Skalarprodukt/K/Orthonormalbasis/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt. Eine Basis ${}v_{i}$, ${}i\in I$, von ${}V$ heißt Orthogonalbasis, wenn

$\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j$

gilt.

Definition

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Eine Basis ${}v_{i}$, ${}i\in I$, von ${}V$ heißt Orthonormalbasis, wenn

$\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle =1{\text{ für alle }}i\in I{\text{ und }}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j$

gilt.

Die Elemente in einer Orthonormalbasis haben alle die Norm ${}1$ und sie stehen senkrecht aufeinander. Eine Orthonormalbasis ist also eine Orthogonalbasis, bei der zusätzlich die Normbedingung

${}\Vert {v_{i}}\Vert ={\sqrt {\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle }}=1\,$

erfüllt ist. Man kann problemlos von einer Orthogonalbasis zu einer Orthonormalbasis übergehen, indem man jedes ${}v_{i}$ durch die Normierung ${}{\frac {v_{i}}{\Vert {v_{i}}\Vert }}$ ersetzt (da ${}v_{i}$ Teil einer Basis ist, ist die Norm von ${}0$ verschieden). Eine Familie von Vektoren, die jeweils die Norm ${}1$ haben und paarweise aufeinander senkrecht stehen, aber nicht unbedingt eine Basis bilden, nennt man ein Orthonormalsystem.

Lemma

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei ${}u_{i}$, ${}i\in I$, eine Orthonormalbasis von ${}V$.

Dann ergeben sich die Koeffizienten eines Vektors ${}v$ bezüglich dieser Basis durch

${}v=\sum _{i\in I}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\,.$

Beweis

Da eine Basis vorliegt, gibt es eine eindeutige Darstellung

${}v=\sum _{j\in I}a_{j}u_{j}\,$

(wobei alle ${}a_{j}$ bis auf endlich viele gleich ${}0$ sind). Die Behauptung ergibt sich somit aus

${}\left\langle v,u_{i}\right\rangle =\left\langle \sum _{j\in I}a_{j}u_{j},u_{i}\right\rangle =\sum _{j\in I}a_{j}\left\langle u_{j},u_{i}\right\rangle =a_{i}\,.$

$\Box$

Wir werden Orthonormalbasen hauptsächlich im endlichdimensionalen Fall betrachten. Im ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist die Standardbasis eine Orthonormalbasis. In der Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}$ ist eine Orthonormalbasis von der Form ${}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}}$ oder ${}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b\\-a\end{pmatrix}}$, wobei jeweils ${}a^{2}+b^{2}=1$ erfüllt sein muss. Beispielsweise ist ${}{\begin{pmatrix}{\frac {3}{5}}\\{\frac {4}{5}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-{\frac {4}{5}}\\{\frac {3}{5}}\end{pmatrix}}$ eine Orthonormalbasis. Das folgende Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren erlaubt es, ausgehend von einer Basis eines endlichdimensionalen Vektorraumes eine Orthonormalbasis zu konstruieren, die die gleiche Fahne von Untervektorräumen bestimmt.

Satz

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei ${}v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$.

Dann gibt es eine Orthonormalbasis ${}u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}$ von ${}V$ mit

${}\langle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{i}\rangle =\langle u_{1},u_{2},\ldots ,u_{i}\rangle \,$

für alle ${}i=1,\ldots ,n$.

Beweis

Die Aussage wird durch Induktion über ${}i$ bewiesen, d.h. es wird sukzessive eine Familie von orthonormalen Vektoren konstruiert, die jeweils den gleichen Untervektorraum aufspannen. Für ${}i=1$ muss man lediglich ${}v_{1}$ normieren, also durch ${}u_{1}={\frac {v_{1}}{\Vert {v_{1}}\Vert }}$ ersetzen. Es sei die Aussage für ${}i$ schon bewiesen und sei eine Familie von orthonormalen Vektoren ${}u_{1},\ldots ,u_{i}$ mit ${}\langle u_{1},\ldots ,u_{i}\rangle =\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle$ bereits konstruiert. Wir setzen

$w_{i+1}=v_{i+1}-\left\langle v_{i+1},u_{1}\right\rangle u_{1}-\cdots -\left\langle v_{i+1},u_{i}\right\rangle u_{i}\,.$

