Elementare und algebraische Zahlentheorie/7/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 2 3 3 3 0 4 4 6 4 0 0 0 6 0 41




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein irreduzibles Element in einen kommutativen Ring .
  2. Ein Hauptideal in einem kommutativen Ring .
  3. Die erste Tschebyschow-Funktion.
  4. Eine algebraische Zahl .
  5. Ein ganzes Element bei einer Ringerweiterung .
  6. Das gebrochene Ideal zu einem Divisor in einem Zahlbereich .


Lösung

  1. Eine Nichteinheit in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel, wenn eine Faktorisierung nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.
  2. Ein Ideal in einem kommutativen Ring der Form

    heißt Hauptideal.

  3. Die erste Tschebyschow-Funktion ist durch

    gegeben.

  4. Eine Zahl heißt algebraisch, wenn es ein von verschiedenes Polynom gibt mit .
  5. Das Element heißt ganz (über ), wenn eine Ganzheitsgleichung mit Koeffizienten aus erfüllt.
  6. Zu einem Divisor

    nennt man

    das Gebrochene Ideal zum Divisor .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das quadratische Reziprozitätsgesetz für ungerade Primzahlen.
  2. Der Satz über das Transformationsverhalten der Diskriminante zu einer Basis in einer endlichen Körpererweiterung .
  3. Der Satz über die Korrespondenz von Idealen und Divisoren für Zahlbereiche.


Lösung

  1. Seien und zwei verschiedene ungerade Primzahlen. Dann gilt:
  2. Sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und seien und zwei -Basen von . Der Basiswechsel werde durch mit der Übergangsmatrix beschrieben. Dann gilt für die Diskriminanten die Beziehung
  3. Sei ein Zahlbereich. Dann sind die Zuordnungen

    zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der von verschiedenen Ideale und der Menge der effektiven Divisoren.

    Diese Bijektion übersetzt das Produkt von Idealen in die Summe von Divisoren.


Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine natürliche Zahl, die man als Summe von vier Quadraten darstellen kann, aber nicht als Summe von drei Quadraten.


Lösung

Es ist

darstellbar mit vier Quadraten. Die einzigen Quadrate unterhalb von sind . Die trägt nicht zu einer minimalen Darstellung bei. Zweimal die ist schon zu groß, daher gibt es keine Darstellung als Summe von drei Quadraten.


Aufgabe (3 (2+1) Punkte)

Es seien positive natürliche Zahlen. Die Summe der Stammbrüche ist dann

  1. Zeige, dass bei teilerfremd diese Darstellung gekürzt ist.
  2. Zeige, dass im Allgemeinen diese Darstellung nicht gekürzt sein muss.


Lösung

  1. Es seien und teilerfremd und es sei eine Primzahl. Wenn den Nenner teilt, so teilt es nach dem Lemma von Euklid einen der Faktoren, sagen wir . Dann teilt es wegen der Teilerfremdheit nicht auch . Somit teilt es auch nicht und Zähler und Nenner sind teilerfremd.
  2. Sei

    Dann ist

    und dies ist keine teilerfremde Darstellung.


Aufgabe (3 (1.5+1.5) Punkte)

(a) Bestimme für die Zahlen , und modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

die Restetupel und repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenzen


Lösung

(a) : Alle Vielfachen von haben modulo und modulo den Rest . Unter diesen Vielfachen muss also die Lösung liegen. hat modulo den Rest , somit hat modulo den Rest . Also repräsentiert das Restetupel .

: Hier betrachtet man die Vielfachen von , und hat modulo den Rest . Also repräsentiert das Restetupel .

: Hier betrachtet man die Vielfachen von , und hat modulo den Rest . Also repräsentiert das Restetupel .

(b) Man schreibt (in )

Die Lösung ist dann

Die minimale Lösung ist dann .


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass für einen endlichen Körper das Produkt aller von verschiedener Elemente aus gleich ist.


