Volumina/Maßtheoretisch/Beispiele/Textabschnitt

Definition

Zu einer Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{\geq 0}$ nennt man

${\left\{(x,y\cos \alpha ,y\sin \alpha )\in \mathbb {R} ^{3}\mid (x,y)\in T,\,\alpha \in [0,2\pi ]\right\}}$

die zugehörige Rotationsmenge (um die ${}x$-Achse).

Satz

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,t\longmapsto f(t),$

eine nichtnegative messbare Funktion und sei ${}K\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ der Rotationskörper zum Subgraphen von ${}f$ um die ${}x$-Achse.

Dann besitzt ${}K$ das Volumen

${}\lambda ^{3}(K)=\pi \cdot \int _{[a,b]}(f(t))^{2}\,d\lambda (t)=\pi \cdot \int _{a}^{b}(f(t))^{2}\,dt\,,$

wobei für die zweite Formel ${}f$ als stetig vorausgesetzt sei.

Beweis

Nach dem Cavalieri-Prinzip und nach der Formel für den Flächeninhalt des Kreises ist

${}(\lambda \otimes \lambda ^{2})(K)=\int _{[a,b]}\lambda ^{2}(K(t))\,d\lambda (t)=\pi \int _{[a,b]}(f(t))^{2}\,d\lambda (t)\,.$

Für stetiges ${}f$ ist dies nach Fakt gleich

$\pi \int _{a}^{b}(f(t))^{2}\,dt.$

$\Box$

Den Oberflächeninhalt eines Rotationskörpers zu einer (differenzierbaren) Funktion werden wir in Fakt berechnen.

Beispiel

Wir wollen das Volumen einer ${}n$-dimensionalen abgeschlossenen Kugel vom Radius ${}r$ berechnen, also von

${}B_{n}(r)={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \Vert {x}\Vert \leq r\right\}}\,.$

Wegen Fakt gilt dabei ${}\lambda ^{n}(B_{n}(r))=r^{n}\lambda ^{n}(B_{n}(1))$, d.h. es geht im Wesentlichen darum, das Volumen der Einheitskugel auszurechnen.

Ihr Volumen bezeichnen wir mit ${}\beta _{n}=\lambda ^{n}(B_{n}(1))$. Zur Berechnung gehen wir induktiv vor (es ist ${}\beta _{1}=2$). Wir betrachten

${}B_{n}\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}\times \mathbb {R} \,.$

Für jedes fixierte ${}h$, ${}-1\leq h\leq 1$, kann man den Querschnitt als

${}{\begin{aligned}B_{n}(h)&={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\in \mathbb {R} ^{n-1}\mid (x_{1},\ldots ,x_{n-1},h)\in B_{n}\right\}}\\&={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\in \mathbb {R} ^{n-1}\mid x_{1}^{2}+\cdots +x_{n-1}^{2}+h^{2}\leq 1\right\}}\\&={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\in \mathbb {R} ^{n-1}\mid x_{1}^{2}+\cdots +x_{n-1}^{2}\leq 1-h^{2}\right\}}\\&=B_{n-1}{\left(0,{\sqrt {1-h^{2}}}\right)}\end{aligned}}$

schreiben, d.h. als eine ${}(n-1)$-dimensionale Kugel vom Radius ${}{\sqrt {1-h^{2}}}$. Aufgrund des Cavalieri-Prinzips ist daher

${}{\begin{aligned}\beta _{n}&=\lambda ^{n}(B_{n}(1))\\&={\left(\lambda ^{n-1}\otimes \lambda ^{1}\right)}(B_{n}(1))\\&=\int _{[-1,1]}\lambda ^{n-1}{\left(B_{n-1}({\sqrt {1-h^{2}}})\right)}\,d\lambda ^{1}\\&=\int _{[-1,1]}{\left({\sqrt {1-h^{2}}}\right)}^{n-1}\lambda ^{n-1}{\left(B_{n-1}(1)\right)}\,d\lambda ^{1}\\&=\lambda ^{n-1}{\left(B_{n-1}(1)\right)}\cdot \int _{[-1,1]}{\left({\sqrt {1-h^{2}}}\right)}^{n-1}\,d\lambda ^{1}\\&=\beta _{n-1}\cdot \int _{[-1,1]}{\left({\sqrt {1-h^{2}}}\right)}^{n-1}\,d\lambda ^{1}.\end{aligned}}$

Dabei können wir das Integral rechts wegen Fakt und Fakt über Stammfunktionen ausrechnen. Die Substitution

${}h=\sin t\,$

liefert

${}\int _{-1}^{1}{\left({\sqrt {1-h^{2}}}\right)}^{n-1}\,dh=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}t\,dt=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}t\,dt\,.$

Im Beweis zu Fakt wurden diese Integrale berechnet; mit ${}a_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}t\,dt$ gilt

${}a_{n}={\begin{cases}{\frac {(n-1)(n-3)\cdots 3\cdot 1}{n(n-2)\cdots 4\cdot 2}}\cdot {\frac {\pi }{2}}{\text{ bei }}n{\text{ gerade }}\geq 2\,,\\{\frac {(n-1)(n-3)\cdots 4\cdot 2}{n(n-2)\cdots 5\cdot 3}}{\text{ bei }}n{\text{ ungerade}}\,.\end{cases}}\,$

Mit diesen Formeln und der Rekursionsvorschrift ${}\beta _{n}=2\beta _{n-1}a_{n}$ kann man schließlich mit Hilfe der Fakultätsfunktion das Kugelvolumen als

${}\beta _{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\operatorname {Fak} \,(n/2)}}\,$

schreiben. Diese Formel ergibt sich durch Induktion aus Fakt, siehe Aufgabe.

