Transformationsformel für Integrale/Kompakte Teilmengen/Einige Beispiele/Textabschnitt

Beispiel

Wir betrachten das komplexe Quadrieren

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{2}.$

In reellen Koordinaten ist dies die differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{2}-y^{2},2xy).$

Diese Abbildung ist wegen ${}\varphi (x,y)=\varphi (-x,-y)$ nicht injektiv. Allerdings ist die Einschränkung auf die positive Halbebene ${}G={\left\{(x,y)\mid x>0\right\}}$ injektiv, und das Bild davon ist ${}H=\mathbb {R} ^{2}\setminus \mathbb {R} _{-}$ (also die Ebene ohne die negative reelle Achse). Die Jacobi-Matrix von ${}\varphi$ ist

${}\operatorname {Jak} (\varphi )_{(x,y)}={\begin{pmatrix}2x&-2y\\2y&2x\end{pmatrix}}\,$

mit der Jacobi-Determinante

${}(J(\varphi ))(x,y)=4x^{2}+4y^{2}\,.$

Wir möchten den Flächeninhalt des Bildes ${}T=\varphi (S)$ des Einheitsquadrates ${}S=[0,1]\times [0,1]$ unter dieser Abbildung berechnen (die eine Seite des Einheitsquadrates gehört nicht zu ${}G$, dieser Rand ist aber eine Nullmenge nach Fakt und daher für den Flächeninhalt und die Integration unerheblich). Aufgrund von Fakt ist dann

${}{\begin{aligned}\lambda ^{2}(T)&=\int _{S}4x^{2}+4y^{2}d\lambda ^{2}\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\left(4x^{2}+4y^{2}\right)}dxdy\\&=\int _{0}^{1}{\left({\frac {4}{3}}x^{3}+4xy^{2}\right)}{|}_{0}^{1}dy\\&=\int _{0}^{1}{\left({\frac {4}{3}}+4y^{2}\right)}dy\\&={\left({\frac {4}{3}}y+{\frac {4}{3}}y^{3}\right)}{|}_{0}^{1}\\&={\frac {8}{3}}.\end{aligned}}$

Korollar

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(r,\theta )\longmapsto (r\cos \theta ,r\sin \theta ),$

die Polarkoordinatenauswertung und es seien ${}G$ und ${}H$ offene Mengen, auf denen ${}\varphi$ einen Diffeomorphismus induziert. Es sei ${}T\subseteq H$ eine (in ${}\mathbb {R} ^{2}$) kompakte Teilmenge und

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion.

Dann ist

$\int _{T}f(x,y)\,d\lambda ^{2}(x,y)=\int _{\varphi ^{-1}(T)}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\cdot r\,d\lambda ^{2}(r,\theta )\,.$

Dies gilt auch dann, wenn außerhalb von Nullmengen ein Diffeomorphismus vorliegt. Insbesondere gilt bei stetigem ${}f$ die Formel

$\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x,y)\,d\lambda ^{2}(x,y)=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\cdot r\,d\theta \,dr\,.$

Beweis

Dies folgt wegen

${}\det {\left(D\varphi \right)}=\det {\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{pmatrix}}=r\cos ^{2}\theta +r\sin ^{2}\theta =r\,$

direkt aus Fakt.

$\Box$

Lemma

Es ist

${}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}\,.$

Beweis

Durch eine einfache Substitution ist die Aussage äquivalent zu

${}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,dt=1\,.$

Nennen wir dieses Integral ${}I$. Nach einer Variante des Satzes von Fubini für uneigentliche Integrale ist

${}I^{2}={\left(\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,dt\right)}\cdot {\left(\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,dt\right)}=\int _{\mathbb {R} ^{2}}{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}\,d\lambda ^{2}\,.$

Durch Einführung von Polarkoordinaten ${}x=r\cos \theta$ und ${}y=r\sin \theta$ ist dieses Integral nach Fakt und nach Fubini gleich

${}{\begin{aligned}\,&={\frac {1}{2\pi }}\int _{[0,2\pi ]\times \mathbb {R} _{\geq 0}}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,d\lambda ^{2}(r,\theta )\\&={\frac {1}{2\pi }}{\left(\int _{[0,2\pi ]}1\,d\lambda ^{1}(\theta )\right)}{\left(\int _{\mathbb {R} _{\geq 0}}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,d\lambda ^{1}(r)\right)}\\&=\int _{\mathbb {R} _{\geq 0}}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,d\lambda ^{1}(r)\\&=\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,dr\\&=-e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}|_{0}^{\infty }\\&=1.\end{aligned}}$

Damit ist auch ${}I=1$.

$\Box$

Korollar

Für die Zylinderkoordinatenauswertung

$\Psi \colon G=\mathbb {R} _{+}\times ]0,2\pi [\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(r,\theta ,z)\longmapsto \left(r\cos \theta ,\,r\sin \theta ,\,z\right),$

eine kompakte Teilmenge ${}T\subseteq \Psi (G)$ und eine stetige Funktion

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

gilt die Beziehung

${}\int _{T}f\,d\lambda ^{3}=\int _{\Psi ^{-1}(T)}(f\circ \Psi )\cdot r\,d\lambda ^{3}\,.$

Dies kann man auch als

$\int \int \int _{T}f(x,y,z)dxdydz=\int \int \int _{\Psi ^{-1}(T)}{\tilde {f}}(r,\theta ,z)\cdot rdrd\theta dz\,$

schreiben, wobei ${}{\tilde {f}}=f\circ \Psi$ bezeichnet.

