Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Vorlesung 27/latex
\setcounter{section}{27}
\zwischenueberschrift{Die Endlichkeit der Klassenzahl für quadratische Zahlkörper}
Wir beweisen nun die Endlichkeit der Klassenzahl für die Ganzheitsringe in quadratischen Zahlkörpern. Es sei bemerkt, dass diese Aussage für alle Zahlbereiche gilt, nicht nur für die quadratischen, wir beschränken uns aber auf diese.
\inputfaktbeweis
{Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Endlich viele Ideale unterhalb Norm/Fakt}
{Lemma}
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{.} Dann gibt es nur endlich viele Ideale ${\mathfrak a}$ in $R$, deren \definitionsverweis {Norm}{}{} unterhalb einer gewissen Zahl liegt.
}
{
Es genügt zu zeigen, dass es zu einer natürlichen Zahl $n$ nur endlich viele Ideale ${\mathfrak a}$ in $R$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N({\mathfrak a})
}
{ = }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt. Es sei also ${\mathfrak a}$ ein solches Ideal. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach
Korollar 21.5
und damit entspricht ${\mathfrak a}$ einem Ideal aus
\mathl{R/(n)}{.} Dieser Ring ist aber nach
Satz 18.14
endlich und besitzt somit überhaupt nur endlich viele Ideale.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Wurzel5.png} }
\end{center}
\bildtext {Das Gitter zum Zahlbereich
\mathl{\Z[\sqrt{-5}]}{} und zum Ideal
\mathl{(2,1+ \sqrt{-5})}{} (blau, mit einer Grundmasche).} }
\bildlizenz { Wurzel5.png } {} {MGausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\inputbemerkung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \neq }{0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {quadratfrei}{}{}
und $A_D$ der zugehörige
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
$\triangle$. Wir wollen ein von $0$ verschiedenes
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
${\mathfrak a}$ aus $A_D$ als ein
\zusatzklammer {vollständiges} {} {}
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
$\Gamma_{\mathfrak a}$ in $\R^2$ auffassen. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ < }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also im imaginär-quadratischen Fall, verwenden wir die natürliche Einbettung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{{\mathfrak a}
}
{ \subseteq} { A_D
}
{ \subset} { L
}
{ =} { \Q [\sqrt{D}]
}
{ \subset} { {\mathbb C}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ \cong} { \R^2
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
Wir identifizieren also das Ideal mit seinem Bild unter diesen Inklusionen. Dem Element
\mathl{q_1 + q_2 \sqrt{D}}{} entspricht in der reellen Ebene das Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (q_1,q_2 \sqrt{-D})
}
{ = }{ (q_1,q_2 \sqrt{ \betrag { D } })
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also im reell-quadratischen Fall, verwenden wir stattdessen die Einbettung
\maabbeledisp {} { L = \Q [\sqrt{D}]} { \R^2
} {q_1 +q_2 \sqrt{D} } { (q_1,q_2 \sqrt{D})
} {.}
Man beachte, dass in der zweiten Komponente die Wurzel $\sqrt{D}$ mitgeschleppt wird, und dass diese Abbildung lediglich eine $\Q$-lineare Abbildung ist, während im imaginär-quadratischen Fall ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
nach ${\mathbb C}$ vorliegt.
Das Ideal ${\mathfrak a}$ sei nun
\zusatzklammer {bei positivem oder negativem $D$} {} {}
durch die $\Z$-Basis
\mathl{(a,b)}{} erzeugt, mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a)
}
{ = }{ \Z \cap {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{ \alpha+ \beta u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wie in
Satz 21.1
beschrieben. Hierbei sei $1,u$ die übliche $\Z$-Basis von $A_D$, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ = }{\sqrt{D}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ = }{ \frac{1+ \sqrt{D} }{2}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Das Basiselement $u$ wird auf
\mathl{(0,\sqrt{ \betrag { D } })}{} bzw. auf
\mathl{{ \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{ \betrag { D } } }{2} \right) }}{} geschickt. Daher wird das zum Ideal gehörige Gitter
\mathl{\Gamma_{\mathfrak a}}{}
\zusatzklammer {in $\R^2$} {} {}
durch
\mathdisp {(a,0) \text{ und } { \left( \alpha, \beta \sqrt{ \betrag { D } } \right) } \text{ bei } D = 2,3 \mod 4} { }
und
\mathdisp {(a,0) \text{ und } { \left( \alpha + \frac{\beta}{2}, \beta \frac{\sqrt{ \betrag { D } } }{2} \right) } \text{ bei } D =1 \mod 4} { }
aufgespannt.
