Affine Abbildungen/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}E$ und ${}F$ affine Räume über den Vektorräumen ${}V$ bzw. ${}W$. Eine Abbildung

$\psi \colon E\longrightarrow F$

heißt affin (oder affin-lineare Abbildung), wenn es eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

mit

${}\psi (P+v)=\psi (P)+\varphi (v)\,$

für alle ${}P\in E$ und ${}v\in V$ gibt.

Es genügt, diese Bedingung für einen einzigen Punkt und alle Vektoren zu überprüfen, siehe Aufgabe.

Bemerkung  

Eine Abbildung

$\psi \colon E\longrightarrow F$

ist genau dann affin-linear mit linearem Anteil ${}\varphi$, wenn das Diagramm

${\begin{matrix}V\times E&{\stackrel {+}{\longrightarrow }}&E&\\\!\!\!\!\!\varphi \times \psi \downarrow &&\downarrow \psi \!\!\!\!\!&\\W\times F&{\stackrel {+}{\longrightarrow }}&F&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert. Zu einer affin-linearen Abbildung

$\psi \colon E\longrightarrow F$

ist der lineare Anteil (bei $E\neq \emptyset$)

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eindeutig bestimmt. Es ist nämlich notwendigerweise

${}\varphi (v)={\overrightarrow {\psi (P)\psi (P+v)}}\,$

für einen beliebigen Punkt ${}P\in E$. Daher bezeichnen wir den linearen Anteil mit ${}\psi _{0}$. Für zwei Punkte ${}P,Q\in E$ gilt insbesondere

${}\psi _{0}({\overrightarrow {PQ}})={\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q)}}\,.$

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}E,F$ und ${}G$ affine Räume über den Vektorräumen ${}U,V$ bzw. ${}W$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Identität

   $\operatorname {Id} _{E}\colon E\longrightarrow E$

   ist affin-linear.

2. Die Verknüpfung von affin-linearen Abbildungen

   $E\longrightarrow F$

   und

   $F\longrightarrow G$

   ist wieder affin-linear.

3. Zu einer bijektiven affin-linearen Abbildung

   $\psi \colon E\longrightarrow F$

   ist auch die Umkehrabbildung affin-linear.

4. Zu ${}v\in V$ ist die Verschiebung

   $E\longrightarrow E,\,P\longmapsto P+v,$

   affin-linear.

5. Eine lineare Abbildung ist affin-linear.

Beweis

Diese Eigenschaften folgen unmittelbar aus der Definition.

$\Box$

Lemma

Es seien ${}E$ und ${}F$ affine Räume über einem Körper ${}K$ und sei

$\psi \colon E\longrightarrow F$

eine Abbildung.

Dann ist ${}\psi$ genau dann affin-linear, wenn für jede baryzentrische Kombination ${}\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}$ mit ${}P_{i}\in E$ die Gleichheit

${}\psi {\left(\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}\right)}=\sum _{i\in I}a_{i}\psi (P_{i})\,$

gilt.

Beweis

Es seien ${}V$ und ${}W$ die Vektorräume zu ${}E$ bzw. zu ${}F$. Es sei zunächst ${}\psi$ affin-linear mit linearem Anteil

$\psi _{0}\colon V\longrightarrow W$

und eine baryzentrische Kombination ${}\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}$ mit ${}P_{i}\in E$ und ${}\sum _{i\in I}a_{i}=1$ gegeben. Dann ist (mit einem beliebigen Punkt ${}Q\in E$)

${}{\begin{aligned}\psi {\left(\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}\right)}&=\psi {\left(Q+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {QP_{i}}}\right)}\\&=\psi (Q)+\psi _{0}{\left(\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {QP_{i}}}\right)}\\&=\psi (Q)+\sum _{i\in I}a_{i}\psi _{0}{\left({\overrightarrow {QP_{i}}}\right)}\\&=\psi (Q)+\sum _{i\in I}a_{i}{\overrightarrow {\psi (Q)\psi (P_{i})}}\\&=\sum _{i\in I}a_{i}\psi (P_{i})\end{aligned}}$

Es sei nun umgekehrt die Abbildung ${}\psi$ mit den baryzentrischen Kombinationen verträglich. Wir setzen

${}\varphi (v):={\overrightarrow {\psi (P)\psi (P+v)}}\,$

für ${}v\in V$. Wir zeigen zunächst, dass dies unabhängig von dem gewählten Punkt ${}P$ ist. Es ist

$(P+v)-(Q+v)+Q$

eine baryzentrische Kombination für den Punkt ${}P$, siehe Aufgabe. Daher ist in ${}F$

${}\psi (P+v)-\psi (Q+v)+\psi (Q)=\psi (P)\,.$

Somit ist in ${}V$

${}{\overrightarrow {\psi (P)\psi (P+v)}}-{\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q+v)}}+{\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q)}}=0\,$

und daher

${}{\begin{aligned}{\overrightarrow {\psi (P)\psi (P+v)}}&={\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q+v)}}-{\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q)}}\\&={\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q+v)}}+{\overrightarrow {\psi (Q)\psi (P)}}\\&={\overrightarrow {\psi (Q)\psi (Q+v)}}.\end{aligned}}$

