Kurs:Analysis/Teil I/5/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 3 3 2 4 4 3 6 7 5 4 5 3 10 5 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung .
  2. Die bestimmte Divergenz gegen einer Folge in einem angeordneten Körper .
  3. Der Polynomring über einem Körper (einschließlich der darauf definierten Verknüpfungen).
  4. Die punktweise Konvergenz einer Funktionenfolge

    wobei eine Menge ist.

  5. Das obere Treppenintegral zu einer oberen Treppenfunktion zu einer Funktion

    auf einem beschränkten Intervall .

  6. Die Lösung zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung

    wobei

    eine Funktion auf einer offenen Teilmenge ist.


Lösung

  1. Die Abbildung

    die jedes Element auf das eindeutig bestimmte Element mit abbildet, heißt die Umkehrabbildung zu .

  2. Die Folge heißt bestimmt divergent gegen , wenn es zu jedem ein gibt mit
  3. Der Polynomring über einem Körper besteht aus allen Polynomen

    mit , , und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

    definiert ist.

  4. Man sagt, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes die Folge

    in konvergiert.

  5. Zur oberen Treppenfunktion

    von zur Unterteilung , , und den Werten , , heißt das Treppenintegral

    eine oberes Treppenintegral von auf .

  6. Unter einer Lösung der Differentialgleichung versteht man eine Funktion

    auf einem mehrpunktigen Intervall , die folgende Eigenschaften erfüllt.

    1. Es ist für alle .
    2. Die Funktion ist differenzierbar.
    3. Es ist für alle .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Quetschkriterium für reelle Folgen.
  2. Die Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion.
  3. Die Quotientenregel für die Ableitung, also die Formel für die Ableitung von (mit den Voraussetzungen an und ).


Lösung

  1. Es seien und reelle Folgen. Es gelte

    und und

    konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Dann konvergiert auch gegen diesen Grenzwert .
  2. Für komplexe Zahlen gilt
  3. Es sei eine offene Menge, ein Punkt und

    Funktionen, die beide in differenzierbar seien und wobei keine Nullstelle in besitze. Dann ist differenzierbar in mit


Aufgabe (2 Punkte)

Wenn Karl an Susanne denkt, bekommt er feuchte Hände, einen Kloß im Hals und einen roten Kopf. Einen roten Kopf bekommt er genau dann, wenn er an Susanne denkt oder wenn er das leere Tor nicht trifft. Wenn Karl das leere Tor trifft, bekommt er feuchte Hände. Karl bekommt den Ball vor dem leeren Tor. Kurz darauf bekommt er feuchte Hände, einen roten Kopf, aber keinen Kloß im Hals. Hat er an Susanne gedacht? Hat er das leere Tor getroffen?


Lösung

Karl hat nicht an Susanne gedacht, da er sonst einen Kloß im Hals bekommen hätte, was er nicht hat. Andererseits bekommt er einen roten Kopf, was bedeutet, dass er das leere Tor nicht getroffen hat oder an Susanne gedacht hat. Da letzteres nicht der Fall ist, hat er das leere Tor nicht getroffen.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine beliebige Menge. Zeige, dass es keine surjektive Abbildung von in die Potenzmenge geben kann.


Lösung

Wir nehmen an, dass es eine surjektive Abbildung

gibt, und müssen dies zu einem Widerspruch führen. Dazu betrachten wir

Da dies eine Teilmenge von ist, muss es wegen der Surjektivität ein geben mit

Es gibt nun zwei Fälle, nämlich oder . Im ersten Fall ist also , und damit, nach der Definition von , auch , Widerspruch. Im zweiten Fall ist, wieder aufgrund der Definition von , , und das ist ebenfalls ein Widerspruch.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise durch Induktion, dass für die Abschätzung

gilt.


Lösung

Induktionsanfang für . Es ist

Zum Induktionsschluss sei . Dann ist

Andererseits ist nach der binomischen Formel

Wir müssen

nachweisen. Der erste Summand stimmt links und rechts überein, für die anderen Summanden zeigen wir, dass die linken, also jeweils , mindestens so groß wie die rechten sind. Dies folgt aber direkt aus (da ), aus , da ja ist, aus und aus .


Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die reelle Folge

(mit ) in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Lösung

Wir erweitern mit und erhalten

Folgen der Form , , konvergieren gegen , nach den Rechengesetzen für konvergente Folgen konvergiert diese Folge also gegen .


Aufgabe (6 Punkte)

Für ein Mathematikbuch soll der Graph der Exponentialfunktion über dem Intervall maßstabsgetreu in cm gezeichnet werden, wobei der Fehler maximal cm sein darf. Es steht nur ein Zeichenprogramm zur Verfügung, das lediglich Polynom zeichnen kann. Welches Polynom kann man nehmen?


Lösung

Wir betrachten zur Exponentialreihe die Teilpolynome

Die Differenz der Exponentialfunktion zu diesen Polynomen ist somit

und der Betrag davon soll für jedes maximal gleich sein. Wegen

müssen wir so wählen, dass

ist. Wir betrachten

Bei liegt rechts eine geometrische Reihe vor, bei ist deren Wert maximal gleich . Bei (bzw. ) können wir grob abschätzen

Wegen ist dies bei kleiner als . Daher ist ein Polynom, das die Exponentialfunktion wie gewünscht approximiert.


Aufgabe (7 Punkte)

Zeige, dass eine stetige Funktion

gleichmäßig stetig ist.