Speziell ergibt sich für die Fläche des Einheitskreises der Wert ${}\pi$, für das Volumen der Einheitskugel der Wert ${}{\frac {4}{3}}\pi$ und für das vierdimensionale Volumen der vierdimensionalen Standardkugel der Wert ${}{\frac {\pi ^{2}}{2}}$.

Definition

Es sei ${}B\subseteq \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\times 0$ und ${}P\in \mathbb {R} ^{n+1}$ ein Punkt. Dann nennt man die Menge

${}K_{B}={\left\{P+t(Q-P)\mid Q\in B,\,t\in [0,1]\right\}}\,$

den Kegel zur Basis ${}B$ mit der Spitze ${}P$.

Satz

Es sei ${}B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ messbar, ${}P\in \mathbb {R} ^{n+1}$ ein Punkt und ${}K_{B}$ der zugehörige Kegel. Es sei ${}h=P_{n+1}$ die letzte Koordinate von ${}P$.

Dann ist ${}K_{B}$ ebenfalls messbar, und es gilt

${}\lambda ^{n+1}{\left(K_{B}\right)}={\frac {1}{n+1}}\lambda ^{n}(B)\cdot \vert {h}\vert \,.$

Beweis

Bei ${}h=0$ liegt der gesamte Kegel in ${}\mathbb {R} ^{n}$ und sein ${}\lambda ^{n+1}$-Maß ist ${}0$ nach Fakt, sei also ${}h\neq 0$. Der Durchschnitt von ${}K=K_{B}$ mit der durch ${}x_{n+1}=t$, ${}t$ zwischen ${}0$ und ${}h$, gegebenen Hyperebene ist

${}{\begin{aligned}K(t)&={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid (x_{1},\ldots ,x_{n},t)\in K_{B}\right\}}\\&={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid (x_{1},\ldots ,x_{n},t)=P+{\frac {(h-t)}{h}}(Q-P),\,Q\in B\right\}}.\end{aligned}}$

Wegen der Translationsinvarianz und Fakt ist dessen Volumen gleich ${}\vert {\frac {h-t}{h}}\vert ^{n}\lambda ^{n}(B)$. Nach dem Cavalieri-Prinzip ist also (mit ${}s=h-t$)

${}{\begin{aligned}\lambda ^{n+1}(K_{B})&=\int _{0}^{\vert {h}\vert }\lambda ^{n}(K(s))\,ds\\&=\int _{0}^{\vert {h}\vert }\lambda ^{n}(B)\cdot {\left({\frac {s}{\vert {h}\vert }}\right)}^{n}\,ds\\&=\lambda ^{n}(B)\cdot {\frac {1}{\vert {h}\vert ^{n}}}\cdot \int _{0}^{\vert {h}\vert }s^{n}\,ds\\&=\lambda ^{n}(B)\cdot {\frac {1}{\vert {h}\vert ^{n}}}\cdot {\frac {1}{n+1}}\vert {h}\vert ^{n+1}\\&=\lambda ^{n}(B)\cdot {\frac {1}{n+1}}\cdot \vert {h}\vert .\end{aligned}}$

$\Box$

Beispiel

Wir stellen eine falsche Berechnung der Kugeloberfläche an, die auf einem falsch interpretierten Cavalieri-Prinzip beruht. Wir betrachten die obere Einheitshalbkugel. Zu jeder Höhe ${}h\in [0,1]$ ist der Querschnitt der Kugeloberfläche mit der durch ${}z=h$ definierten Ebene eine Kreislinie mit dem Radius ${}{\sqrt {1-h^{2}}}$. Der Kreisumfang eines solchen Kreises ist ${}2\pi {\sqrt {1-h^{2}}}$. Wir wollen die Oberfläche der oberen Halbkugel berechnen, indem wir diese Umfänge über die Höhe aufintegrieren. Für die Kugeloberfläche würde sich dann (mit der Substitution ${}h=\sin s$)

${}{\begin{aligned}A&=2\int _{0}^{1}2\pi {\sqrt {1-h^{2}}}\,dh\\&=4\pi \int _{0}^{1}{\sqrt {1-h^{2}}}\,dh\\&=4\pi \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}s\,ds\\&=4\pi {\frac {1}{2}}(s+\sin s\cos s)|_{0}^{\frac {\pi }{2}}\\&=2\pi {\frac {\pi }{2}}\\&=\pi ^{2}.\end{aligned}}$

Der wahre Wert ist aber mit ${}4\pi$ deutlich größer.