Es bleibt zu zeigen, dass ${}\varphi$ linear ist. Für ${}u={\overrightarrow {PQ}}$ und ${}v={\overrightarrow {PR}}$ ist

${}{\begin{aligned}\psi (P)+\varphi (au+bv)&=\psi (P+au+bv)\\&=\psi {\left(P+a{\overrightarrow {PQ}}+b{\overrightarrow {PR}}\right)}\\&=\psi ((1-a-b)P+aQ+bR)\\&=(1-a-b)\psi (P)+a\psi (Q)+b\psi (R)\\&=\psi (P)+a{\overrightarrow {\psi (P)\psi (Q)}}+b{\overrightarrow {\psi (P)\psi (R)}}\\&=\psi (P)+a\varphi {\left({\overrightarrow {PQ}}\right)}+b\varphi {\left({\overrightarrow {PR}}\right)}\\&=\psi (P)+a\varphi (u)+b\varphi (v).\end{aligned}}$

Also ist

${}\varphi (au+bv)=a\varphi (u)+b\varphi (v)\,.$

$\Box$

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}E$ und ${}F$ affine Räume über den ${}K$-Vektorräumen ${}V$ bzw. ${}W$. Eine bijektive affine Abbildung

$\psi \colon E\longrightarrow F$

heißt affiner Isomorphismus.

In einem gewissen Sinne setzen sich affin-lineare Abbildungen aus Verschiebungen und aus linearen Abbildungen zusammen.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}E$ ein affiner Raum über dem Vektorraum ${}V$. Es sei ${}P\in E$.

Dann entsprechen sich die affin-linearen Abbildungen

$\psi \colon E\longrightarrow E$

mit ${}P$ als Fixpunkt und die linearen Abbildungen

$\varphi \colon V\longrightarrow V.$

Beweis

Die Zuordnung ist durch ${}\psi \mapsto \psi _{0}$ gegeben. Wir müssen zeigen, dass es zu jeder linearen Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine eindeutige affin-lineare Abbildung

$\psi \colon E\longrightarrow E$

mit diesem linearen Anteil gibt. Wegen

${}\psi (Q)=\psi (P)+\varphi ({\overrightarrow {PQ}})=P+\varphi ({\overrightarrow {PQ}})\,$

kann es nur eine affin-lineare Abbildung geben, und durch diese Vorschrift kann man die Abbildung auch definieren.

$\Box$

Der folgende Satz heißt Festlegungssatz für affine Abbildungen und ist analog zu Fakt.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}E$ und ${}F$ affine Räume über den Vektorräumen ${}V$ bzw. ${}W$. Es sei ${}P_{i}$, ${}i\in I$, eine affine Basis von ${}E$ und ${}Q_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Punkten in ${}F$.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte affin-lineare Abbildung

$\psi \colon E\longrightarrow F$

mit

${}\psi (P_{i})=Q_{i}\,$

für alle ${}i\in I$.

Beweis

Es sei ${}i_{0}\in I$. Es gibt nach Fakt eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

mit

${}\varphi ({\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}})={\overrightarrow {Q_{i_{0}}Q_{i}}}\,,$

für alle ${}i\in I\setminus \{i_{0}\}$.

Dann ist

${}\psi (R)=Q_{i_{0}}+\varphi ({\overrightarrow {P_{i_{0}}R}})\,$

eine affin-lineare Abbildung mit der gewünschten Eigenschaft. Umgekehrt ist eine solche affine Abbildung ${}\psi$ durch den linearen Anteil und das Verhalten auf einem einzigen Punkt eindeutig festgelegt, so dass

${}\psi _{0}=\varphi \,$

sein muss.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}E$ ein affiner Raum mit einer affinen Basis ${}P_{1},\ldots ,P_{n},P_{n+1}$.

Dann ist die Abbildung

$E\longrightarrow K^{n+1},\,P\longmapsto (a_{1},\ldots ,a_{n},a_{n+1}),$

wobei ${}a_{i}$ die baryzentrischen Koordinaten von ${}P$ sind, eine affin-lineare Abbildung, die eine affine Isomorphie zwischen ${}E$ und dem affinen Unterraum ${}F\subset K^{n+1}$ stiftet, der durch

${}F={\left\{x\in K^{n+1}\mid \sum _{i=1}^{n+1}x_{i}=1\right\}}\,$

gegeben ist. Der Vektorraum zu ${}F$ ist

${}W={\left\{x\in K^{n+1}\mid \sum _{i=1}^{n+1}x_{i}=0\right\}}\,.$

Beweis

Nach Fakt gibt es eine eindeutig bestimmte affin-lineare Abbildung

$E\longrightarrow K^{n+1},$

die ${}P_{i}$ auf den ${}i$-ten Standardvektor ${}e_{i}$ abbildet. Dabei wird nach Fakt

${}P=\sum _{i=1}^{n+1}a_{i}P_{i}\,$

auf

$\sum _{1=1}^{n+1}a_{i}e_{i}$

abgebildet. Wegen

${}\sum _{i=1}^{n+1}a_{i}=1\,$

gehört dieser Punkt zu ${}F$. Die Bijektivität ist klar.

$\Box$