Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 21

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Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine (additive) Untergruppe der reellen Zahlen . Zeige, dass entweder mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen reellen Zahl ist, oder aber dicht in ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei eine Primzahl und betrachte die quadratische Erweiterung . Zeige, dass dies eine dichte Untergruppe der reellen Zahlen ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Charakterisiere für den Ring

der Eisenstein-Zahlen die Primzahlen aus , die in verzweigt sind, träge sind oder zerfallen.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei der quadratische Zahlbereich zu . Bestimme gemäß Satz 21.1 eine -Basis des Ideals und bestimme damit die Norm des Ideals.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein quadratischer Zahlbereich und mit . Zeige auf zwei verschiedene Arten, dass es (mit der Notation des Beweises von Satz 21.1) eine -Basis des Ideals gibt mit .


Aufgabe (2 Punkte)

Sei der quadratische Zahlbereich zu . Zeige, dass das Ideal ein Hauptideal ist und gebe einen Erzeuger an.


Aufgabe * (3 Punkte)

Sei ein Zahlbereich. Zeige unter Verwendung der Norm, dass jedes Element , , eine Faktorisierung in irreduzible Elemente besitzt.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Ideal in einem kommutativen Ring . Zeige, dass genau dann ein Primideal ist, wenn der Kern eines Ringhomomorphismus in einen Körper ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Sei ein noetherscher, kommutativer Ring. Zeige, dass dann auch jeder Restklassenring noethersch ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein vom Nullring verschiedener kommutativer Ring. Zeige unter Verwendung des Lemmas von Zorn, dass es maximale Ideale in gibt.


Aufgabe (8 Punkte)

Eine (Fußball-)Spielgruppe bei einer Europa- oder Weltmeisterschaft besteht aus vier Mannschaften, und jede spielt gegen jede. Ein Spiel kann unentschieden oder mit einem Sieg für eine der beiden Mannschaften enden. Wir interessieren uns für die diskrete Struktur einer Spielgruppe, die man durch einen gerichteten Graphen beschreiben kann, wobei man einen Sieg von über durch einen Pfeil von nach (und ein Unentschieden durch keine Verbindung) ausdrücken kann.

Definiere einen Isomorphiebegriff für Spielgruppen und klassifiziere die Spielgruppen entlang geeigneter numerischer Invarianten. Wie viele Spielgruppen gibt es? Aus welchen Isomorphietypen lässt sich die Tabellenordnung ableiten, aus welchen nicht?