Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Zerlegung/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei eine endliche Erweiterung von kommutativen Ringen, sei ein Primideal von und ein Primideal von über . Dann nennt man den Grad der Erweiterung der Restekörper den Trägheitsgrad von über .

Bemerkung  

Wenn eine endliche Erweiterung von Dedekindbereichen ist und ein maximales Ideal von ist und ein maximales Ideal von über , so ist der Trägheitsgrad einfach der Grad der Körpererweiterung

(der Trägheitsgrad im Nullideal ist einfach der Grad der Erweiterung der Quotientenkörper). Wenn und damit auch ein Zahlbereich ist, so sind diese Körper stets endlich von gleicher Charakteristik , und daher liegt eine Erweiterung der Form mit und vor.




Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring und eine endliche Erweiterung der Form mit einem normierten Polynom vom Grad . Es sei ein Primideal von .

Dann ist die Summe über alle Trägheitsgrade zu Primidealen über durch beschränkt.

Beweis  

Durch Übergang mittels kann man direkt annehmen, dass ein Körper ist und dass das Primideal das Nullideal ist. Es liegt dann die endliche Erweiterung vor. Die Primideale von oberhalb von entsprechen den Primidealen von und damit den irreduziblen Teilern von in . Sei die Primfaktorzerlegung von in . Die relevanten Körpererweiterungen sind dann die

Die Aussage folgt daher direkt aus Gradeigenschaften von Polynomen über einem Körper.




Satz  

Es sei ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper , eine Körpererweiterung vom Grad und der ganze Abschluss von in . Es sei ein von verschiedenes Primideal von mit der Primidealzerlegung

in . Die Körpererweiterungen haben die Trägheitsgrade .

Dann ist

Beweis  

Nach dem chinesischen Restsatz für Dedekindbereiche ist

Wir können über dem diskreten Bewertungsring argumentieren, also davon ausgehen, dass ein diskreter Bewertungsring mit dem maximalen Ideal ist. Die angeführten Restklassenringe ändern sich dadurch nicht. Es ist ein freier -Modul vom Rang und somit ist

ein -Vektorraum der Dimension . Oben rechts steht das Produkt der -Vektorräume und es ist zu zeigen, dass deren -Dimension gleich ist. Dies zeigen wir durch Induktion über , wobei der Induktionsanfang für die Definition des Trägheitsgrades ist. Wegen liegt eine kurze exakte Sequenz

vor. Dabei ist

Deshalb folgt die Aussage aufgrund der Vektorraumadditivität in kurzen exakten Sequenzen.


Die in diesem Satz auftretende Gleichung nennt man auch fundamentale Gleichung. Nach Fakt liegt genau dann Verzweigung oberhalb von vor, wenn einer der Verzweigungsindizes größer als ist.

Die beiden extremen Möglichkeiten für das Zerlegungsverhalten bekommen einen eigenen Namen.


Definition  

Es sei ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper , eine Körpererweiterung vom Grad und der ganze Abschluss von in . Ein von verschiedenes Primideal von heißt voll zerlegt in , wenn es Primideale in oberhalb von gibt.

Im voll zerlegten Fall ist für . Es liegt keine Verzweigung von und alle Restekörper stimmen mit dem Grundkörper überein.


Definition  

Es sei ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper , eine Körpererweiterung vom Grad und der ganze Abschluss von in . Ein von verschiedenes Primideal von heißt unzerlegt in , wenn es genau ein Primideal in oberhalb von gibt.

In diesem Fall ist .


Beispiel  

Wir betrachten die Ringerweiterung . Auf der Ebene der Quotientenkörper liegt die quadratische Körpererweiterung der zugehörigen Funktionenkörper vor, und ist der ganze Abschluss von in . Die Primideale von sind von der Form mit oder von der Form mit einem quadratischen Polynom ohne reelle Nullstelle. Die Restekörper in diesem zweiten Fall sind isomorph zu . Die Primideale in sind alle von der Form mit .

In der Erweiterung liegt über dem Primideal das entsprechende Ideal, dieses Ideal ist also unzerlegt, die Verzweigungsordnung ist und die Restekörpererweiterung ist , der Trägheitsgrad ist also . Zu einem Primideal zu einem Polynom ohne reelle Nullstelle seien und die zueinander konjugierten komplexen Nullstellen. In gilt die Idealzerlegung . Die Verzweigungsordnungen sind also und in den Restekörpern liegt ein Isomorphismus vor, die Trägheitsgrade sind also . Diese Primideale sind voll zerlegt.



Beispiel  

Es sei . Wir beschreiben exemplarisch das Verhalten von Primzahlen in diesem Zahlbereich. Sei zuerst . Hier ist über

und somit . Es gibt also nur ein Primideal oberhalb von und dessen Restklassenkörper ist , der Trägheitsgrad ist also und der Verzweigungsindex ist .

Das Zerlegungsverhalten der anderen Primzahlen versuchen wir mit Hilfe eines Zwischenringes zu verstehen. Sei

Eine direkte Rechnung (siehe Beispiel) zeigt , d.h. es liegt ein Zwischenring

vor, wobei der Ganzheitsring zu mit Fakt bestimmt wurde.

Für

ist ein Quadrat modulo . Über diesen Primzahlen liegen in zwei Primideale, beide mit dem Restekörper und dem Trägheitsgrad . Über diesen Primzahlen zerfällt das fünfte Kreisteilungspolynom in zwei Faktoren vom Grad . Ob es weiter in Linearfaktoren zerfällt, hängt von ab.

Bei sind fünfte Einheitswurzeln in und das Kreisteilungspolynom hat die Zerlegung

Über liegen also vier Primideale, jeweils mit dem Trägheitsgrad . Ein entsprechendes Verhalten gilt für alle Primzahlen mit nach Fakt.

Bei gibt es nur die als fünfte Einheitswurzel und es gilt

wobei für eine Quadratwurzel von aus einzusetzen ist. Bei ist beispielsweise und daher ist

Bei


Es ist einfach Beispiele von Zahlbereichen anzugeben, in denen jedes Primideal des Grundringes zerlegt (also nicht unzerlegt) ist. Für das folgende Beispiel siehe auch Fakt.


Beispiel  

Es seien verschiedene quadratfreie Zahlen, sei

die zugehörige Körpererweiterung vom Grad und sei

der Ganzheitsring von in , wobei für dieses Beispiel der Unterschied zwischen und irrelevant ist. Wir bestimmen die Faser über einem Primideal zu einer Primzahl . Der beschreibende Ring ist

Wir beschränken uns auf Primzahlen , die weder noch teilen, was bedeutet, dass die zugehörigen Restklassen Einheiten in sind. Wenn (entsprechend für ) ein Quadrat in ist, sagen wir

so ist

wobei die letzte Identifizierung durch gegeben ist. Der Faserring ist also ein Produktring und kein Körper und zerfällt in und dann auch in in zumindest zwei Primideale.

Wenn hingegen sowohl als auch Nichtquadrate in sind, so ist das Produkt ein Quadrat, sagen wir . Dann gelten, da ja eine Einheit ist, in die Idealgleichheiten

und damit ist

es liegt also wieder ein Produktring vor.