Lösung

 Wir nehmen an, dass nicht gleichmäßig stetig ist. Dann gibt es ein mit der Eigenschaft, dass es für alle ein Punktepaar mit und gibt. Insbesondere gibt es somit für jedes eine Punktepaar mit und . Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt die Folge eine in konvergente Teilfolge, deren Grenzwert, nennen wir ihn , wegen der Abgeschlossenheit zum Intervall gehören muss. Die Glieder der Teilfolge besitzen die eingangs beschriebenen Eigenschaften, deshalb können wir direkt annehmen, dass die Folge gegen konvergiert. Die Folge konvergiert nach Aufgabe 6.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ebenfalls gegen . Wegen der Stetigkeit konvergieren dann nach dem Folgenkriterium auch die beiden Bildfolgen und gegen . Es sei nun . Dann ist für hinreichend groß sowohl als auch . Dies ergibt mit der Dreiecksungleichung einen Widerspruch zu .


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Bestimme die Punkte , in denen differenzierbar ist.


Lösung

Die Funktion ist überall differenzierbar und die Ableitung ist nur an der Stelle gleich . Daher ist die Umkehrfunktion für differenzierbar. Daher ist auch als Hintereinanderschaltung von und dieser Funktion für differenzierbar.

Für betrachten wir direkt den Differenzenquotient, also für den Ausdruck

Wir betrachten positive und können den Nenner als

schreiben. Daher ist der Differenzenquotient gleich

Für steht hier und dies divergiert, also existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht. Daher ist in nicht differenzierbar.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Regel von l'Hospital.


Lösung

Zur Ermittlung des Grenzwertes benutzen wir das Folgenkriterium. Da im Intervall keine Nullstelle besitzt und ist, besitzt auch nach Satz 19.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) außer keine Nullstelle. Es sei eine Folge in , die gegen konvergiert. Zu jedem gibt es nach Satz 19.8 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)), angewandt auf bzw. , ein (im Innern von ) mit

Die Folge konvergiert ebenfalls gegen , so dass nach Voraussetzung die rechte Seite gegen konvergiert. Daher konvergiert auch die linke Seite gegen , und wegen bedeutet das, dass gegen konvergiert.


Aufgabe (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

  1. Untersuche das Monotonieverhalten dieser Funktion.
  2. Zeige, dass diese Funktion injektiv ist.
  3. Bestimme das Bild von .
  4. Man gebe die Umkehrfunktion auf dem Bild zu dieser Funktion an.
  5. Skizziere den Funktionsgraphen von .


Lösung

a) Die Ableitung von ist

Dies ist stets positiv, so dass die Funktion auf den beiden Teilintervallen und jeweils streng wachsend ist. Insgesamt ist die Funktion aber nicht wachsend, da die Werte zu negativem stets größer als die Werte zu positivem sind.

b) Für ist , da der Exponent positiv ist. Für ist , da der Exponent negativ ist. Daher haben insbesondere negative und positive reellen Zahlen unter unterschiedliche Werte. Da im negativen Bereich als auch im positiven Bereich strenges Wachstum vorliegt, ist die Abbildung insgesamt injektiv.

c) Für negatives durchläuft sämtliche positiven Zahlen, so dass das offene Intervall durchläuft. Für positives durchläuft sämtliche negativen Zahlen, so dass das offene Intervall durchläuft. Das Bild ist also .

d) Aus folgt durch Äquivalenzumformungen und damit , die Umkehrabbildung ist also

e)


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Polynom vom Grad und . Zeige unter Verwendung der Taylor-Formel, dass das Taylor-Polynom vom Grad zu im Entwicklungspunkt mit übereinstimmt.


Lösung

Zu jedem gibt es aufgrund der Taylor-Formel ein mit

wobei der linke Summand das Taylor-Polynom vom Grad ist. Da den Grad besitzt, ist aber die -te Ableitung davon . Daher fällt der rechte Summand weg und stimmt mit dem -ten Taylor-Polynom überein.


Aufgabe (10 Punkte)

Es sei

eine Riemann-integrierbare Funktion. Zu sei

diejenige untere Treppenfunktion zu zur äquidistanten Unterteilung in gleichlange Intervalle, die auf dem Teilintervall

(für sei das Intervall rechtsseitig abgeschlossen) das Infimum von , , annimmt. Zeige, dass die Folge der Treppenintegrale zu gegen konvergiert.


Lösung

Es sei . Es gibt eine Folge von unteren Treppenfunktionen derart, dass die zugehörige Folge der Treppenintegrale gegen konvergiert. Wir müssen zeigen, dass dies auch für die Treppenintegrale zu den gilt. Es sei vorgegeben. Aufgrund der zuerst erwähnten Konvergenz gibt es zu ein derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Wir vergleichen die Treppenintegrale zu mit dem Treppenintegral zu . Es sei die Anzahl der Unterteilungspunkte von und es sei eine absolute Schranke für . Insbesondere ist

und

Wir wählen so, dass

ist. Es sei fixiert. Von den Teilintervallen gibt es maximal Stück, in denen ein Unterteilungspunkt zu liegt. Es sei die Indexmenge dieser Teilintervalle. Auf einem Intervall mit ist konstant und es gilt dort

und entsprechend

Auf einem Intervall mit ist

und

Insgesamt ergibt sich


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise das Lösungsverfahren für inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen in einer Variablen.


Lösung

Da keine Nullstelle besitzt, kann man jede Funktion

als

mit einer unbekannten (differenzierbaren) Funktion ansetzen. Dabei ist (für eine differenzierbare Funktion )

Daher kann man die Lösungsbedingung

als

schreiben, und diese gilt wegen genau dann, wenn

bzw.

gilt. D.h. muss eine Stammfunktion zu sein.