Punkte im Durchschnitt über $K$ und über jedem anderen Erweiterungskörper. Man beschreibe auch den Koordinatenring des Durchschnitts.

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