Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Zerlegung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei $R \subseteq S$ eine endliche Erweiterung von kommutativen Ringen, sei $𝔭$ ein Primideal von $R$ und $𝔮$ ein Primideal von $S$ über $𝔭$ . Dann nennt man den Grad der Erweiterung der Restekörper $κ (𝔭) \subseteq κ (𝔮)$ den Trägheitsgrad von $𝔮$ über $𝔭$ .

Bemerkung

Wenn $R \subseteq S$ eine endliche Erweiterung von Dedekindbereichen ist und $𝔪$ ein maximales Ideal von $R$ ist und $𝔫$ ein maximales Ideal von $S$ über $𝔪$ , so ist der Trägheitsgrad einfach der Grad der Körpererweiterung

R / 𝔪 ⟶ S / 𝔫

(der Trägheitsgrad im Nullideal ist einfach der Grad der Erweiterung der Quotientenkörper). Wenn $R$ und damit auch $S$ ein Zahlbereich ist, so sind diese Körper stets endlich von gleicher Charakteristik $p$ , und daher liegt eine Erweiterung der Form $𝔽_{q} \subseteq 𝔽_{q^{'}}$ mit $q = p^{e}$ und $q^{'} = p^{e^{'}}$ vor. Dabei muss $q^{'}$ eine Potenz von $q$ sein, also $p^{e^{'}} = {(p^{e})}^{ℓ}$ , was bedeutet, dass $e^{'}$ ein Vielfaches von $e$ ist. Bei $q = p$ ist das natürlich keine Einschränkung.

Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $R \subseteq S$ eine endliche Erweiterung der Form $S = R [X] / (F)$ mit einem normierten Polynom $F \in R [X]$ vom Grad $d$ . Es sei $𝔭$ ein Primideal von $R$ .

Dann ist die Summe über alle Trägheitsgrade zu Primidealen über $𝔭$ durch $d$ beschränkt.

Beweis

Durch Übergang mittels $R \to κ (𝔭)$ kann man direkt annehmen, dass $R = K$ ein Körper ist und dass das Primideal das Nullideal ist. Es liegt dann die endliche Erweiterung $K \subseteq K [X] / (F) = : B$ vor. Die Primideale von $S$ oberhalb von $𝔭$ entsprechen den Primidealen von $B$ und damit den irreduziblen Teilern von $F$ in $K [X]$ . Sei $F = F_{1}^{n_{1}} \dots F_{k}^{n_{k}}$ die Primfaktorzerlegung von $F$ in $K [X]$ . Die relevanten Körpererweiterungen sind dann die

K \subseteq K [X] / (F_{j}) .

Die Aussage folgt daher direkt aus Gradeigenschaften von Polynomen über einem Körper.

◻

Satz

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K$ , $K \subseteq L$ eine Körpererweiterung vom Grad $n$ und $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$ . Es sei $𝔭$ ein von $0$ verschiedenes Primideal von $R$ mit der Primidealzerlegung

𝔭 S = 𝔮_{1}^{e_{1}} \dots 𝔮_{k}^{e_{k}}

in $S$ . Die Körpererweiterungen $κ (𝔭) \subseteq κ (𝔮_{j})$ haben die Trägheitsgrade $f_{j}$ .

Dann ist

$n = \sum_{j = 1}^{k} e_{j} f_{j} .$

Beweis

Nach dem chinesischen Restsatz für Dedekindbereiche ist

S / 𝔭 S = S / 𝔮_{1}^{e_{1}} \times \dots \times S / 𝔮_{k}^{e_{k}} .

