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Skalarprodukt/K/Orthonormalbasis/Einführung/Textabschnitt

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Es sei ein -Vektorraum mit einem Skalarprodukt. Eine Basis , , von heißt Orthogonalbasis, wenn

gilt.


Es sei ein -Vektorraum mit Skalarprodukt . Eine Basis , , von heißt Orthonormalbasis, wenn

gilt.

Die Elemente in einer Orthonormalbasis haben alle die Norm und sie stehen senkrecht aufeinander. Eine Orthonormalbasis ist also eine Orthogonalbasis, bei der zusätzlich die Normbedingung

erfüllt ist. Man kann problemlos von einer Orthogonalbasis zu einer Orthonormalbasis übergehen, indem man jedes durch die Normierung ersetzt (da Teil einer Basis ist, ist die Norm von verschieden). Eine Familie von Vektoren, die jeweils die Norm haben und paarweise aufeinander senkrecht stehen, aber nicht unbedingt eine Basis bilden, nennt man ein Orthonormalsystem.



Es sei ein -Vektorraum mit Skalarprodukt und sei , , eine Orthonormalbasis von .

Dann ergeben sich die Koeffizienten eines Vektors bezüglich dieser Basis durch

Da eine Basis vorliegt, gibt es eine eindeutige Darstellung

(wobei alle bis auf endlich viele gleich sind). Die Behauptung ergibt sich somit aus


Wir werden Orthonormalbasen hauptsächlich im endlichdimensionalen Fall betrachten. Im ist die Standardbasis eine Orthonormalbasis. In der Ebene ist eine Orthonormalbasis von der Form oder , wobei jeweils erfüllt sein muss. Beispielsweise ist eine Orthonormalbasis. Das folgende Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren erlaubt es, ausgehend von einer Basis eines endlichdimensionalen Vektorraumes eine Orthonormalbasis zu konstruieren, die die gleiche Fahne von Untervektorräumen bestimmt.



Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei eine Basis von .

Dann gibt es eine Orthonormalbasis von mit[1]

für alle .

Die Aussage wird durch Induktion über bewiesen, d.h. es wird sukzessive eine Familie von orthonormalen Vektoren konstruiert, die jeweils den gleichen Untervektorraum aufspannen. Für muss man lediglich normieren, also durch ersetzen. Es sei die Aussage für schon bewiesen und sei eine Familie von orthonormalen Vektoren mit bereits konstruiert. Wir setzen

Dieser Vektor steht wegen

senkrecht auf allen und offenbar ist

Durch Normieren von erhält man .



Es sei der Kern der linearen Abbildung

Als Unterraum des trägt das induzierte Skalarprodukt. Wir möchten eine Orthonormalbasis von bestimmen. Dazu betrachten wir die Basis bestehend aus den Vektoren

Es ist und somit ist

der zugehörige normierte Vektor. Gemäß dem[2] Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren setzen wir

Es ist

und daher ist

der zweite Vektor der Orthonormalbasis.




Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt.

Dann gibt es eine Orthonormalbasis in .

Dies folgt direkt aus Fakt.


Man kann auch stets in einem endlichdimensionalen Vektorraum mit Skalarprodukt ein vorgegebenes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzen, siehe Aufgabe.



Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und ein Untervektorraum.

Dann ist

d.h. ist die direkte Summe aus und seinem orthogonalen Komplement.

Aus folgt direkt

und daher . Somit ist die Summe direkt. Es sei eine Orthonormalbasis von , die wir zu einer Orthonormalbasis von ergänzen. Dann ist

und somit ist die Summe aus den Unterräumen.


Zur folgenden Aussage vergleiche auch Fakt und Aufgabe.


Es sei ein -Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Zu Untervektorräumen ist
  2. Es ist und .
  3. Es sei endlichdimensional. Dann ist
  4. Es sei endlichdimensional. Dann ist

Beweis

Siehe Aufgabe.
  1. Hier bezeichnet den von den Vektoren erzeugten Untervektorraum, nicht das Skalarprodukt.
  2. Häufig ist es numerisch geschickter, zuerst nur zu orthogonalisieren und die Normierung erst zum Schluss durchzuführen, siehe Beispiel.