Beweis

Dies folgt aus Fakt, da die Jacobi-Determinante der Zylinderkoordinatenauswertung gleich ${}r$ ist.

$\Box$

Korollar

Für die Kugelkoordinatenauswertung

$\Psi \colon G=\mathbb {R} _{+}\times ]0,\pi [\times ]0,2\pi [\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(r,\theta ,\varphi )\longmapsto \left(r\cos \varphi \sin \theta ,\,r\sin \varphi \sin \theta ,\,r\cos \theta \right),$

eine kompakte Teilmenge ${}T\subseteq \Psi (G)$ und eine stetige Funktion

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

gilt die Beziehung

${}\int _{T}f\,d\lambda ^{3}=\int _{\Psi ^{-1}(T)}(f\circ \Psi )r^{2}\sin \theta \,d\lambda ^{3}\,.$

Dies kann man auch als

$\int \int \int _{T}f(x,y,z)dxdydz=\int \int \int _{\Psi ^{-1}(T)}{\tilde {f}}(r,\theta ,\varphi )\cdot r^{2}\sin \theta drd\theta d\varphi \,$

schreiben, wobei ${}{\tilde {f}}=f\circ \Psi$ bezeichnet.

Beweis

Nach Beispiel ist die Jacobi-Determinante von ${}\Psi$ im Punkt ${}\left(r,\,\theta ,\,\varphi \right)$ gleich ${}r^{2}\sin \theta$, so dass die Aussage aus Fakt folgt.

$\Box$

Beispiel

Es soll eine Straße in der Ebene der Breite ${}2a$ asphaltiert werden. Dabei wird die Straße durch den Verlauf des Mittelstreifen vorgegeben, der durch die Kurve

$[0,s]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \psi (t)={\begin{pmatrix}f(t)\\g(t)\end{pmatrix}},$

bestimmt ist. Dabei sei ${}\psi$ zweimal stetig differenzierbar und bogenparametrisiert, d.h. es sei ${}f'(t)^{2}+g'(t)^{2}=1$, was bedeutet, dass die Mittelstreifenkurve mit normierter Geschwindigkeit durchlaufen wird. Die Breite ist dabei senkrecht zum Mittelstreifen zu messen. Die zu asphaltierende Trasse wird dann durch die Abbildung

$\varphi \colon [0,s]\times [-a,a]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,r)\longmapsto {\begin{pmatrix}f(t)\\g(t)\end{pmatrix}}+r{\begin{pmatrix}-g'(t)\\f'(t)\end{pmatrix}},$

parametrisiert. Wir nehmen an, dass diese Parametrisierung injektiv ist, was erfüllt ist, wenn die Mittelstreifenabbildung ${}\psi$ injektiv ist und die Straße nicht zu breit werden soll.

Die Jacobi-Matrix der Parametrisierung ist

${}\left(D\varphi \right)_{(t,r)}={\begin{pmatrix}f^{\prime }(t)-rg^{\prime \prime }(t)&-g'(t)\\g^{\prime }(t)+rf^{\prime \prime }(t)&f'(t)\end{pmatrix}}\,.$

Die Determinante davon ist

${}{\begin{aligned}f'(t)f'(t)+g'(t)g'(t)-r{\left(g^{\prime \prime }(t)f'(t)-f^{\prime \prime }(t)g'(t)\right)}&=1-r{\left(g^{\prime \prime }(t)f'(t)-f^{\prime \prime }(t)g'(t)\right)}\\\end{aligned}}$

Daher ist die Asphaltfläche nach der Transformationsformel gleich

$\int _{[0,s]\times [-a,a]}\vert {1-r{\left(g^{\prime \prime }(t)f'(t)-f^{\prime \prime }(t)g'(t)\right)}}\vert \,d\lambda ^{2}.$

Wenn wir weiter annehmen, dass

${}\vert {g^{\prime \prime }(t)f'(t)-f^{\prime \prime }(t)g'(t)}\vert \leq {\frac {1}{a}}\,$

ist (was bedeutet, dass die Straßenbreite nicht allzu groß ist), so ist dieses Integral nach Fakt geich

${}{\begin{aligned}\int _{[0,s]\times [-a,a]}1-r{\left(g^{\prime \prime }(t)f'(t)-f^{\prime \prime }(t)g'(t)\right)}\,d\lambda ^{2}&=2as-{\left(\int _{-a}^{a}r\,dr\right)}{\left(\int _{0}^{s}g^{\prime \prime }(t)f'(t)-f^{\prime \prime }(t)g'(t)\,dt\right)}\\&=2as-0\cdot {\left(\int _{0}^{s}g^{\prime \prime }(t)f'(t)-f^{\prime \prime }(t)g'(t)\,dt\right)}\\&=2as.\,\end{aligned}}$

Dies bedeutet, dass die Asphaltfläche gleich der Mittelstreifenlänge mal der Straßenbreite ist.