Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesung 14

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Das Jacobiideal und die Milnorzahl

Definition  

Es sei ein Polynom . Man nennt

das Jacobiideal von .

Das Jacobiideal ist ein Ideal im Polynomring . Für einen Punkt betrachtet man das Jacobiideal auch in der Lokalisierung . Da wir an lokalen Eigenschaften interessiert sind, ist diese Interpretation wichtiger.



Lemma  

Es sei ein Polynom und die zugehörige Hyperfläche und .

Dann ist das Jacobiideal im lokalen Ring genau dann das Einheitsideal, wenn ein glatter Punkt der Hyperfläche ist.

Beweis  

Die Glattheit bedeutet im Fall eines Polynoms nach der Definition einfach, dass die partiellen Ableitungen im Punkt insgesamt eine surjektive Abbildung

definieren. Dies ist genau dann der Fall, wenn mindestens ein Eintrag ist. Im lokalen Ring bedeutet dies, dass nicht alle partiellen Ableitungen im maximalen Ideal enthalten sind, was genau dann der Fall ist, wenn sie das Einheitsideal erzeugen.



Definition  

Es sei ein Polynom , die zugehörige Hyperfläche und ein Punkt. Man nennt die -Dimension des Restklassenringes die Milnorzahl im Punkt .

Aufgrund von Lemma 14.2 ist genau dann ein glatter Punkt der Hyperfläche, wenn seine Milnorzahl gleich ist. Insofern ist die Milnorzahl ein sinnvolles Singularitätsmaß.

Häufig kann man die Milnorzahl auch direkt als Dimension der Restklassenalgebra des Polynomrings ausrechnen und muss nicht in der Lokalisierung arbeiten. Dies beruht auf dem folgenden algemeinen Resultat.



Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring, ein Ideal, das als Radikal mit dem maximalen Ideal übereinstimmt.

Dann ist

Beweis  

Wir haben ein kommutatives Diagramm

von -Algebrahomomorphismen. Ein Element

ist ein Einheit in . Es gibt nämlich oberhalb von kein maximales Ideal, da es oberhalb von nur gibt, und somit ist . Daher gibt es und mit , was wiederum in bedeutet. Somit gibt es nach Lemma Anhang 1.5 auch einen natürlichen -Algebrahomomorphismus

Daraus ergibt sich auch ein Algebrahomomorphismus

Die Hintereinanderschaltungen müssen dabei Isomorphismen sein.



Lemma  

Es sei derart, dass nur einen kritischen Punkt besitzt.

Dann ist die Milnorzahl gleich der -Vektorraumdimension von .

Beweis  

Nach Voraussetzung ist

mit einem einzigen maximalen Ideal zu einem Punkt . Nach Lemma 14.4 gilt

und somit stimmt auch die -Dimension überein.



Beispiel  

Wir betrachten die durch ein Polynom der Form

gegebene Hyperfläche im Nullpunkt (mit ). Der Körper sei so, dass die Exponenten in von verschieden seien. Das Jacobiideal ist

Im Restklassenring (vergleiche Lemma 14.5)

bilden die Monome  mit eine -Basis und somit ist die Milnorzahl dieser Hyperfläche gleich .


Die Milnorzahl kann unendlich sein.


Beispiel  

Wir betrachten die durch ein Polynom der Form

gegebene Hyperfläche im Nullpunkt. Das Jacobiideal ist

Wir betrachten den Restklassenring . Bei ist dieser eindimensional und die Milnorzahl ist . Bei hingegen sind die Monome

linear unabhängig und daher besitzt der Restklassenring die -Dimension unendlich. Die Milnorzahl dieser Hyperfläche ist also unendlich.




Satz  

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper, ein Polynom , die zugehörige Hyperfläche und ein Punkt.

Dann ist die Milnorzahl im Punkt genau dann endlich, wenn eine (allenfalls) isolierte Singularität ist.