}
Wir setzen zunächst die Norm des Ideals mit dem Flächeninhalt des Gitters in Verbindung.
\inputfaktbeweis
{Quadratischer Zahlbereich/Gitter-Einbettungen/Masche und Diskriminante/Fakt}
{Lemma}
{}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \neq }{0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{,}
sei $A_D$ der zugehörige
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} { A_D } { \R^2
} {}
die in
Bemerkung 27.2
beschriebene Einbettung. Es sei
\mathl{{\mathfrak a} \neq 0}{} ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_{ {\mathfrak a} }
}
{ \subset }{ {\R}^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das zugehörige Gitter. Dann ist der Flächeninhalt der
\definitionsverweis {Grundmasche des Gitters}{}{}
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu (\Gamma_{ {\mathfrak a} } )
}
{ =} { \frac{1}{2} \sqrt{ \betrag { \triangle } } N({\mathfrak a})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Das Ideal ${\mathfrak a}$ sei durch die $\Z$-Basis
\mathl{(a,b)}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a)
}
{ = }{\Z \cap {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} { \alpha+ \beta u
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erzeugt, wie in
Satz 21.1
beschrieben. In
Bemerkung 27.2
wurde die zugehörige Gitterbasis ausgerechnet. Der Flächeninhalt eines Gitters wird gegeben durch den Betrag der Determinante von zwei Basiselementen des Gitters. Daher ist bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{2,3 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu (\Gamma_{\mathfrak a} )
}
{ =} { \betrag { \det \begin{pmatrix} a & \alpha \\ 0 & \beta \sqrt{ \betrag { D } } \end{pmatrix} }
}
{ =} { a \beta \sqrt{ \betrag { D } }
}
{ =} { a \beta \frac{ \sqrt{ \betrag { \triangle } } }{2}
}
{ =} { \frac{1}{2} N( {\mathfrak a} ) \sqrt{ \betrag { \triangle } }
}
}
{}{}{,}
wobei wir
Korollar 21.5
und
die Diskriminantengleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\triangle
}
{ = }{4D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
benutzt haben.
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{1 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu (\Gamma_{\mathfrak a} )
}
{ =} { \betrag { \det \begin{pmatrix} a & \alpha + \frac{\beta}{2} \\ 0 & \frac{ \beta \sqrt{ \betrag { D } } }{2} \end{pmatrix} }
}
{ =} { a \beta \sqrt{ \betrag { D } }
}
{ =} { \frac{1}{2} N( {\mathfrak a} ) \sqrt{ \betrag { \triangle } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
aus den gleichen Gründen.
\inputfaktbeweis
{Quadratischer Zahlbereich/Ideal/Element mit beschränkter Norm/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \neq }{0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{,}
sei $A_D$ der zugehörige
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
$\triangle$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es ein
\mathbed {f \in {\mathfrak a}} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,}
mit der Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {{|N(f)|}}
}
{ \leq} { \begin{cases} \frac{2}{\pi} \sqrt{ {{|}}\triangle{{|}} } N( {\mathfrak a}) & \text{ bei } \, D < 0, \\
\frac{1}{2} \sqrt{ {{|}}\triangle{{|}} } N( {\mathfrak a} ) & \text{ bei } \, D > 0 \, .
\end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir wollen
den Gitterpunktsatz von Minkowski
auf das Gitter
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ = }{ \Gamma_{\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
anwenden, das in
Bemerkung 27.2
konstruiert wurde. Nach
Lemma 27.3
hat die Grundmasche des Gitters den Flächeninhalt
\mathl{\frac{\sqrt{ {{|\triangle|}} }N( {\mathfrak a} )}{2}}{.}
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ < }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Als Menge $T$ betrachten wir den Kreis um den Nullpunkt mit Radius
\mathl{\sqrt{ \frac{2}{\pi} \sqrt{ {{|\triangle |}} } N( {\mathfrak a} ) }}{.} Der Kreis ist
\definitionsverweis {kompakt}{}{,}
\definitionsverweis {zentralsymmetrisch}{}{}
und
\definitionsverweis {konvex}{}{,}
und sein Flächeninhalt ist bekanntlich
\mathl{2 \sqrt{ {{|\triangle|}} }N( {\mathfrak a})}{.} Dies ist so groß wie das Vierfache des Flächeninhalts der Grundmasche des Gitters, der in
Lemma 27.3
berechnet wurde. Also gibt es einen vom Nullpunkt verschiedenen Gitterpunkt
\mathl{x \in \Gamma \cap T}{,} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{\varphi(f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
von $f$
\zusatzklammer {also das Quadrat des komplexen Betrags} {} {}
ist dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N(f)
}
{ \leq }{ \frac{2}{\pi} \sqrt{ {{|\triangle |}} } N( {\mathfrak a} )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wie behauptet.
Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ = }{(x_1,x_2)
}
{ = }{(y_1,y_2\sqrt{D})
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit \mathlk{y_1,y_2 \in {\Q}}{}} {} {}
besitzt das Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{\varphi^{-1}(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {aus \mathlk{Q(A_D)}{}} {} {}
die Norm
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ N(y)
}
{ =} { y_1^2 - y_2^2 D
}
{ =} { (x_1-x_2)(x_1+x_2)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { N(y) }
}
{ =} { \betrag { (x_1-x_2)(x_1+x_2) }
}
{ =} { c
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschreibt somit vier gedrehte Hyperbeln, die jeweils eine Achse senkrecht schneiden. Diese Hyperbeln schließen das
\zusatzklammer {konvexe, kompakte, zentralsymmetrische} {} {}
Quadrat mit den Eckpunkten
\mathl{(\pm \sqrt{c},\pm \sqrt{c})}{} ein. Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \defeq }{ \frac{1}{2} \sqrt{ {{|\triangle|}} }N( {\mathfrak a} )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann hat das Quadrat $T$ mit diesen Eckpunkten den Flächeninhalt
\mathl{2 \sqrt{ {{|\triangle|}} } N( {\mathfrak a} )}{} und enthält nach
dem Gitterpunktsatz von Minkowski
einen vom Nullpunkt verschiedenen Gitterpunkt
\mathl{x \in \Gamma_{\mathfrak a} \cap T}{.} Dieser entspricht einem Element
\mathbed {f \in {\mathfrak a}} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { N(f) }
}
{ =} { \betrag { x_1^2-x_2^2 }
}
{ \leq} { x_1^2
}
{ \leq} {c
}
{ =} {\frac{1}{2} \sqrt{ {{|\triangle|}} }N( {\mathfrak a} )
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Quadratischer Zahlbereich/Klassengruppe/Vertreter mit beschränkter Norm für Idealklasse/Fakt}
{Lemma}
{}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \neq }{0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{}
und sei $A_D$ der zugehörige
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
$\triangle$. Dann enthält jede Idealklasse aus der
\definitionsverweis {Klassengruppe}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ A_D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das die Normschranke
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ N({\mathfrak a} )
}
{ \leq} { \begin{cases} \frac{2 \sqrt{ {{|\triangle|}} } }{\pi} & \text{ bei } \, D < 0 \, ,\\ \frac{ \sqrt{ {{|\triangle|}} } }{2} & \text{ bei } \, D > 0 \, .
\end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt.
}
{
Es sei $c$ eine Idealklasse. Die inverse Klasse $c^{-1}$ wird durch ein Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak b}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
repräsentiert. Nach
Lemma 27.4
enthält ${\mathfrak b}$ ein Element
\mathbed {f} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { N(f) }
}
{ \leq} { \begin{cases} \frac{2}{\pi} \sqrt{ {{|\triangle|}} } N( {\mathfrak b} ) & \text{ bei } \, D < 0 \, ,\\ \frac{1}{2} \sqrt{ {{|\triangle|}} } N( {\mathfrak b} ) & \text{ bei } \, D > 0 \, .
\end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \defeq }{ (f) {\mathfrak b}^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was
nach dem Satz von Dedekind
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} {\mathfrak b}
}
{ = }{ (f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
äquivalent ist. Dieses ${\mathfrak a}$ ist ein Ideal, da ja ${\mathfrak b}^{-1}$
nach Bemerkung 24.7
alle Elemente aus ${\mathfrak b}$ nach $R$ multipliziert. Nach
Kollorar 21.11
und nach
Satz 21.7
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ N( {\mathfrak a} ) N({\mathfrak b} )
}
{ =} { N( {\mathfrak a} {\mathfrak b} )
}
{ =} { N((f))
}
{ =} { \betrag { N(f) }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ N( {\mathfrak a} )
}
{ =} {\frac{ {{|N(f)|}} }{ N({\mathfrak b})}
}
{ \leq} { \begin{cases} \frac{2}{\pi} \sqrt{ {{|\triangle|}} } & \text{ bei } \, D < 0 \, , \\ \frac{1}{2} \sqrt{ {{|\triangle|}} } & \text{ bei } \, D > 0 \, . \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
\inputfaktbeweis
{Quadratischer Zahlbereich/Endlichkeit der Klassengruppe/Fakt}
{Satz}
{}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{A_D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{.}
Dann ist die
\definitionsverweis {Divisorenklassengruppe}{}{}
von $R$ eine endliche Gruppe.
}
{
Nach Lemma 27.5 wird jede Klasse in der Klassengruppe durch ein Ideal mit einer Norm repräsentiert, die durch die dort angegebene Schranke beschränkt ist. D.h., dass die Ideale mit einer Norm unterhalb dieser Schranke alle Klassen repräsentieren. Nach Lemma 27.1 gibt es aber überhaupt nur endlich viele Ideale mit einer Norm unterhalb einer gegebenen Schranke.
Das im Beweis verwendete Lemma bietet prinzipiell eine Abschätzung für die Anzahl der Klassengruppe.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $A_D$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{.} Dann nennt man die Anzahl der Elemente in der \definitionsverweis {Klassengruppe}{}{} von $A_D$ die \definitionswort {Klassenzahl}{} von $A_D$.
}
\inputfaktbeweis
{Quadratischer Zahlbereich/Idealpotenz ist Hauptideal/Fakt}
{Korollar}
{}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{A_D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{}
und sei ${\mathfrak a}$ ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$. Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass ${\mathfrak a}^n$ ein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
ist.
}
{
Für das Nullideal ist die Aussage richtig, sei also ${\mathfrak a}$ von $0$ verschieden. Die zugehörige Idealklasse $[ {\mathfrak a} ]$ besitzt aufgrund von
Satz 27.6
in der Idealklassengruppe endliche Ordnung, d.h., dass für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}^n
}
{ =} { [ {\mathfrak a}^n]
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Dies bedeutet aber gerade, dass ${\mathfrak a}^n$ ein Hauptideal ist.
Wir formulieren noch explizit die beiden folgenden Kriterien für Faktorialität.
\inputfaktbeweis
{Quadratischer Zahlbereich/Kriterium für faktoriell/Primideale unterhalb von Normschranke Hauptideale/Fakt}
{Korollar}
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \neq }{0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{}
und sei $A_D$ der zugehörige
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
$\triangle$. Es sei vorausgesetzt, dass jedes
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
${\mathfrak p}$ in $A_D$, das die Normbedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ N({\mathfrak p} )
}
{ \leq} { \begin{cases} \frac{2 \sqrt{ {{|\triangle|}} } }{\pi} & \text{ bei } \, D < 0 \, , \\ \frac{ \sqrt{ {{|\triangle|}} } }{2} & \text{ bei } \, D > 0 \, . \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt, ein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
sei. Dann ist $A_D$
\definitionsverweis {faktoriell}{}{.}
}
{
Es sei ${\mathfrak a}$ ein Ideal $\neq 0$ unterhalb der angegebenen Normschranke. Nach
Satz 23.14
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ {\mathfrak p}_1 \cdots {\mathfrak p}_k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\definitionsverweis {Primidealen}{}{}
${\mathfrak p}_i$, und wegen
Kollorar 21.11
sind die Normen dieser Primideale ebenfalls unter der Schranke. Da all diese Primideale nach Voraussetzung Hauptideale sind, ist auch ${\mathfrak a}$ ein Hauptideal. Da nach
Lemma 27.5
jede Idealklasse durch ein Ideal unterhalb der Normschranke repräsentiert wird, bedeutet dies, dass jede Idealklasse durch ein Hauptideal repräsentiert wird. Das heißt die Klassengruppe ist trivial und damit ist nach
Satz 25.2
der Ring $A_D$ faktoriell.
