Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 10 4 2 3 2 3 4 10 2 4 4 4 4 2 64



Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine irreduzible affin-algebraische Menge .
  2. Die Lokalisierung eines kommutativen Ringes an einem Primideal .
  3. Eine spezielle Quotientensingularität.
  4. Die Milnorzahl einer durch ein Polynom gegebenen Hyperflächensingularität.
  5. Die Krulldimension eines kommutativen Ringes .
  6. Ein Komplex von Moduln.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über implizite Abbildungen.
  2. Der Satz über die Struktur des Moduls der Kählerdifferentiale für einen Polynomring.
  3. Der Satz über die homologische Charakterisierung regulärer Ringe.


Aufgabe (10 Punkte)

Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Tangentialraum an die Faser im Punkt der Abbildung

und zwar sowohl durch lineare Gleichungen als auch durch eine parametrisierte Gerade.


Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe für vorgegebene natürliche Zahlen mit eine zweimal stetig differenzierbare Funktion

deren Hesse-Form im Nullpunkt den Typ besitzt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei das durch die Variablen erzeugte maximale Ideal im Polynomring über einem Körper und ein Polynom mit . Zeige, dass für jede formale partielle Ableitung

gilt.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass zu einem Punkt das zugehörige Ideal

maximal ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine affin-algebraische Menge und

das offene Komplement. Zeige, dass in der metrischen Topologie wegzusammenhängend ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein glatter Punkt einer affin-algebraischen Menge . Zeige, dass es eine offene affine Umgebung derart gibt, dass in jedem Punkt glatt ist.


Aufgabe (10 (2+1+2+2+2+1) Punkte)

Es sei .

  1. Bestimme die glatten Punkte von .
  2. Skizziere und den singulären Ort von .
  3. Analysiere das Schnittverhalten von mit beliebigen Ebenen.
  4. Analysiere das Schnittverhalten von mit beliebigen Geraden.
  5. Berechne die Hilbert-Funktion des Koordinatenringes für die Argumente .
  6. Was ist die Hilbert-Samuel-Multiplizität des lokalen Ringes ?


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme ein minimales Erzeugendensystem für das maximale Ideal im lokalen Ring zum Punkt


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und sei mit . Zeige, dass der -Modul der Kählerdifferentiale eine endliche freie Auflösung besitzt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei mit . Wir betrachten die Entfaltung mit dem Deformationsparameter . Zeige, dass man den Term „wegtransformieren“ kann, dass es also eine Transformation (einen Koordinatenwechsel) derart gibt, dass man in der transformierten Situation ohne diesen Term auskommt, aber nach wie vor jede deformierte Funktion vorkommt.

Was hat diese Beobachtung mit dem Jacobiideal und der Standardentfaltung zu tun?


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten . Für welche der folgenden kann man mit Hilfe von Lemma 27.9 darauf schließen, dass und rechtsäquivalent sind?

  1. Ist rechtsäquivalent zu ?


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die minimale Bestimmtheit von

mit Hilfe von Satz 28.2.


Aufgabe (2 Punkte)

Welche Charakterisierungen für die zweidimensionalen ADE-Singularitäten kennen Sie?



Anhang


Lemma

Es seien , offen, holomorphe Funktionen. Im lokalen Ring gelte und .

Dann ist rechtsäquivalent zu .


Satz

Es sei , offen, eine holomorphe Funktion, wobei im lokalen Ring die Beziehung

gelte, wobei das Jacobiideal bezeichne und eine natürliche Zahl ist.

Dann ist -bestimmt.