Beweis  

Wir können direkt annehmen, dass ein singulärer Punkt der Hyperfläche ist. Dann ist

im lokalen Ring . Wenn eine isolierte Singularität, so gibt es ein , , in diesem Hyperflächenring derart, dass der einzige singuläre Punkt in . ist. Dies bedeutet nach Lemma 14.2, dass das Jacobiideal im Ring nur in dem einzigen maximalen Ideal enthalten ist. Dies bedeutet nach dem Hilbertschen Nullstellensatz, dass das Radikal des Jacobiideals gleich ist. Somit gibt es ein mit

in . Dann gibt es einen surjektiven Algebrahomomorphismus

und die Endlichkeit links impliziert die Endlichkeit rechts.

Sei umgekehrt

endlich als -Vektorraum. Dann hat die Krulldimension und in diesem lokalen Ring haben und das gleiche Radikal, d.h. es gilt

mit einem gewissen . Diese Beziehung kann man durch endlich viele Gleichungen ausdrücken, und damit gelten sie auch in für ein geeignetes , das eine offene Umgebung von beschreibt. Dies bedeutet wiederum, dass auf der Punkt der einzige singuläre Punkt ist.



Lemma  

Es sei ein Körper, eine lineare Abbildung und

der zugehörige -Algebrahomomorphismus der Polynomringe.

Dann gilt für das Jacobiideal zu die Beziehung

wobei das Erweiterungsideal ist.

Beweis  

Die Kettenregel, angewendet auf

liefert

Somit ist

und




Die Hesse-Matrix

Wir erinnern an die Hesse-Matrix. Deren Definitheitseigenschaften sind im reellen Fall entscheidend, ob in einem kritischen Punkt ein lokales Extrema der Funktion vorliegt oder nicht, siehe Satz 50.2 (Analysis (Osnabrück 2014-2016)).


Definition  

Es sei ein endlichdimensionaler Vektorraum über , eine offene Menge und

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei eine Basis , , von gegeben mit den zugehörigen Richtungsableitungen , . Zu heißt dann die Matrix

die Hesse-Matrix zu im Punkt bezüglich der gegebenen Basis.


Definition  

Es sei ein endlichdimensionaler Vektorraum über , eine offene Menge und

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei eine Basis , , von gegeben mit den zugehörigen Richtungsableitungen , . Ein kritischer Punkt heißt nichtausgeartet, wenn die Determinante der Hesse-Matrix

nicht ist.


Definition  

Es sei ein Körper, ein Polynom und ein kritischer Punkt von . Dann heißt nichtausgeartet, wenn die Determinante der Matrix

ungleich ist.

Die folgende Aussage brauchen wir, um Milnorzahl charakterisieren zu können.



Lemma  

Es sei ein Körper und seien

Polynome.

Dann ist die Matrix

genau dann im Nullpunkt invertierbar, wenn die Idealgleichheit

in der Lokalisierung gilt.

Beweis  

Wir setzen und in . Die Abbildung

entspricht über die Identifizierung (siehe Lemma 13.5)

der Ableitung, die wiederum in den Komponenten wegen Lemma 12.5 den partiellen Ableitungen von entsprechen. Somit ist die von

induzierte Abbildung

durch gegeben.

Wenn die Determinante der Matrix ungleich ist, so ist diese Abbildung surjektiv. Wegen dem Lemma von Nakayama ist dann bereits surjektiv. Wenn die Determinante gleich ist, so ist die Gesamtabbildung nicht surjektiv und dann ist auch die vordere Abbildung nicht surjektiv.




Lemma  

Es sei ein Körper, ein Polynom und ein kritischer Punkt von .

Dann ist genau dann ein nichtausgearteter kritischer Punkt, wenn die partiellen Ableitungen in der Lokalisierung das maximale Ideal erzeugen, wenn also das Jacobiideal im Punkt mit dem maximalen Ideal übereinstimmt, und dies ist genau dann der Fall, wenn die Milnorzahl von in gleich ist.

Beweis  

Wende Lemma 14.13 auf

an.



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