Hilbertscher Nullstellensatz/Geometrische Version/Korollare/Textabschnitt

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Satz  

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal beschrieben werde. Es sei ein Polynom, das auf verschwindet.

Dann gehört zum Radikal von , d.h. es gibt ein mit .

Beweis  

Angenommen, gehöre nicht zum Radikal von . Dann gibt es nach Fakt auch ein maximales Ideal mit und mit . Nach Fakt ist

für gewisse . Die Eigenschaft bedeutet, dass im zugehörigen Restekörper nicht ist, und das bedeutet . Wegen ist aber ein Punkt von , so dass dort nach Voraussetzung verschwindet. Das ist also ein Widerspruch.




Satz  

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper mit dem Polynomring und dem affinen Raum .

Dann gibt es eine natürliche Korrespondenz zwischen affin-algebraischen Mengen in und Radikalidealen in .

Dabei gehen Radikale auf ihre Nullstellengebilde und affin-algebraische Mengen auf ihre Verschwindungsideale.

Beweis  

Sei affin-algebraisch. Dann gilt nach Fakt  (3). Für ein Radikal gilt die Inklusion ebenfalls nach Fakt  (2). Die umgekehrte Inklusion, also , ist der Inhalt des Hilbertschen Nullstellensatzes.




Korollar  

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien , , Polynome mit

Dann erzeugen die das Einheitsideal in .

Beweis  

Sei das von den erzeugte Ideal. Die Voraussetzung besagt, dass

leer ist. Dann ist , da ja ebenfalls leer ist. Aus dem Hilbertschen Nullstellensatz folgt, dass eine Potenz von , also selbst, zu in gehört. D.h. dass das Einheitsideal ist.


Der Hilbertsche Nullstellensatz, wie wir ihn für den affinen Raum und den Polynomring formuliert haben, gilt entsprechend für jedes und den zugehörigen Restklassenring .



Korollar  

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine endlich erzeugte -Algebra mit Nullstellengebilde . Es sei ein Ideal in und ein Element, das auf verschwindet.

Dann gibt es ein mit in .

Beweis  

Die Verschwindungsbedingung in besagt zurückübersetzt in den affinen Raum, dass dort gilt, wobei jetzt ein repräsentierendes Polynom aus und das Urbildideal in sei. Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz (für den affinen Raum) gibt es ein mit . Dies bedeutet modulo , dass in die Beziehung gilt.




Korollar  

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal beschrieben werde. Es seien , , Polynome mit

Dann erzeugen die das Einheitsideal in .

Beweis  

Sei das von allen , , erzeugte Ideal in . Die Voraussetzung besagt, dass

(auf ) leer ist. Dann ist , da ja ebenfalls leer ist. Aus dem Hilbertschen Nullstellensatz folgt, dass eine Potenz von , also selbst, zu in gehört.




Korollar  

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal beschrieben werde. Es sei ein Polynom, das auf keine Nullstelle besitzt.

Dann ist im Restklassenring eine Einheit.

Beweis  

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.




Korollar  

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien und zwei affin-algebraische Mengen in .

Dann gilt

Beweis  

Sei und . Die Aussage ergibt sich aus

wobei die erste Gleichung auf dem Hilbertschen Nullstellensatz beruht.


Auch diese Eigenschaften gelten nicht ohne die Voraussetzung algebraisch abgeschlossen, wie das folgende Beispiel zeigt.

Disjoint ellipses.png



Beispiel  

Wir betrachten die beiden algebraischen Kurven

Bei sind das beides irreduzible Quadriken. Der Durchschnitt wird beschrieben durch das Ideal

Da das Polynom im Reellen keine Nullstelle hat, ist der Durchschnitt leer. Das Verschwindungsideal des (leeren) Durchschnittes ist natürlich das Einheitsideal, die Summe der beiden Verschwindungsideale ist aber nicht das Einheitsideal.