Lösung

Die Gleichung hat in einem Körper nur die Lösungen und , die allerdings gleich sein können. Das bedeutet, dass für immer ist. Damit kann man das Produkt aller Einheiten als

schreiben. Ist , so ist das Produkt . Ist hingegen , so fehlt in dem Produkt der zweite Faktor und das Produkt ist .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper :


Lösung

Wir schreiben das Gleichungssystem als

Wir multiplizieren die zweite Zeile mit und erhalten

Wir nehmen die Differenz der ersten und der dritten Zeile und erhalten

Das inverse Element von ist , somit ist also

Aus der Gleichung folgt daraus


Aufgabe (4 Punkte)

Finde die kleinste Zahl derart, dass zugleich das reguläre -Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist und dass eine Summe von zwei Quadraten ist.


Lösung

muss einerseits die Form haben mit verschiedenen Fermat-Primzahlen, also , etc. und andererseits muss jeder Primteiler von mit ungeradem Exponent modulo den Rest oder haben. Da in der ersten Bedingung allenfalls einfach vorkommt, darf überhaupt nicht vorkommen.

Wenn keine Fermat-Primzahlen vorkommt, so ist die kleinste Möglichkeit gleich . Damit ist auch schon ausgeschlossen, dass oder eine größere Fermat-Primzahl vorkommt.

Wenn an Fermat-Primzahlen nur vorkommt, so ist die kleinste Möglichkeit gleich .

Wenn nur vorkommt, so ist die kleinste Möglichkeit.

Wenn und vorkommen, so ist die kleinste Möglichkeit.

Also ist die Lösung.


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei

eine quadratische Körpererweiterung und es sei

eine -lineare Abbildung, die die Norm erhält. Zeige, dass die Multiplikation mit einem Element aus oder aber die Hintereinanderschaltung der Konjugation mit einer solchen Multiplikation ist.


Lösung

Wir setzen

und betrachten die Multiplikation

Diese Abbildung ist ebenfalls -linear und bijektiv. Wegen

ist die Norm von gleich und somit ist

d.h. ist ebenfalls normerhaltend. Wir schreiben nun mit

als Hintereinanderschaltung. Die Abbildung ist ebenfalls -linear und normerhalten und hat die zusätzliche Eigenschaft, dass auf abgebildet wird. Wir haben also zu zeigen, dass eine solche Abbildung die Identität oder die Konjugation ist. Nennen wir sie wieder . Es ist

mit . Die Normbedingung liefert

Ferner ist

und die Normbedingung liefert

Diese beiden Bedingungen ergeben zusammen

bzw. , also . Daraus ergibt sich

was der Identität bzw. der Konjugation entspricht.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass ein diskreter Bewertungsring mit der Ordnungsfunktion ein euklidischer Bereich ist.


Lösung

Es sei ein Erzeuger des maximalen Ideals von . Es seien mit . Wir müssen zeigen, dass es eine Darstellung

mit oder ist. Wenn ist, sind wir mit fertig. Sei also . Wir schreiben und mit Einheiten und mit Bei

ist

Bei

ist

und es ist


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung der Faktorialität eines Zahlbereiches mit Hilfe der Divisorenklassengruppe


Lösung

Die Implikation folgt aus Fakt.

. Sei also faktoriell, und sei ein Primideal . Sei , , mit Primfaktorzerlegung . Da ein Primideal ist, muss einer der Primfaktoren zu gehören, sagen wir . Dann ist . Das von erzeugte Ideal ist ein Primideal, und in einem Zahlbereich ist nach Fakt jedes von verschiedene Primideal maximal, so dass hier gelten muss. Auf der Seite der Divisoren gilt aufgrund von Fakt , so dass ein Hauptdivisor vorliegt. Also sind alle Erzeuger der Divisorengruppe Hauptdivisoren und somit ist überhaupt

und die Divisorenklassengruppe ist trivial.

. Sei nun vorausgesetzt. Wir zeigen zunächst, dass jedes Primideal ein Hauptideal ist. Nach Voraussetzung ist der Divisor ein Hauptdivisor, so dass mit einem gilt. Aufgrund von Fakt entspricht dies auf der Idealseite der Gleichung , so dass jedes Primideal ein Hauptideal ist. Für ein beliebiges Ideal , , ist nach Fakt

Dies bedeutet aber, mit , dass ein Hauptideal ist, das von erzeugt wird. Also liegt ein Hauptidealbereich vor.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung