Skalarprodukt/K/Orthonormalbasis/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei $V$ ein $𝕂$ -Vektorraum mit Skalarprodukt $⟨ -, - ⟩$ . Eine Basis $v_{i}$ , $i \in I$ , von $V$ heißt Orthonormalbasis, wenn

⟨ v_{i}, v_{i} ⟩ = 1 für alle i \in I und ⟨ v_{i}, v_{j} ⟩ = 0 für i \neq j

gilt.

Die Elemente in einer Orthonormalbasis haben alle die Norm $1$ und sie stehen senkrecht aufeinander. Eine Orthonormalbasis ist also eine Orthogonalbasis, bei der zusätzlich die Normbedingung

‖ v_{i} ‖ = \sqrt{⟨ v_{i}, v_{i} ⟩} = 1

erfüllt ist. Man kann problemlos von einer Orthogonalbasis zu einer Orthonormalbasis übergehen, indem man jedes $v_{i}$ durch die Normierung $\frac{v_{i}}{‖ v_{i} ‖}$ ersetzt (da $v_{i}$ Teil einer Basis ist, ist die Norm von $0$ verschieden). Eine Familie von Vektoren, die jeweils die Norm $1$ haben und paarweise aufeinander senkrecht stehen, aber nicht unbedingt eine Basis bilden, nennt man ein Orthonormalsystem.

Lemma

Es sei $V$ ein $𝕂$ -Vektorraum mit Skalarprodukt und sei $u_{i}$ , $i \in I$ , eine Orthonormalbasis von $V$ .

Dann ergeben sich die Koeffizienten eines Vektors $v$ bezüglich dieser Basis durch

$v = \sum_{i \in I} ⟨ v, u_{i} ⟩ u_{i} .$

Beweis

Da eine Basis vorliegt, gibt es eine eindeutige Darstellung

v = \sum_{j \in I} a_{j} u_{j}

(wobei alle $a_{j}$ bis auf endlich viele gleich $0$ sind). Die Behauptung ergibt sich somit aus

⟨ v, u_{i} ⟩ = ⟨ \sum_{j \in I} a_{j} u_{j}, u_{i} ⟩ = \sum_{j \in I} a_{j} ⟨ u_{j}, u_{i} ⟩ = a_{i} .

◻

Wir werden Orthonormalbasen hauptsächlich im endlichdimensionalen Fall betrachten. Im $ℝ^{n}$ ist die Standardbasis eine Orthonormalbasis. In der Ebene $ℝ^{2}$ ist eine Orthonormalbasis von der Form $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}), (\begin{matrix} - b \\ a \end{matrix})$ oder $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}), (\begin{matrix} b \\ - a \end{matrix})$ , wobei jeweils $a^{2} + b^{2} = 1$ erfüllt sein muss. Beispielsweise ist $(\begin{matrix} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \end{matrix}), (\begin{matrix} - \frac{4}{5} \\ \frac{3}{5} \end{matrix})$ eine Orthonormalbasis. Das folgende Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren erlaubt es, ausgehend von einer Basis eines endlichdimensionalen Vektorraumes eine Orthonormalbasis zu konstruieren, die die gleiche Fahne von Untervektorräumen festlegt.

Satz

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $𝕂$ -Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ eine Basis von $V$ .

Dann gibt es eine Orthonormalbasis $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}$ von $V$ mit^[1]

$⟨ v_{1}, v_{2}, \dots, v_{i} ⟩ = ⟨ u_{1}, u_{2}, \dots, u_{i} ⟩$

für alle $i = 1, \dots, n$ .

Beweis

Die Aussage wird durch Induktion über $i$ bewiesen, d.h. es wird sukzessive eine Familie von orthonormalen Vektoren konstruiert, die jeweils den gleichen Untervektorraum aufspannen. Für $i = 1$ muss man lediglich $v_{1}$ normieren, also durch $u_{1} = \frac{v_{1}}{‖ v_{1} ‖}$ ersetzen. Es sei die Aussage für $i$ schon bewiesen und sei eine Familie von orthonormalen Vektoren $u_{1}, \dots, u_{i}$ mit $⟨ u_{1}, \dots, u_{i} ⟩ = ⟨ v_{1}, \dots, v_{i} ⟩$ bereits konstruiert. Wir setzen

w_{i + 1} = v_{i + 1} - ⟨ v_{i + 1}, u_{1} ⟩ u_{1} - \dots - ⟨ v_{i + 1}, u_{i} ⟩ u_{i} .

Dieser Vektor steht wegen

\begin{matrix} ⟨ w_{i + 1}, u_{j} ⟩ & = ⟨ v_{i + 1} - ⟨ v_{i + 1}, u_{1} ⟩ u_{1} - \dots - ⟨ v_{i + 1}, u_{i} ⟩ u_{i}, u_{j} ⟩ \\ = ⟨ v_{i + 1}, u_{j} ⟩ - \sum_{k \leq i, k \neq j} ⟨ v_{i + 1}, u_{k} ⟩ ⟨ u_{k}, u_{j} ⟩ - ⟨ v_{i + 1}, u_{j} ⟩ ⟨ u_{j}, u_{j} ⟩ \\ = ⟨ v_{i + 1}, u_{j} ⟩ - ⟨ v_{i + 1}, u_{j} ⟩ \\ = 0 \end{matrix}

senkrecht auf allen $u_{1}, \dots, u_{i}$ und offenbar ist

⟨ u_{1}, \dots, u_{i}, w_{i + 1} ⟩ = ⟨ v_{1}, \dots, v_{i}, v_{i + 1} ⟩ .