Wir können über dem diskreten Bewertungsring $R_{𝔭}$ argumentieren, also davon ausgehen, dass $R$ ein diskreter Bewertungsring mit dem maximalen Ideal $𝔭$ ist. Die angeführten Restklassenringe ändern sich dadurch nicht. Es ist $S$ ein freier $R$ -Modul vom Rang $n$ und somit ist

S / 𝔭 S = S \otimes_{R} R / 𝔭

ein $R / 𝔭$ -Vektorraum der Dimension $n$ . Oben rechts steht das Produkt der $R / 𝔭$ -Vektorräume $S / 𝔮_{j}^{e_{j}}$ und es ist zu zeigen, dass deren $R / 𝔭$ -Dimension gleich $e_{j} f_{j}$ ist. Dies zeigen wir durch Induktion über $e = e_{j}$ , wobei der Induktionsanfang für $e = 1$ die Definition des Trägheitsgrades $f_{j}$ ist. Wegen $𝔮^{e + 1} \subseteq 𝔮^{e}$ liegt eine kurze exakte Sequenz

0 \overset{}{⟶} 𝔮^{e} / 𝔮^{e + 1} \overset{}{⟶} S / 𝔮^{e + 1} \overset{}{⟶} S / 𝔮^{e} \overset{}{⟶} 0

vor. Dabei ist

𝔮^{e} / 𝔮^{e + 1} = 𝔮^{e} S_{𝔮} / 𝔮^{e + 1} S_{𝔮} = S_{𝔮} / 𝔮 S_{𝔮} = S / 𝔮 .

Deshalb folgt die Aussage aufgrund der Additivität für die Vektorraumdimension in kurzen exakten Sequenzen.

◻

Die in diesem Satz auftretende Gleichung nennt man auch fundamentale Gleichung. Nach Fakt liegt genau dann Verzweigung oberhalb von $𝔭$ vor, wenn einer der Verzweigungsindizes $e_{j}$ größer als $1$ ist.

Die beiden extremen Möglichkeiten für das Zerlegungsverhalten bekommen einen eigenen Namen.

Definition

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K$ , $K \subseteq L$ eine Körpererweiterung vom Grad $n$ und $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$ . Ein von $0$ verschiedenes Primideal $𝔭$ von $R$ heißt voll zerlegt in $S$ , wenn es $n$ Primideale in $S$ oberhalb von $𝔭$ gibt.

Im voll zerlegten Fall ist $e_{j} = f_{j} = 1$ für $j = 1, \dots, n$ . Es liegt keine Verzweigung von und alle Restekörper stimmen mit dem Grundkörper (der Faser) $R / 𝔭$ überein.

Definition

Es sei $R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper $K$ , $K \subseteq L$ eine Körpererweiterung vom Grad $n$ und $S$ der ganze Abschluss von $R$ in $L$ . Ein von $0$ verschiedenes Primideal $𝔭$ von $R$ heißt unzerlegt in $S$ , wenn es genau ein Primideal in $S$ oberhalb von $𝔭$ gibt.

In diesem Fall ist $n = e f$ .

Beispiel

Wir betrachten die Ringerweiterung $ℝ [X] \subset ℂ [X]$ . Auf der Ebene der Quotientenkörper liegt die quadratische Körpererweiterung der zugehörigen Funktionenkörper $ℝ (X) \subset ℂ (X)$ vor, und $ℂ [X]$ ist der ganze Abschluss von $ℝ [X]$ in $ℂ (X)$ . Die Primideale $\neq 0$ von $ℝ [X]$ sind von der Form $(X - a)$ mit $a \in ℝ$ oder von der Form $(X^{2} + b X + c)$ mit einem quadratischen Polynom ohne reelle Nullstelle. Die Restekörper in diesem zweiten Fall sind isomorph zu $ℂ$ . Die Primideale in $ℂ [X]$ sind alle von der Form $(X - a)$ mit $a \in ℂ$ .

In der Erweiterung liegt über dem Primideal $(X - a)$ das entsprechende Ideal, dieses Ideal ist also unzerlegt, die Verzweigungsordnung ist $1$ und die Restekörpererweiterung ist $ℝ \subset ℂ$ , der Trägheitsgrad ist also $2$ . Zu einem Primideal $(X^{2} + b X + c)$ zu einem reellen Polynom ohne reelle Nullstelle seien $z$ und $\overline{z}$ die zueinander konjugierten komplexen Nullstellen. In $ℂ [X]$ gilt die Idealzerlegung $(X^{2} + b X + c) = (X - z) (X - \overline{z})$ . Die Verzweigungsordnungen sind also $1$ und in den Restekörpern liegt ein Isomorphismus vor, die Trägheitsgrade sind also $1$ . Diese Primideale sind voll zerlegt.