Hilbertscher Nullstellensatz/Geometrische Version/Korollare/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ beschrieben werde. Es sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom, das auf ${}V$ verschwindet.

Dann gehört ${}F$ zum Radikal von ${}{\mathfrak {a}}$, d.h. es gibt ein ${}r\in \mathbb {N}$ mit ${}F^{r}\in {\mathfrak {a}}$.

Beweis

Angenommen, ${}F$ gehöre nicht zum Radikal von ${}{\mathfrak {a}}$. Dann gibt es nach Fakt auch ein maximales Ideal ${}{\mathfrak {m}}\subset K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}$ und mit ${}F\not \in {\mathfrak {m}}$. Nach Fakt ist

${}{\mathfrak {m}}=(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})\,$

für gewisse ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$. Die Eigenschaft ${}F\not \in {\mathfrak {m}}$ bedeutet, dass ${}F$ im zugehörigen Restekörper nicht ${}0$ ist, und das bedeutet ${}F(a_{1},\ldots ,a_{n})\neq 0$. Wegen ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}$ ist aber ${}(a_{1},\ldots ,a_{n})$ ein Punkt von ${}V$, sodass dort nach Voraussetzung ${}F$ verschwindet. Das ist also ein Widerspruch.

$\Box$

Satz

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper mit dem Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und dem affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.

Dann gibt es eine natürliche Korrespondenz zwischen affin-algebraischen Mengen in ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ und Radikalidealen in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.

Dabei gehen Radikale auf ihre Nullstellengebilde und affin-algebraische Mengen auf ihre Verschwindungsideale.

Beweis

Sei ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ affin-algebraisch. Dann gilt ${}V=V(\operatorname {Id} \,(V))$ nach Fakt  (3). Für ein Radikal ${}I\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ gilt die Inklusion ${}I\subseteq \operatorname {Id} \,(V(I))$ ebenfalls nach Fakt  (2). Die umgekehrte Inklusion, also ${}\operatorname {Id} \,(V(I))\subseteq I$, ist der Inhalt des Hilbertschen Nullstellensatzes.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}F_{i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, ${}i\in I$, Polynome mit

${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=\bigcup _{i\in I}D(F_{i})\,.$

Dann erzeugen die ${}F_{i}$ das Einheitsideal in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {b}}$ das von den ${}F_{i}$ erzeugte Ideal. Die Voraussetzung besagt, dass

${}\bigcap _{i\in I}V(F_{i})=V({\mathfrak {b}})\,$

leer ist. Dann ist ${}V({\mathfrak {b}})\subseteq V(1)$. Aus dem Hilbertschen Nullstellensatz folgt, dass eine Potenz von ${}1$, also ${}1$ selbst, zu ${}{\mathfrak {b}}$ in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ gehört. D.h. dass ${}{\mathfrak {b}}$ das Einheitsideal ist.

$\Box$

Der Hilbertsche Nullstellensatz, wie wir ihn für den affinen Raum und den Polynomring formuliert haben, gilt entsprechend für jedes ${}V({\mathfrak {a}})$ und den zugehörigen Restklassenring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$.

Korollar

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine endlich erzeugte ${}K$-Algebra mit Nullstellengebilde ${}V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{n}$. Es sei ${}{\mathfrak {b}}$ ein Ideal in ${}R$ und ${}F\in R$ ein Element, das auf ${}V({\mathfrak {b}})\subseteq V$ verschwindet.

Dann gibt es ein ${}r\in \mathbb {N}$ mit ${}F^{r}\in {\mathfrak {b}}$ in ${}R$.

Beweis

Die Verschwindungsbedingung ${}V({\mathfrak {b}})\subseteq V(F)$ in ${}V=V({\mathfrak {a}})$ besagt zurückübersetzt in den affinen Raum, dass dort ${}V({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}})=V({\mathfrak {a}})\cap V({\mathfrak {b}})\subseteq V(F)$ gilt, wobei jetzt ${}F$ ein repräsentierendes Polynom aus ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und ${}{\mathfrak {b}}$ das Urbildideal in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ sei. Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz (für den affinen Raum) gibt es ein ${}r\in \mathbb {N}$ mit ${}F^{r}\in {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}$. Dies bedeutet modulo ${}{\mathfrak {a}}$, dass in ${}R$ die Beziehung ${}F^{r}\in {\mathfrak {b}}$ gilt.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ beschrieben werde. Es seien ${}F_{i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, ${}i\in I$, Polynome mit

${}V=\bigcup _{i\in I}D(F_{i})\,.$

Dann erzeugen die ${}F_{i}$ das Einheitsideal in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$.

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {b}}$ das von allen ${}F_{i}$, ${}i\in I$, erzeugte Ideal in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$. Die Voraussetzung besagt, dass

${}V({\mathfrak {b}})=\bigcap _{i\in I}V(F_{i})\,$

(auf ${}V$) leer ist. Dann ist ${}V(1)\subseteq V({\mathfrak {b}})$, da ja ${}V(1)$ ebenfalls leer ist. Aus dem Hilbertschen Nullstellensatz folgt, dass eine Potenz von ${}1$, also ${}1$ selbst, zu ${}{\mathfrak {b}}$ in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ gehört.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{n}$ eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ beschrieben werde. Es sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom, das auf ${}V$ keine Nullstelle besitzt.

Dann ist ${}F$ im Restklassenring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine Einheit.

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ zwei affin-algebraische Mengen in ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.

Dann gilt

${}\operatorname {Id} \,(V_{1}\cap V_{2})=\operatorname {rad} \,(\operatorname {Id} \,(V_{1})+\operatorname {Id} \,(V_{2}))\,.$

Beweis

Sei ${}{{\mathfrak {a}}_{1}}=\operatorname {Id} \,(V_{1})$ und ${}{{\mathfrak {a}}_{2}}=\operatorname {Id} \,(V_{2})$. Die Aussage ergibt sich aus

${}\operatorname {rad} \,({{\mathfrak {a}}_{1}}+{{\mathfrak {a}}_{2}})=\operatorname {Id} \,(V(\operatorname {rad} \,({{\mathfrak {a}}_{1}}+{{\mathfrak {a}}_{2}})))=\operatorname {Id} \,(V({{\mathfrak {a}}_{1}}+{{\mathfrak {a}}_{2}}))=\operatorname {Id} \,(V({{\mathfrak {a}}_{1}})\cap V({{\mathfrak {a}}_{2}}))\,,$

wobei die erste Gleichung auf dem Hilbertschen Nullstellensatz beruht.

$\Box$

Auch diese Eigenschaften gelten nicht ohne die Voraussetzung algebraisch abgeschlossen, wie das folgende Beispiel zeigt.

Beispiel

Wir betrachten die beiden algebraischen Kurven

$V_{1}=V(X^{2}+Y^{2}-2)\,\,{\text{ und }}\,\,V_{2}=(X^{2}+2Y^{2}-1)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}.$

Bei ${}K=\mathbb {R}$ sind das beides irreduzible Quadriken. Der Durchschnitt wird beschrieben durch das Ideal

${}(X^{2}+Y^{2}-2,X^{2}+2Y^{2}-1)=(Y^{2}+1,X^{2}-3)\,.$

Da das Polynom ${}Y^{2}+1$ im Reellen keine Nullstelle hat, ist der Durchschnitt ${}V_{1}\cap V_{2}=\emptyset$ leer. Das Verschwindungsideal des (leeren) Durchschnittes ist natürlich das Einheitsideal, die Summe der beiden Verschwindungsideale ist aber nicht das Einheitsideal.