Affine Abbildungen/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein Körper und seien und affine Räume über den Vektorräumen  bzw. . Eine Abbildung

heißt affin (oder affin-lineare Abbildung), wenn es eine lineare Abbildung

mit

für alle und gibt.

Es genügt, diese Bedingung für einen einzigen Punkt und alle Vektoren zu überprüfen, siehe Aufgabe.

Bemerkung  

Eine Abbildung

ist genau dann affin-linear mit linearem Anteil , wenn das Diagramm

kommutiert. Zu einer affin-linearen Abbildung

ist der lineare Anteil (bei )

eindeutig bestimmt. Es ist nämlich notwendigerweise

für einen beliebigen Punkt . Daher bezeichnen wir den linearen Anteil mit . Für zwei Punkte gilt insbesondere




Lemma  

Es sei ein Körper und seien und affine Räume über den Vektorräumen  bzw. . Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Die Identität

    ist affin-linear.

  2. Die Verknüpfung von affin-linearen Abbildungen

    und

    ist wieder affin-linear.

  3. Zu einer bijektiven affin-linearen Abbildung

    ist auch die Umkehrabbildung affin-linear.

  4. Zu ist die Verschiebung

    affin-linear.

  5. Eine lineare Abbildung ist affin-linear.

Beweis  

Diese Eigenschaften folgen unmittelbar aus der Definition.




Lemma  

Es seien und affine Räume über einem Körper und sei

eine Abbildung.

Dann ist genau dann affin-linear, wenn für jede baryzentrische Kombination mit die Gleichheit

gilt.

Beweis  

Seien und die Vektorräume zu bzw. zu . Sei zunächst affin-linear mit linearem Anteil

und eine baryzentrische Kombination mit und gegeben. Dann ist (mit einem beliebigen Punkt )

Sei nun umgekehrt die Abbildung mit den baryzentrischen Kombinationen verträglich. Wir setzen

für . Wir zeigen zunächst, dass dies unabhängig von dem gewählten Punkt ist. Es ist

eine baryzentrische Kombination für den Punkt , siehe Aufgabe. Daher ist in

Somit ist in

und daher

Es bleibt zu zeigen, dass linear ist. Für und ist

Also ist



Definition  

Es sei ein Körper und seien und affine Räume über den -Vektorräumen  bzw. . Eine bijektive affine Abbildung

heißt affiner Isomorphismus.

In einem gewissen Sinne setzen sich affin-lineare Abbildungen aus Verschiebungen und aus linearen Abbildungen zusammen.



Lemma  

Es sei ein Körper und sei ein affiner Raum über dem Vektorraum . Es sei .

Dann entsprechen sich die affin-linearen Abbildungen

mit als Fixpunkt und die linearen Abbildungen

Beweis  

Die Zuordnung ist durch gegeben. Wir müssen zeigen, dass es zu jeder linearen Abbildung eine eindeutige affin-lineare Abbildung

mit diesem linearen Anteil gibt. Wegen

kann es nur eine affin-lineare Abbildung geben, und durch diese Vorschrift kann man die Abbildung auch definieren.


Der folgende Satz heißt Festlegungssatz für affine Abbildungen und ist analog zu Fakt.



Satz  

Es sei ein Körper und seien und affine Räume über den Vektorräumen  bzw. . Es sei , , eine affine Basis von und , , eine Familie von Punkten in .

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte affin-lineare Abbildung

mit

für alle .

Beweis  

Es sei . Es gibt nach Fakt eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

mit

für alle .

Dann ist

eine affin-lineare Abbildung mit der gewünschten Eigenschaft. Umgekehrt ist eine solche affine Abbildung durch den linearen Anteil und das Verhalten auf einem einzigen Punkt eindeutig festgelegt, so dass

sein muss.




Korollar  

Es sei ein Körper und sei ein affiner Raum mit einer affinen Basis .

Dann ist die Abbildung

wobei die baryzentrischen Koordinaten von sind, eine affin-lineare Abbildung, die eine affine Isomorphie zwischen und dem affinen Unterraum stiftet, der durch

gegeben ist. Der Vektorraum zu ist

Beweis  

Nach Fakt gibt es eine eindeutig bestimmte affin-lineare Abbildung

die auf den -ten Standardvektor abbildet. Dabei wird nach Fakt

auf

abgebildet. Wegen

gehört dieser Punkt zu . Die Bijektivität ist klar.