\inputfaktbeweis
{Quadratischer Zahlbereich/Kriterium für faktoriell/Primzahlen unterhalb von Normschranke haben Primfaktorzerlegung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \neq }{0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{}
und sei $A_D$ der zugehörige
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
$\triangle$. Es sei vorausgesetzt, dass jede Primzahl $p$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{p
}
{ \leq} { \begin{cases} \frac{2 \sqrt{ {{|\triangle|}} } }{\pi} & \mbox{ bei } \, D < 0 \, , \\ \frac{ \sqrt{ {{|\triangle|}} } }{2} & \mbox{ bei } \, D > 0 \, . \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $A_D$ eine Primfaktorzerlegung besitzt. Dann ist $A_D$
\definitionsverweis {faktoriell}{}{.}
}
{
Es sei ${\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
derart, dass
\mathl{N( {\mathfrak p} )}{} unterhalb der angegebenen Schranke liegt, und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z p
}
{ = }{ {\mathfrak p} \cap \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer Primzahl $p$. Nach
Satz 20.13
gibt es in $A_D$ die drei Möglichkeiten
\mathdisp {(p) = {\mathfrak p} \text{ oder } (p) = {\mathfrak p}^2 \text{ oder } (p) = {\mathfrak p} \overline{ {\mathfrak p} }} { . }
Die Norm von ${\mathfrak p}$ ist $p$ oder $p^2$, sodass auch $p$ unterhalb der Schranke ist und somit nach Voraussetzung eine Primfaktorzerlegung für $p$ besteht. Daraus folgt aber, dass ${\mathfrak p}$ ein Hauptideal ist. Aus
Korollar 27.9
folgt die Behauptung.
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{\Z[\sqrt{-5}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{-5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \triangle
}
{ = }{ -20
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Jede Idealklasse enthält ein Ideal ${\mathfrak a}$ der Norm
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ N({\mathfrak a})
}
{ \leq} { \frac{2 \sqrt{20} }{\pi}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
sodass nur Ideale mit Norm $2$ zu betrachten sind. Ein Ideal ${\mathfrak a}$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N({\mathfrak a})
}
{ = }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist ein Primideal ${\mathfrak p}$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} \cap \Z
}
{ = }{ (2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ =} { (2,1+ \sqrt{-5})
}
{ =} { (2,1- \sqrt{-5})
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die einzige Möglichkeit. Nach
Beispiel 21.8
ist ${\mathfrak p}$ kein Hauptideal. Daher ist die
\definitionsverweis {Idealklassengruppe}{}{}
isomorph zu
\mathl{\Z/(2)}{,} wobei das Nullelement durch die Hauptdivisoren
\zusatzklammer {oder Hauptideale} {} {}
repräsentiert wird und das andere Element durch ${\mathfrak p}$.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{A_{-19}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{-19
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A_{-19}
}
{ = }{ \Z[\frac{1+ \sqrt{-19} }{2}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A_{-19}
}
{ \cong }{ \Z[Y]/(Y^2-Y+5)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir wissen aufgrund von
Satz 25.5,
dass $R$ nicht
\definitionsverweis {euklidisch}{}{}
ist. Dennoch ist $R$
\definitionsverweis {faktoriell}{}{}
und nach
Satz 25.2
ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
und die
\definitionsverweis {Klassengruppe}{}{}
ist trivial. Hierfür benutzen wir
Korollar 27.10,
d.h. wir haben für alle Primzahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \leq }{\frac{2 \sqrt{ {{|\triangle|}} } }{\pi}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu zeigen, dass sie eine Primfaktorzerlegung in $R$ besitzen. Diese Abschätzung wird nur von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist der Restklassenring
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R/(2)
}
{ \cong} { \Z/(2) [Y]/(Y^2+Y+1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Körper, sodass $2$
\definitionsverweis {träge}{}{}
in $R$ ist und insbesondere eine Primfaktorzerlegung besitzt.
}
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