Dieser Vektor steht wegen

${}{\begin{aligned}\left\langle w_{i+1},u_{j}\right\rangle &=\left\langle v_{i+1}-\left\langle v_{i+1},u_{1}\right\rangle u_{1}-\cdots -\left\langle v_{i+1},u_{i}\right\rangle u_{i},u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle v_{i+1},u_{j}\right\rangle -\sum _{k\leq i,k\neq j}\left\langle v_{i+1},u_{k}\right\rangle \left\langle u_{k},u_{j}\right\rangle -\left\langle v_{i+1},u_{j}\right\rangle \left\langle u_{j},u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle v_{i+1},u_{j}\right\rangle -\left\langle v_{i+1},u_{j}\right\rangle \\&=0\end{aligned}}$

senkrecht auf allen ${}u_{1},\ldots ,u_{i}$ und offenbar ist

${}\langle u_{1},\ldots ,u_{i},w_{i+1}\rangle =\langle v_{1},\ldots ,v_{i},v_{i+1}\rangle \,.$

Durch Normieren von ${}w_{i+1}$ erhält man ${}u_{i+1}$.

$\Box$

Beispiel

Es sei ${}V$ der Kern der linearen Abbildung

$\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto 2x+3y-z.$

Als Unterraum des ${}\mathbb {R} ^{3}$ trägt ${}V$ ein Skalarprodukt. Wir möchten eine Orthonormalbasis von ${}V$ bestimmen. Dazu betrachten wir die Basis bestehend aus den Vektoren

$v_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,v_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}.$

Es ist ${}\Vert {v_{1}}\Vert ={\sqrt {5}}$ und somit ist

${}u_{1}={\frac {v_{1}}{\Vert {v_{1}}\Vert }}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\\{\frac {2}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}}\,$

der zugehörige normierte Vektor. Gemäß dem Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren setzen wir

${}{\begin{aligned}w_{2}&=v_{2}-\left\langle v_{2},u_{1}\right\rangle u_{1}\\&={\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}-\left\langle {\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\\{\frac {2}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}}\right\rangle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\\{\frac {2}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}-{\frac {6}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\\{\frac {2}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}{\frac {6}{5}}\\0\\{\frac {12}{5}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-{\frac {6}{5}}\\1\\{\frac {3}{5}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Es ist

${}\Vert {w_{2}}\Vert =\Vert {\begin{pmatrix}-{\frac {6}{5}}\\1\\{\frac {3}{5}}\end{pmatrix}}\Vert ={\sqrt {{\frac {36}{25}}+1+{\frac {9}{25}}}}={\sqrt {\frac {70}{25}}}={\frac {\sqrt {14}}{\sqrt {5}}}\,$

und daher ist

${}u_{2}={\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {14}}}{\begin{pmatrix}-{\frac {6}{5}}\\1\\{\frac {3}{5}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {6}{\sqrt {70}}}\\{\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {14}}}\\{\frac {3}{\sqrt {70}}}\end{pmatrix}}\,$

der zweite Vektor der Orthonormalbasis.

Korollar

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt.

Dann gibt es eine Orthonormalbasis in ${}V$.

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.

$\Box$

Man kann auch stets in einem endlichdimensionalen Vektorraum mit Skalarprodukt ein vorgegebenes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzen, siehe Aufgabe.

Korollar

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum.

Dann ist

${}V=U\oplus U^{\perp }\,,$

d.h. ${}V$ ist die direkte Summe aus ${}U$ und seinem orthogonalen Komplement.

Beweis

Aus ${}u\in U\cap U^{\perp }$ folgt direkt

${}\left\langle u,u\right\rangle =0\,$

und daher ${}u=0$. Somit ist die Summe direkt. Es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{k}$ eine Orthonormalbasis von ${}U$, die wir zu einer Orthonormalbasis ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ von ${}V$ ergänzen. Dann ist

${}U^{\perp }=\langle u_{k+1},\ldots ,u_{n}\rangle \,$

und somit ist ${}V$ die Summe aus den Unterräumen.

$\Box$

Zur folgenden Aussage vergleiche auch Fakt und Aufgabe.

Korollar

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu Untervektorräumen ${}U\subseteq U'\subseteq V$ ist

   ${}U^{\perp }\supseteq U'^{\perp }\,.$

2. Es ist ${}0^{\perp }=V$ und ${}V^{\perp }=0$.
3. Es sei ${}V$ endlichdimensional. Dann ist

   ${}{\left(U^{\perp }\right)}^{\perp }=U\,.$

4. Es sei ${}V$ endlichdimensional. Dann ist

   ${}\operatorname {dim} _{}\left(U^{\perp }\right)=\operatorname {dim} _{}\left(V\right)-\operatorname {dim} _{}\left(U\right)\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$