Durch Normieren von $w_{i + 1}$ erhält man $u_{i + 1}$ .

◻

Beispiel

Es sei $V$ der Kern der linearen Abbildung

ℝ^{3} ⟶ ℝ, (x, y, z) ⟼ 2 x + 3 y - z .

Als Unterraum des $ℝ^{3}$ trägt $V$ das induzierte Skalarprodukt. Wir möchten eine Orthonormalbasis von $V$ bestimmen. Dazu betrachten wir die Basis bestehend aus den Vektoren

v_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) und v_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) .

Es ist $‖ v_{1} ‖ = \sqrt{5}$ und somit ist

u_{1} = \frac{v_{1}}{‖ v_{1} ‖} = (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{5}} \\ 0 \\ \frac{2}{\sqrt{5}} \end{matrix})

der zugehörige normierte Vektor. Gemäß dem^[2] Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren setzen wir

\begin{matrix} w_{2} & = v_{2} - ⟨ v_{2}, u_{1} ⟩ u_{1} \\ = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) - ⟨ (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}), (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{5}} \\ 0 \\ \frac{2}{\sqrt{5}} \end{matrix}) ⟩ (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{5}} \\ 0 \\ \frac{2}{\sqrt{5}} \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) - \frac{6}{\sqrt{5}} (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{5}} \\ 0 \\ \frac{2}{\sqrt{5}} \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} \frac{6}{5} \\ 0 \\ \frac{12}{5} \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} - \frac{6}{5} \\ 1 \\ \frac{3}{5} \end{matrix}) . \end{matrix}

Es ist

‖ w_{2} ‖ = ‖ (\begin{matrix} - \frac{6}{5} \\ 1 \\ \frac{3}{5} \end{matrix}) ‖ = \sqrt{\frac{36}{25} + 1 + \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{70}{25}} = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{5}}

und daher ist

u_{2} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{14}} (\begin{matrix} - \frac{6}{5} \\ 1 \\ \frac{3}{5} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - \frac{6}{\sqrt{70}} \\ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{14}} \\ \frac{3}{\sqrt{70}} \end{matrix})

der zweite Vektor der Orthonormalbasis.

Korollar

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $𝕂$ -Vektorraum mit Skalarprodukt.

Dann gibt es eine Orthonormalbasis in $V$ .

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.

◻

Man kann auch stets in einem endlichdimensionalen Vektorraum mit Skalarprodukt ein vorgegebenes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzen, siehe Aufgabe.

Korollar

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $𝕂$ -Vektorraum mit Skalarprodukt und $U \subseteq V$ ein Untervektorraum.

Dann ist

$V = U \oplus U^{⊥},$

d.h. $V$ ist die direkte Summe aus $U$ und seinem orthogonalen Komplement.

Beweis

Aus $u \in U \cap U^{⊥}$ folgt direkt

⟨ u, u ⟩ = 0

und daher $u = 0$ . Somit ist die Summe direkt. Es sei $u_{1}, \dots, u_{k}$ eine Orthonormalbasis von $U$ , die wir zu einer Orthonormalbasis $u_{1}, \dots, u_{n}$ von $V$ ergänzen. Dann ist

U^{⊥} = ⟨ u_{k + 1}, \dots, u_{n} ⟩

und somit ist $V$ die Summe aus den Unterräumen.

◻

Zur folgenden Aussage vergleiche man auch Fakt und Aufgabe.

Korollar

Es sei $V$ ein $𝕂$ -Vektorraum mit einem Skalarprodukt $⟨ -, - ⟩$ . Dann gelten folgende Aussagen.

Zu Untervektorräumen $U \subseteq U^{'} \subseteq V$ ist
$U^{⊥} \supseteq U'^{⊥} .$

Es ist $0^{⊥} = V$ und $V^{⊥} = 0$ .

Es sei $V$ endlichdimensional. Dann ist
${(U^{⊥})}^{⊥} = U .$

Es sei $V$ endlichdimensional. Dann ist
$\dim_{K} (U^{⊥}) = \dim_{K} (V) - \dim_{K} (U) .$

Beweis

Siehe Aufgabe.

◻

↑ Hier bezeichnet $⟨ - ⟩$ den von den Vektoren erzeugten Untervektorraum, nicht das Skalarprodukt.
↑ Häufig ist es numerisch geschickter, zuerst nur zu orthogonalisieren und die Normierung erst zum Schluss durchzuführen, siehe Beispiel.

[1] Hier bezeichnet $⟨ - ⟩$ den von den Vektoren erzeugten Untervektorraum, nicht das Skalarprodukt.

[2] Häufig ist es numerisch geschickter, zuerst nur zu orthogonalisieren und die Normierung erst zum Schluss durchzuführen, siehe Beispiel.

[1]

[2]